Recueil d'exercices de mathématiques (licence niveau 2)/Intégration

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Sections

1 Propriétés de l'intégrale
- 1.1 Énoncés
- 1.2 Correction des exercices
2 Intégrabilité et calculs d'intégrales

[modifier] Propriétés de l'intégrale

[modifier] Énoncés

Exercice 1

Soit $\ f : [0,1] \to [0,1]$ continue non nulle telle que $\int_{0}^{1} f(x)\, dx = \int_{0}^{1} f(x)^2\, dx$

Montrer que $\ f(x) = 1$ pour tout $x \in [0,1]$ .

Exercice 2

Soit $\ f : [0,1] \to \mathbb{R}$ continue telle que $\int_{0}^{1} f(x)\, dx = \tfrac{1}{2}.$

Montrer qu'il existe $c \in ]0,1[$ tel que $\ f(c) = c.$

Exercice 3

Montrer que la suite définie par $\ \mathit{u}_n = \sum_{k=1}^n \cfrac{n}{n^2 + k^2}$ converge et calculer sa limite.

Exercice 4

Soient $f$ une fonction continue, T-périodique sur $\mathbb{R}$ , et $a < b$ dans $\mathbb{R}$ . Montrer que $\int_{a}^{b} f\, = \int_{a+T}^{b+T} f\, .$

Soient $f$ une fonction impaire sur $\mathbb{R}$ , et $a \ge 0$ . Que dire de $\int_{-a}^{a} f\,$ ? Quid si $f$ est paire ?

Exercice 5

Soient 0 < a < b. Soit $f$ une fonction continue sur $\mathbb{R+}$ . Déterminer

$\lim_{x \to 0^{+}} \int_{ax}^{bx} \frac{f(t)}{t}\, dt$

Exercice 6

Soient $f,g : [0,1] \to \mathbb{R+}$ continues telles que $fg \ge 1$ . Montrer

$\int_{0}^{1} f\, \int_{0}^{1} g\, \ge 1.$

Exercice 7

Soit a > 0 et $f : [0,a] \to \mathbb{R}$ de classe $C 1$ telle que $\ f(0)=0$ . Montrer que :

$\int_{0}^{a} |f(t)|^2\, dt \le \frac{a^2}{2}\int_{0}^{a} |f'(t)|^2\, dt.$

Exercice 8

Soit a > 0 et $f : [-a,a] \to \mathbb{R}$ de classe $C 2$ . Montrer que :

$\forall t \in [-a,a],\quad |f'(t)| \le \frac{1}{2a}|f(a)-f(-a)|+\frac{a^2+t^2}{2a}\sup_{[-a,a]}|f''|$

[modifier] Correction des exercices

Exercice 5

Tout d'abord, fixons $\ x \in \mathbb{R_+^*}.$ On va se ramener à l'étude de la convergence de

$\int_{a}^{b} \frac{f(tx)}{t}\, dt$

quand $\ x \to 0^{+}.$ En effet, par changement de variables à l'aide de $\Phi : [a,b] \to [ax,bx], w \mapsto wx$ , de classe $C 1$ , on a :

$\begin{align} \int_{ax}^{bx} \frac{f(t)}{t}\, dt = \int_{\phi(a)}^{\phi(b)} \frac{f(t)}{t}\, dt & = \int_{a}^{b} \frac{f(\phi(t))}{\phi(t)}\, \phi'(t)dt \\ & = \int_{a}^{b} \frac{f(tx)}{t}\, dt \\ \end{align}$

(remarque : $\textstyle g : \mathbb{R_+^*} \to \mathbb{R}, t \mapsto \frac{f(t)}{t}$ , continue sur $\mathbb{R_+^*}$ donc Riemann-intégrable sur tout segment inclu dans $\mathbb{R_+^*}$ .

On remarque qu'à $t \in \mathbb{R_+^*}$ fixé, par continuité de $f$ en 0, on a

$\lim_{x \to 0^{+}} \frac{f(tx)}{t} = \frac{f(0)}{t}.$

Montrons que

$= \int_{ax}^{bx} \frac{f(t)}{t}\, dt \quad ^{\longrightarrow}_{x \to 0^{+}} \int_{a}^{b} \frac{f(0)}{t}\, dt \quad (= f(0)ln\left(\frac{b}{a}\right) )$

Pour cela, on revient à la définition en epsilon. Soit $\epsilon \in \mathbb{R_+^*}$ . Par continuité de $f$ en 0, il existe $\delta \in \mathbb{R_+^*}$ tel que :

$\forall x \in ]0,\textstyle \frac{\delta}{b}[ \quad |f(x)-f(0)| \le \frac{\epsilon}{ln\left(\frac{b}{a}\right)}.$

Fixons $x \in ]0,\textstyle \frac{\delta}{b}[$ . Par (1) on a tout d'abord

$\left|\int_{ax}^{bx}\frac{f(t)}{t}\, dt - \int_{a}^{b} \frac{f(0)}{t}\, dt\right| = \left|\int_{a}^{b} \frac{f(tx)}{t}\, dt - \int_{a}^{b} \frac{f(0)}{t}\, dt\right|$

et en utilisant la linéarité de l'intégration et la propriété de continuité de l'intégration, on obtient

$\begin{align} \left|\int_{ax}^{bx} \frac{f(t)}{t}\, dt - \int_{a}^{b} \frac{f(0)}{t}\, dt\right| & = \left|\int_{a}^{b}\left[\frac{f(tx)}{t} - \frac{f(0)}{t}\right]\,dt\right| \\ & \le \int_{a}^{b} \frac{|f(tx)-f(0)|}{t}\, dt \\ \end{align}$

Pour $t \in [a,b]$ , on a

$0 \le tx \le_{t \le b} bx <_{x < \frac{\delta}{b}} \delta,$

d'où de (2)

$|f(tx) - f(0)| \le \frac{\epsilon}{ln\left(\frac{b}{a}\right)}$

En utilisant (3) et (4) et la croissance de l'intégration, on obtient

$\left|\int_{ax}^{bx}\frac{f(t)}{t}\, dt - \int_{a}^{b} \frac{f(0)}{t}\, dt\right| \le \int_{a}^{b} \frac{\epsilon}{tln\left(\frac{b}{a}\right)}\, dt = \epsilon.$

Finalement, on a démontré

$\forall \epsilon \in \mathbb{R_+^*} \exists \delta' \in \mathbb{R_+^*} | \forall x \in ]0,\delta'[ \quad \left|\int_{ax}^{bx}\frac{f(t)}{t}\, dt - \int_{a}^{b} \frac{f(0)}{t}\, dt\right| \le \epsilon,$

$i.e. \quad \lim_{x \to 0^{+}} \int_{ax}^{bx} \frac{f(t)}{t}\, dt = \int_{a}^{b} \frac{f(0)}{t}\, dt = f(0)ln\left(\frac{b}{a}\right).$

Exercice 6

On applique l'inégalité de Cauchy-Schwarz au produit $\sqrt{f}\sqrt{g}$ :

$\int_0^1\sqrt{f}\sqrt{g}\le \left(\int_0^1(\sqrt{f})^2\right)\times \left(\int_0^1(\sqrt{g})^2\right)=\int_0^1 f\times \int_0^1 g.$

Or , donc  , et par suite

$\int_0^1\sqrt{f}\sqrt{g}\ge 1$ , d'où l'inégalité cherchée.

[modifier] Intégrabilité et calculs d'intégrales

Deuxième solution de l'exercice 5 etc

Une autre méthode consiste à utiliser le théorème de la moyenne : Puisque $f$ est continue et que $t\mapsto \frac 1t$ garde un signe fixe sur $\left[a(x),b(x)\right]$ , il existe $c(x)\in\left[a(x),b(x)\right]$ tel que :

$\int_{ax}^{bx}\frac{f(t)}{t}\,dt=f(c(x)) \int_{ax}^{bx}\frac{dt}{t}=f(c(x))\log\frac{b}{a}.$

D'autre part, $\lim_{x\to 0}f(c(x))=f(0)$ , (car $f$ est continue en $0$ et $c(x)\to 0$ lorsque $x\to 0$ ). Finalement, on obtient :

Solution de l'exercice 1

On applique les deux théorèmes suivants :

Theorème 1 soit $g$ une fonction Riemann-intégrable à valeurs positives sur un segment (non trivial) $[a, b]$ telle que $\int_a^bf(t)\,dt=0.$

Alors  $f$  est nulle en tout point où elle est continue. En particulier, si  $f$  est continue sur  $[a, b]$ , alors elle est identiquement nulle.

Théorème 2 (ou théorème des valeurs intermédiaires) L'image continue d'un intervalle est un intervalle.

Une fois ces rappels de cours faits, on peut écrire :

$\int_{0}^{1} f(x)\, dx = \int_{0}^{1} f(x)^2\, dx\iff\int_{0}^{1} (f(x)-f^2(x))\, dx =0.$

Or  $f - f 2$  est continue et à valeurs positives (du fait que  $f$  est à valeurs dans  $[0,1]$ ), donc d'après le premier théorème,  $f (x) - f 2 (x) = 0$ , pour tout .

Ainsi $f\left([0,1]\right)\subset \left\{0,1\right\}$ (autrement dit $f$ ne prend que les valeurs 0 et 1). Maintenant, en appliquant le deuxième théorème cité ci-dessus, on doit avoir, soit $f\left([0,1]\right)= \left\{0\right\}=[0,0]$ soit $f\left([0,1]\right)= \left\{1\right\}=[1,1].$ Le premier cas est à exclure, puisqu'on a supposé que $f$ n'est pas identiquement nulle, donc $f (x) = 1$ , pour tout $x\in[0,1]$ .

Solution de l'exercice 6

On applique l'inégalité de Cauchy-Schwarz au produit $\sqrt {f}\sqrt{g}$ :

$\left(\int_0^1 \sqrt {f}\sqrt{g}\right)^2\le \left(\int_0^1(\sqrt{f})^2\right)\times \left(\int_0^1(\sqrt{g})^2\right)=\int_0^1 f\times \int_0^1 g.$

Or $fg\ge 1$ , donc $\sqrt {f}\sqrt{g}\ge 1$ , et en intégrant cette dernière inégalité, on obtient :

D'où l'inégalité demandée.

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