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Leçon 9 - La base hexadécimale avec le boulier chinois.
Le boulier japonais, avec sa quinaire et ses 4 unaires permet d'écrire, dans chaque colonne, les nombres de 0 à 9. Il permet donc d'écrire en base 10 (base décimale).
Le boulier chinois, avec ses 2 quinaires et ses 5 unaires permet toujours d'écrire en base 10 (une quinaire et une unaire sont alors toujours désactivées). Mais il permet aussi d'écrire, dans chaque colonne, les nombres de 0 à 15. Il permet donc d'écrire en base 16 (base hexadécimale).
[modifier] Ecriture en base hexadécimale
Il existe 16 chiffres en base hexadécimale : 0 , 1 , 2 , 3 , 4 , 5 , 6 , 7 , 8 , 9 , A (10) , B (11) , C (12) , D (13) , E (14) et F (15) qui se représentent sur le boulier de la manière suivante:
L'écriture des nombres s'effectue en affectant à chaque colonne son poids, comme dans l'écriture hexadécimale, la colonne de droite est la colonne des unités, à sa gauche, la colonne de 161, à sa gauche la colonne de 162 ...
Le nombre 1DF3 s'écrit alors
[modifier] Addition en hexadécimal
Les règles d'additions sont analogues à celles décrites dans la leçon 2 mais plus nombreuses. Elles peuvent se regrouper ainsi
[modifier] Ajouter 1, 2, 3, ou 4
- Si le nombre d'unaires est suffisant, activer des unaires (remplacer éventuellement 5 unaires par une quinaire).
- Sinon,
- S'il reste au moins une quinaire désactivée, activer la quinaire et désactiver des unaires (complément à 5).
- Sinon, activer la unaire de gauche, désactiver deux quinaires et désactiver des unaires (complément à 6).
- S'il reste au moins une quinaire désactivée, activer la quinaire.
- Sinon
- Activer 5 unaires si cela est possible.
- Sinon, activer la unaire de gauche et désactiver deux quinaires et une unaire.
[modifier] Ajouter 6, 7, 8 ou 9
- S'il y a assez d'unaires désactivées
- S'il reste au moins une quinaire, activer la quinaire et les unaires.
- Sinon, activer la unaire de gauche, désactiver les deux quinaires, activer le nombre d'unaires moins une.
- Sinon
- S'il reste deux quinaires, activer les deux quinaires et désactiver des unaires (complément à 10).
- Sinon, activer la unaire de gauche, désactiver une quinaire et des unaires (complément à 16)
[modifier] Ajouter A (10)
- Si deux quinaires sont désactivées, activer deux quinaires.
- Sinon,
- S'il reste 5 unaires désactivées
- S'il reste une quinaire désactivée, activer 5 unaires et une quinaire.
- Sinon, activer la unaire de gauche, désactiver deux quinaires et activer 4 unaires
- S'il ne reste pas 5 unaires désactivées, activer la unaire de gauche, désactiver une quinaire et une unaire
[modifier] Ajouter B (11), C (12), D(13), E (14) ou F (15)
- S'il reste assez d'unaires désactivées,
- S'il reste assez de quinaires désactivées, activer les deux quinaires et les unaires
- Sinon, activer la unaire de gauche, désactiver une quinaire, activer le nombre d'unaires moins une.
- S'il ne reste pas assez d'unaires désactivées, activer la unaire de gauche, désactiver des unaires (complément à 16)
[modifier] Soustraction en hexadécimal
Il suffit de prendre les règles précédentes, de remplacer ajouter par ôter et de permuter les verbes activer/désactiver. Ce qui donne:
[modifier] Oter 1, 2, 3, ou 4
- Si le nombre d'unaires activées est suffisant, désactiver des unaires .
- Sinon,
- S'il reste au moins une quinaire activée, désactiver la quinaire et activer des unaires (complément à 5).
- Sinon, désactiver la unaire de gauche, activer deux quinaires et activer des unaires (complément à 6).
- S'il y a 5 unaires activées, désactiver les 5 unaires.
- Sinon
- s'il reste au moins une quinaire activée, désactiver la quinaire.
- Sinon, désactiver la unaire de gauche et activer deux quinaires et une unaire.
[modifier] Oter 6, 7, 8 ou 9
- S'il y a assez d'unaires activées
- S'il reste au moins une quinaire activée, désactiver la quinaire et les unaires.
- Sinon, désactiver la unaire de gauche, activer les deux quinaires, désactiver le nombre d'unaires moins une.
- Sinon
- S'il reste deux quinaires activées, désactiver les deux quinaires et activer des unaires (complément à 10).
- Sinon, désactiver la unaire de gauche, activer une quinaire et des unaires (complément à 16)
- Si deux quinaires sont activées, désactiver deux quinaires.
- Sinon,
- S'il y a 5 unaires activées
- S'il reste une quinaire activée, désactiver 5 unaires et une quinaire.
- Sinon, désactiver la unaire de gauche, activer deux quinaires et désactiver 4 unaires
- S'il n'y a pas 5 unaires activées, désactiver la unaire de gauche, activer une quinaire et une unaire
[modifier] Oter B (11), C (12), D (13), E (14) ou F (15)
- S'il reste assez d'unaires activées,
- S'il reste assez de quinaires activées, désactiver les deux quinaires et les unaires
- Sinon, désactiver la unaire de gauche, activer une quinaire, désactiver le nombre d'unaires moins une.
- S'il ne reste pas assez d'unaires activées, désactiver la unaire de gauche, activer des unaires (complément à 16)
Il importe de connaitre la table de multiplication par 16:
| 1 |
2 |
3 |
4 |
5 |
6 |
7 |
8 |
9 |
| 16 |
32 |
48 |
64 |
80 |
96 |
112 |
128 |
144 |
[modifier] Conversion décimal vers hexadécimal
Pour la suite, les boules ne seront plus dessinées, on indiquera seulement le nombre écrit dans chaque colonne.
Exemple: Conversion de 3565 en base hexadécimale
- Ecrire le nombre décimal à droite:
- Effectuer la division de ce nombre 3565 par 16:
- Convertir le reste en hexadécimal (il suffit pour cela de remplacer la unaire de gauche par deux quinaires à droite) et déplacer le quotient sur la droite :
- Effectuer la division du nouveau nombre décimal 222 par 16:
- Convertir le reste et déplacer le quotient:
- Il n'y a plus de division à opérer, il suffit de convertir le dernier nombre en hexadécimal:
[modifier] Conversion hexadécimal vers décimal
Exemple: Conversion de 1DF3 en base décimale.
- Ecrire le nombre hexadécimal à droite:
- Convertir,éventuellement, le nombre le plus à gauche en décimal et le multiplier par 16, la colonne concernée devient alors colonne des unités :
- Convertir et ajouter le nombre suivant (D = 13):
- Multiplier le nouveau nombre par 16:
- Convertir et ajouter le nombre suivant (F = 15):
- Multiplier le nouveau nombre par 16
- ajouter 3 au résultat final
