Savoirs fondamentaux du programme de terminale scientifique/Mathématiques/Dénombrement

Dénombrer des listes

• Le nombre de permutations d'un ensemble de $n$ éléments $\scriptstyle (n\geqslant 1)$ est égal à :
  $n!=n\times (n-1)\times (n-2)\times \ldots \times 2\times 1$

• Si un ensemble $E$ contient $n$ éléments $\scriptstyle (n\geqslant 1)$, le nombre de listes sans répétitions de $E$, $\scriptstyle 1\leqslant p\leqslant n$ est :
  $n\times (n-1)\times (n-2)\times \ldots \times (n-(p-1))$

• Lorsqu'on établit une liste de $p$ éléments non nécessairement distincts pris dans un ensemble à $n$ éléments, on obtient $n^{p}$ éléments.

Combinaisons

• Le nombre de parties de $p$ éléments d'un ensemble de $n$ éléments est noté $\scriptstyle {\binom {n}{p}}$

• Pour tout entier naturel $\scriptstyle n\geqslant 1$ et pour tout entier $p$ tel que $\scriptstyle 0\leqslant p\leqslant n$ :
  ${\binom {n}{p}}={\frac {n!}{p!(n-p)!}}={\frac {n(n-1)\ldots (n-p+1)}{p!}}$

Formules et binôme de Newton

• $\forall n\in \mathbb {N} ,\forall p\in \mathbb {N}$
  • $0\leqslant p\leqslant n~:~{\binom {n}{n-p}}={\binom {n}{p}}$
  • $p\leqslant p\leqslant n-1~:~{\binom {n-1}{p-1}}+{\binom {n-1}{p}}={\binom {n}{p}}$

• $(a+b)^{n}={\binom {n}{0}}a^{n}+{\binom {n}{1}}a^{n-1}b+\ldots +{\binom {n}{p}}a^{n-p}b^{p}+\ldots +{\binom {n}{n-1}}ab^{n-1}+{\binom {n}{n}}b^{n}$

1
1	1
1	2	1
1	3	3	1
1	4	6	4	1

Le triangle de Pascal