Tables trigonométriques

Un livre de Wikilivres.
Aller à : navigation, rechercher

Rappels[modifier | modifier le wikitexte]

π = 3,141 592 653 6…

Cercle trigonométrique[modifier | modifier le wikitexte]

Circle-trig6.svg

Définition du :

  • sinus, sin θ ;
  • cosinus, cos θ ;
  • tangente, tan θ (anciennement tg θ) ;
  • cotangente, cotan θ (anciennement cotg θ) ;
  • sécante, sec θ ;
  • cosécante, cosec θ ;

Triangle rectangle[modifier | modifier le wikitexte]

Triangle rectangle trigo.svg

SOHCAHTOA :

  • SOH : \sin \hat{\mathrm{A}} = \frac{\mathrm{opp.}}{\mathrm{hyp.}} ;
  • CAH : \cos \hat{\mathrm{A}} = \frac{\mathrm{adj.}}{\mathrm{hyp.}} ;
  • TOA : \tan \hat{\mathrm{A}} = \frac{\mathrm{opp.}}{\mathrm{adj.}}.

Séries entières[modifier | modifier le wikitexte]

Les relations suivantes sont par défaut exprimé en radians.

\sin(x) = x - \frac{x^{3}}{3!}  + \frac{x^{5}}{5!} + \cdots + (-1)^{k}\frac{x^{2k+1}}{(2k+1)!} +\cdots = \sum\limits_{n = 0}^{+\infty}  {( - 1)^n } \frac{{x^{2n + 1} }}{{(2n + 1)!}}
\cos(x)=1 - \frac{x^2}{2!}  + \frac{x^{4}}{4!} + \cdots + (-1)^{k}\frac{x^{2k}}{(2k)!} + \cdots = \sum\limits_{n = 0}^{+\infty}  {( - 1)^n } \frac{{x^{2n} }}{{(2n)!}}

Relations, identités trigonométriques[modifier | modifier le wikitexte]

 \tan (x) = \frac {\sin (x)} {\cos(x)} \qquad \operatorname{cotan}(x) = \frac{1}  {\tan (x)} = \frac {\cos (x)} {\sin(x)}
 \operatorname{sec}(x) = \frac{1} {\cos(x)} \qquad \operatorname{cosec}(x) = \frac{1} {\sin(x)}

Les relations suivantes sont en radians. Elles permettent d'étendre les tables.

Réflexions
Parité - Réflexion d'axe \theta=0 Réflexion d'axe \theta= \pi/2 Réflexion d'axe \theta= \pi

\begin{align}
\sin(-\theta) &= -\sin \theta \\
\cos(-\theta) &= +\cos \theta \\
\tan(-\theta) &= -\tan \theta \\
\mathrm{cotan} (-\theta) &= -\mathrm{cotan} \theta
\end{align}

\begin{align}
\sin(\tfrac{\pi}{2} - \theta) &= +\cos \theta \\
\cos(\tfrac{\pi}{2} - \theta) &= +\sin \theta \\
\tan(\tfrac{\pi}{2} - \theta) &= +\mathrm{cotan} \theta \\
\mathrm{cotan}(\tfrac{\pi}{2} - \theta) &= +\tan \theta
\end{align}

\begin{align}
\sin(\pi - \theta) &= +\sin \theta \\
\cos(\pi - \theta) &= -\cos \theta \\
\tan(\pi - \theta) &= -\tan \theta \\
\mathrm{cotan} (\pi - \theta) &= -\mathrm{cotan} \theta \\
\end{align}
Périodicité, décalages
Décalage de \dfrac{\pi}{2} Décalage de \pi
(Période de tan et cotan)
Décalage de 2\pi
(Période de sin et cos)

\begin{align}
\sin(\theta + \tfrac{\pi}{2}) &= +\cos \theta \\
\cos(\theta + \tfrac{\pi}{2}) &= -\sin \theta \\
\tan(\theta + \tfrac{\pi}{2}) &= -\mathrm{cotan} \theta \\
\mathrm{cotan}(\theta + \tfrac{\pi}{2}) &= -\tan \theta
\end{align}

\begin{align}
\sin(\theta + \pi) &= -\sin \theta \\
\cos(\theta + \pi) &= -\cos \theta \\
\tan(\theta + \pi) &= +\tan \theta \\
\mathrm{cotan}(\theta + \pi) &= +\mathrm{cotan} \theta \\
\end{align}

\begin{align}
\sin(\theta + 2\pi) &= +\sin \theta \\
\cos(\theta + 2\pi) &= +\cos \theta \\
\tan(\theta + 2\pi) &= +\tan \theta \\
\mathrm{cotan}(\theta + 2\pi) &= +\mathrm{cotan} \theta
\end{align}

Tables de conversion d'unités[modifier | modifier le wikitexte]

1 tour (angle plein) ↔ 360 ° ↔ 2π rad

\theta (\mathrm{rad}) = \theta (\deg)\times \frac{\pi}{180} ; \theta (\deg) = \theta  (\mathrm{rad}) \times \frac{180}{\pi}.

Valeurs particulières
Degrés Radians
0 0
30 π/6 (0,52360)
45 π/4 (0,78540)
60 π/3 (1,04719)
90 π/2 (1,57080)
Multiples de π/180, 180/π
π/180 180/π
1 0,017453 57,2958
2 0,034907 114,5916
3 0,052360 171,8873
4 0,069813 229,1831
5 0,087266 286,4789
6 0,10471 343,7747
7 0,122173 401,0705
8 0,139626 458,3662
9 0,157080 515,6620
Tables de conversion de degrés sexagésimaux en radians
Degrés en radians
Degrés Radians
10 0,17453
20 0,34907
30 0,52360
40 0,69813
50 0,87266
60 1,04720
70 1,22173
80 1,29626
90 1,57080
Minutes en radians
Minutes Radians
1 0,00029
2 0,00058
3 0,00087
4 0,00116
5 0,00145
6 0,00175
7 0,00204
8 0,00233
9 0,00262
10 0,00291
20 0,00582
30 0,00873
40 0,01164
50 0,01454
Secondes en radians
Secondes Radians
10 0,00005
20 0,00010
30 0,00015
40 0,00019
50 0,00024
 C'est une loi linéaire : 1 ° = 0,01745 rad ; 0,1 ° = 0,00175 rad ; … ; 45 ° = 40 ° + 5 ° = 0,69813 rad + 0,08727 rad = 0,78540 rad.
Tables de conversion de radians en degrés sexagésimaux
Dixièmes de radians en degrés
1/10
de radian
Degrés Degrés
1  5°43′46" 5,7296
2 11°27′33" 11,7296
3 17°11′19" 17,1887
4 22°55′ 6" 22,9183
5 28°38′52" 28,6479
6 34°22′39" 34,3775
7 40° 6'25" 40,1070
8 45°50′12" 45,8366
9 51°33′58" 51,5662
10 57°17′45" 57,2958
Centièmes de radians en degrés
1/100
de radian
Degrés Degrés
1   34′23" 0,5730
2 1° 8′45" 1,1730
3 1°43′ 8" 1,7189
4 2°17′31" 2,2918
5 2°51′53" 2,8648
6 3°26′16" 3,4378
7 4° 0′39" 4,0107
8 4°35′ 1" 4,5837
9 5° 9′24" 5,1566
Millièmes de radians en degrés
1/1 000
de radian
Degrés Degrés
1  3′26" 0,0573
2  6′53" 0,1173
3 10′19" 0,1719
4 13′45" 0,2292
5 17′11" 0,2865
6 20′37" 0,3438
7 24′ 4" 0,4011
8 27′30" 0,4584
9 30′56" 0,5157
Dix-millièmes de radians en degrés
1/10 000
de radian
Degrés Degrés
1   21" 0,0057
2   41" 0,0117
3 1′ 2" 0,0172
4 1′22" 0,0229
5 1′43" 0,0287
6 2′ 4" 0,0344
7 2′24" 0,0401
8 2′45" 0,0458
9 3′ 6" 0,0516

Valeurs particulières des fonctions trigonométriques[modifier | modifier le wikitexte]

Unit circle angles.svg

Moyen mnémotechnique : correspondance entre les séries

  • angles : 0, π/6, π/4, π/3, π/2 et
  • sinus : \frac{\sqrt{0}}{2} (=0), \frac{\sqrt{1}}{2} (=1/2), \frac{\sqrt{2}}{2}, \frac{\sqrt{3}}{2}, \frac{\sqrt{4}}{2} (=1).
Valeurs particulières des sinus, cosinus et tangentes
Angle  0  π/6
30°
π/4
45°
π/3
60°
π/2
90°
sin 0\, \frac{1}{2} \frac{\sqrt{2}}{2} \frac{\sqrt{3}}{2} 1\,
cos 1\, \frac{\sqrt{3}}{2} \frac{\sqrt{2}}{2} \frac{1}{2} 0\,
tan 0\, \frac{\sqrt{3}}{3} 1\, \sqrt{3} ind.
  • Autres valeurs remarquables :
\sin \left(\frac{\pi}{8}\right) = \frac{\sqrt{2-\sqrt{2}}}{2}    \cos\left(\frac{\pi}{8}\right) = \frac{\sqrt{2+\sqrt{2}}}{2}
\sin\left(\frac{\pi}{10}\right) = \frac{1}{1+\sqrt{5}}
\tan\left(\frac{\pi}{24}\right) = (\sqrt{3}-\sqrt{2})(\sqrt{2}-1)

Tables trigonométriques en degrés[modifier | modifier le wikitexte]

On lit les tables suivantes de haut en bas de 0 à 45 ° (colonne de gauche), et de bas en haut de 45 à 90 ° (colonne de droite).

Exemple
  • sin(10°) ≈ 0,174 (en descendant : troisième colonne en partant de la gauche) ;
  • sin(50°) ≈ 0,766 (en montant : troisième colonne en partant de la droite).
Table par degrés, à 0,001 près
Angle ↓ arc sin tan cotan cos
10 0,174 0,174 0,176 5,671 0,985 1,396 80
40 0,698 0,643 0,839 1,192 0,766 0,873 50
cos cotan tan sin arc Angle ↑


La colonne « arc » indique la longueur de l'arc sur le cercle trigonométrique, c'est-à-dire l'angle en radians.

Table par degré[modifier | modifier le wikitexte]

Table par degrés, à 0,001 près
Angle ↓ arc sin tan cotan cos
0 0,000 0,000 0,000 1,000 1,571 90
1 0,017 0,017 0,017 57,290 1,000 1,553 89
2 0,035 0,035 0,035 28,636 1,000 1,536 88
3 0,052 0,052 0,052 19,081 0,999 1,518 87
4 0,070 0,070 0,070 14,301 0,999 1,501 86
5 0,087 0,087 0,087 11,430 0,998 1,484 85
6 0,105 0,105 0,105 9,514 0,995 1,466 84
7 0,122 0,122 0,123 8,144 0,993 1,449 83
8 0,140 0,139 0,141 7,115 0,990 1,431 82
9 0,157 0,156 0,158 6,314 0,988 1,414 81
10 0,174 0,174 0,176 5,671 0,985 1,396 80
11 0,192 0,191 0,194 5,145 0,982 1,379 79
12 0,209 0,208 0,213 4,705 0,978 1,361 78
13 0,227 0,225 0,231 4,331 0,974 1,344 77
14 0,244 0,242 0,249 4,011 0,970 1,326 76
15 0,262 0,259 0,268 3,732 0,966 1,309 75
16 0,279 0,276 0,287 3,487 0,961 1,292 74
17 0,297 0,292 0,306 3,271 0,956 1,274 73
18 0,314 0,309 0,325 3,078 0,951 1,257 72
19 0,332 0,326 0,344 2,904 0,946 1,239 71
20 0,349 0,342 0,364 2,747 0,940 1,222 70
21 0,367 0,358 0,384 2,605 0,934 1,204 69
22 0,384 0,375 0,404 2,475 0,927 1,187 68
23 0,401 0,391 0,424 2,356 0,921 1,169 67
24 0,419 0,407 0,445 2,246 0,914 1,152 66
25 0,436 0,423 0,466 2,145 0,906 1,134 65
26 0,454 0,438 0,488 2,050 0,899 1,117 64
27 0,471 0,454 0,510 1,963 0,891 1,100 63
28 0,489 0,469 0,532 1,881 0,883 1,082 62
29 0,506 0,485 0,554 1,804 0,875 1,065 61
30 0,524 0,500 0,577 1,732 0,866 1,047 60
31 0,541 0,515 0,601 1,664 0,857 1,030 59
32 0,559 0,530 0,635 1,600 0,848 1,012 58
33 0,576 0,545 0,649 1,540 0,839 0,995 57
34 0,593 0,559 0,675 1,483 0,829 0,977 56
35 0,611 0,574 0,700 1,428 0,819 0,960 55
36 0,628 0,588 0,727 1,376 0,809 0,942 54
37 0,646 0,602 0,754 1,327 0,799 0,925 53
38 0,663 0,616 0,781 1,280 0,788 0,908 52
39 0,681 0,629 0,810 1,235 0,777 0,890 51
40 0,698 0,643 0,839 1,192 0,766 0,873 50
41 0,716 0,656 0,869 1,150 0,755 0,855 49
42 0,733 0,669 0,900 1,111 0,743 0,838 48
43 0,750 0,682 0,933 1,072 0,731 0,820 47
44 0,768 0,695 0,966 1,036 0,719 0,803 46
45 0,785 0,707 1,000 1,000 0,707 0,785 45
cos cotan tan sin arc Angle ↑

Tables par 1/10 degré (6 minutes)[modifier | modifier le wikitexte]

De 0 à 10° et de 80 à 90°[modifier | modifier le wikitexte]

Table de 0 à 10 ° et de 80 à 90 °, à 0,000 01 près
Angle ↓ arc sin tan cotan cos
0 0,000 00 0,000 00 0,000 00 1,000 00 1,570 80 90
0,1 0,001 75 0,001 75 0,001 75 572,957 21 1,000 00 1,569 05 89,9
0,2 0,003 49 0,003 49 0,003 49 286,477 73 0,999 99 1,567 31 89,8
0,3 0,005 24 0,005 24 0,005 24 190,984 19 0,999 99 1,565 56 89,7
0,4 0,006 98 0,006 98 0,006 98 143,237 12 0,999 98 1,563 82 89,6
0,5 0,008 73 0,008 73 0,008 73 114,588 65 0,999 96 1,562 07 89,5
0,6 0,010 47 0,010 47 0,010 47 95,489 48 0,999 95 1,560 32 89,4
0,7 0,012 22 0,012 22 0,012 22 81,847 04 0,999 93 1,558 58 89,3
0,8 0,013 96 0,013 96 0,013 96 71,615 07 0,999 90 1,556 83 89,2
0,9 0,015 71 0,015 71 0,015 71 63,656 74 0,999 88 1,555 09 89,1
1 0,017 45 0,017 45 0,017 46 57,289 96 0,999 85 1,553 34 89
1,1 0,019 20 0,019 20 0,019 20 52,080 67 0,999 82 1,551 60 88,9
1,2 0,020 94 0,020 94 0,020 95 47,739 50 0,999 78 1,549 85 88,8
1,3 0,022 69 0,022 69 0,022 69 44,066 11 0,999 74 1,548 11 88,7
1,4 0,024 43 0,024 43 0,024 44 40,917 41 0,999 70 1,546 36 88,6
1,5 0,026 18 0,026 18 0,026 19 38,188 46 0,999 66 1,544 62 88,5
1,6 0,027 93 0,027 92 0,027 93 35,800 55 0,999 61 1,542 87 88,4
1,7 0,029 67 0,029 67 0,029 68 33,693 51 0,999 56 1,541 13 88,3
1,8 0,031 42 0,031 41 0,031 43 31,820 52 0,999 51 1,539 38 88,2
1,9 0,033 16 0,033 16 0,033 17 30,144 62 0,999 45 1,537 64 88,1
2 0,034 91 0,034 90 0,034 92 28,636 25 0,999 39 1,535 89 88
2,1 0,036 65 0,036 64 0,036 67 27,271 49 0,999 33 1,534 14 87,9
2,2 0,038 40 0,038 39 0,038 42 26,030 74 0,999 26 1,532 40 87,8
2,3 0,040 14 0,040 13 0,040 16 24,897 83 0,999 19 1,530 65 87,7
2,4 0,041 89 0,041 88 0,041 91 23,859 28 0,999 12 1,528 91 87,6
2,5 0,043 63 0,043 62 0,043 66 22,903 77 0,999 05 1,527 16 87,5
2,6 0,045 38 0,045 36 0,045 41 22,021 71 0,998 97 1,525 42 87,4
2,7 0,047 12 0,047 11 0,047 16 21,204 95 0,998 89 1,523 67 87,3
2,8 0,048 87 0,048 85 0,048 91 20,446 49 0,998 81 1,521 93 87,2
2,9 0,050 61 0,050 59 0,050 66 19,740 29 0,998 72 1,520 18 87,1
3 0,052 36 0,052 34 0,052 41 19,081 14 0,998 63 1,518 44 87
3,1 0,054 11 0,054 08 0,054 16 18,464 47 0,998 54 1,516 69 86,9
3,2 0,055 85 0,055 82 0,055 91 17,886 31 0,998 44 1,514 95 86,8
3,3 0,057 60 0,057 56 0,057 66 17,343 15 0,998 34 1,513 20 86,7
3,4 0,059 34 0,059 31 0,059 41 16,831 91 0,998 24 1,511 46 86,6
3,5 0,061 09 0,061 05 0,061 16 16,349 86 0,998 13 1,509 71 86,5
3,6 0,062 83 0,062 79 0,062 91 15,894 54 0,998 03 1,507 96 86,4
3,7 0,064 58 0,064 53 0,064 67 15,463 81 0,997 92 1,506 22 86,3
3,8 0,066 32 0,066 27 0,066 42 15,055 72 0,997 80 1,504 47 86,2
3,9 0,068 07 0,068 02 0,068 17 14,668 53 0,997 68 1,502 73 86,1
4 0,069 81 0,069 76 0,069 93 14,300 67 0,997 56 1,500 98 86
4,1 0,071 56 0,071 50 0,071 68 13,950 72 0,997 44 1,499 24 85,9
4,2 0,073 30 0,073 24 0,073 44 13,617 41 0,997 31 1,497 49 85,8
4,3 0,075 05 0,074 98 0,075 19 13,299 57 0,997 19 1,495 75 85,7
4,4 0,076 79 0,076 72 0,076 95 12,996 16 0,997 05 1,494 00 85,6
4,5 0,078 54 0,078 46 0,078 70 12,706 20 0,996 92 1,492 26 85,5
4,6 0,080 29 0,080 20 0,080 46 12,428 83 0,996 78 1,490 51 85,4
4,7 0,082 03 0,081 94 0,082 21 12,163 24 0,996 64 1,488 77 85,3
4,8 0,083 78 0,083 68 0,083 97 11,908 68 0,996 49 1,487 02 85,2
4,9 0,085 52 0,085 42 0,085 73 11,664 50 0,996 35 1,485 28 85,1
5 0,087 27 0,087 16 0,087 49 11,430 05 0,996 19 1,483 53 85
5,1 0,089 01 0,088 89 0,089 25 11,204 78 0,996 04 1,481 78 84,9
5,2 0,090 76 0,090 63 0,091 01 10,988 15 0,995 88 1,480 04 84,8
5,3 0,092 50 0,092 37 0,092 77 10,779 67 0,995 72 1,478 29 84,7
5,4 0,094 25 0,094 11 0,094 53 10,578 89 0,995 56 1,476 55 84,6
5,5 0,095 99 0,095 85 0,096 29 10,385 40 0,995 40 1,474 80 84,5
5,6 0,097 74 0,097 58 0,098 05 10,198 79 0,995 23 1,473 06 84,4
5,7 0,099 48 0,099 32 0,099 81 10,018 71 0,995 06 1,471 31 84,3
5,8 0,101 23 0,101 06 0,101 58 9,844 82 0,994 88 1,469 57 84,2
5,9 0,102 97 0,102 79 0,103 34 9,676 80 0,994 70 1,467 82 84,1
6 0,104 72 0,104 53 0,105 10 9,514 36 0,994 52 1,466 08 84
6,1 0,106 47 0,106 26 0,106 87 9,357 24 0,994 34 1,464 33 83,9
6,2 0,108 21 0,108 00 0,108 63 9,205 16 0,994 15 1,462 59 83,8
6,3 0,109 96 0,109 73 0,110 40 9,057 89 0,993 96 1,460 84 83,7
6,4 0,111 70 0,111 47 0,112 17 8,915 20 0,993 77 1,459 10 83,6
6,5 0,113 45 0,113 20 0,113 94 8,776 89 0,993 57 1,457 35 83.5
6,6 0,115 19 0,114 94 0,115 70 8,642 75 0,993 37 1,455 60 83,4
6,7 0,116 94 0,116 67 0,117 47 8,512 59 0,993 17 1,453 86 83,3
6,8 0,118 68 0,118 40 0,119 24 8,386 25 0,992 97 1,452 11 83,2
6,9 0,120 43 0,120 14 0,121 01 8,263 55 0,992 76 1,450 37 83,1
7 0,122 17 0,121 87 0,122 78 8,144 35 0,992 55 1,448 62 83
7,1 0,123 92 0,123 60 0,124 56 8,028 48 0,992 33 1,446 88 82,9
7,2 0,125 66 0,125 33 0,126 33 7,915 82 0,992 11 1,445 13 82,8
7,3 0,127 41 0,127 06 0,128 10 7,806 22 0,991 89 1,443 39 82,7
7,4 0,129 15 0,128 80 0,129 88 7,699 57 0,991 67 1,441 64 82,6
7,5 0,130 90 0,130 53 0,131 65 7,595 75 0,991 44 1,439 90 82,5
7,6 0,132 65 0,132 26 0,133 43 7,494 65 0,991 22 1,438 15 82,4
7,7 0,134 39 0,133 99 0,135 21 7,396 16 0,990 98 1,436 41 82,3
7,8 0,136 14 0,135 72 0,136 98 7,300 18 0,990 75 1,434 66 82,2
7,9 0,137 88 0,137 44 0,138 76 7,206 61 0,990 51 1,432 92 82,1
8 0,139 63 0,139 17 0,140 54 7,115 37 0,990 27 1,431 17 82
8,1 0,141 37 0,140 90 0,142 32 7,026 37 0,990 02 1,429 42 81,9
8,2 0,143 12 0,142 63 0,144 10 6,939 52 0,989 78 1,427 68 81,8
8,3 0,144 86 0,144 36 0,145 88 6,854 75 0,989 53 1,425 93 81,7
8,4 0,146 61 0,146 08 0,147 67 6,771 99 0,989 27 1,424 19 81,6
8,5 0,148 35 0,147 81 0,149 45 6,691 16 0,989 02 1,422 44 81,5
8,6 0,150 10 0,149 54 0,151 24 6,61219 0,988 76 1,420 70 81,4
8,7 0,151 84 0,151 26 0,153 02 6,535 03 0,988 49 1,418 95 81,3
8,8 0,153 59 0,152 99 0,154 81 6,459 61 0,988 23 1,417 21 81,2
8,9 0,155 33 0,154 71 0,156 60 6,385 87 0,987 96 1,415 46 81,1
9 0,157 08 0,156 43 0,158 38 6,313 75 0,987 69 1,413 72 81
9,1 0,158 82 0,158 16 0,160 17 6,243 21 0,987 41 1,411 97 80,9
9,2 0,160 57 0,159 88 0,161 96 6,174 19 0,987 14 1,410 23 80,8
9,3 0,162 32 0,161 60 0,163 76 6,106 64 0,986 86 1,408 48 80,7
9,4 0,164 06 0,163 33 0,165 55 6,040 51 0,986 57 1,406 74 80,6
9,5 0,165 81 0,165 05 0,167 34 5,975 76 0,986 29 1,404 99 80,5
9,6 0,167 55 0,166 77 0,169 14 5,912 36 0,986 00 1,403 24 80,4
9,7 0,169 30 0,168 49 0,170 93 5,850 24 0,985 70 1,401 50 80,3
9,8 0,171 04 0,170 21 0,172 73 5,789 38 0,985 41 1,399 75 80,2
9,9 0,172 79 0,171 93 0,174 53 5,729 74 0,985 11 1,398 01 80,1
10 0,174 53 0,173 65 0,176 33 5,671 28 0,984 81 1,396 26 80
cos cotan tan sin arc Angle ↑