Technologie/Éléments théoriques et pratiques/Théorie des mécanismes/Petits et grands problèmes de traitement des informations

Un petit jeu édifiant

Nous vous proposons pour commencer de trouver les âges de trois frères (on suppose que ce sont des nom­bres entiers), sachant que :

1. le produit des âges vaut 36,
2. si l'on vous donnait seulement le pro­­duit et la somme des âges, cela ne vous suffirait pas pour les trouver,
3. l'aîné joue aux billes.

LA solution est un unique en­sem­ble de trois nombres qui ne sau­rait échapper bien longtemps à votre sagacité.

Votre proposition :

A =

B =

C =

Pas évident ? Il n'y a pourtant aucun piège et nous n'allons évidemment pas vous donner la solution tout de suite. Entre deux séquences de réflexion, notez bien qua­tre « détails » :

1. Le nombre des données est égal à ce­lui des inconnues. Ce problème est en quel­que sorte « carré ». De plus, les valeurs des trois incon­nues sont déterminées et les trois don­nées, indis­pensables. Nous pouvons dire, d'une certaine façon, qu'il s'agit d'un problème de rang 3.
2. Si l'on vous demande de trouver, en plus des âges, le montant des sommes « disparues » dans le labyrinthe des circuits financiers lors de la grande « crise » de 2008 et le nombre des bénéficiaires de cette gigantesque arnaque, vous n'y arriverez pas. À moins, bien sûr, que votre service d'espionnage personnel ne vous fournisse les données ad hoc, mais cela sort du cadre de cet exposé. Toutefois, l'absence de réponse à ces deux questions supplémentaires ne vous em­pê­chera nullement de découvrir les âges. Ces derniers restent déter­minés par le sys­tème mais les deux nouvelles in­con­nues, en revan­che, sont indéterminées.
3. Si nous ajoutons d'autres données, telles que « il y a deux jumeaux » ou « en général la somme et le produit des âges suffisent pour résoudre le pro­blème », ou encore « celui qui écrit ces lignes chausse du 42 », cela ne vous gênera pas. Ces nou­velles don­nées sont compa­tibles avec les anciennes car elles les répètent sous une autre forme ou elles ne les contredi­sent pas. En revanche, si nous ajoutons « la somme des âges vaut 97 », ou encore « les trois frères sont des triplés », le problème n'a plus de solution car chacune de ces nouvelles don­nées est incompatible avec l'ensemble des trois premières.

Encore un effort ! Avez-vous trouvé les valeurs de A, B, et C ? Non ? Essayez encore ! Comme dirait le contrepéteur fou : les chiffres vous bassinent ? Raison de plus pour renouer avec ce jeu !

Bon, nous n'allons pas vous laisser sécher indéfiniment : écrivez donc tous les produits de 3 nombres dont le résultat est 36, et faites toutes les sommes correspondantes. Si maintenant vous ne voyez pas, alors votre cas est grave, mais peut-être pas entièrement désespéré.

Des erreurs classiques

Chers lecteurs ! Si, à l'occasion d'un problème de statique, vous obtenez un système tel que le nombre des incon­nues n'est pas égal à celui des équa­tions, vous êtes peut-être dans le vrai (nous ver­rons cela plus loin). Mais comme tous vos professeurs ne sont pas de dangereux sadiques, vérifiez tout de même que vous n'avez commis aucune de ces trois erreurs classiques :

• introduire une ou plu­sieurs inconnues imagi­naires,
• oublier de prendre en compte certaines don­nées,
• écrire une ou plusieurs équations inutiles.

Vous avez autant d'inconnues que d'équa­tions ? Vous avez tout vérifié ? Pour autant, vous n'êtes hélas pas à l'abri d'autres erreurs ou de dif­ficultés imprévues !

Trop souvent, oubli­ant les métho­des simples et parfois le bon sens le plus élémentaire, vous pataugez dans des cal­culs aussi complexes qu'inutiles. Ou bien, vous obtenez les bonnes équations mais vous ne savez pas les uti­li­ser. Ou encore, vous entre­pre­nez la résolu­tion d'un système avant de l'avoir com­plè­tement écrit. Ne riez pas, aucune ressemblance avec des personnages vivants ou ayant vécu n'est imaginaire.

Beaucoup de problè­mes de sta­tique ou de cinématique ont pour épilogue la résolution d'un sys­tème d'équations li­néai­res. Ce très important chapitre des ma­thé­matiques vous sera vraisembla­blement ensei­gné ... trop tard ! Remettons donc, pour une fois, les bœufs devant la charrue.

ATTENTION ! ce qui suit risque de vous inquiéter car vous n'en verrez pas tout de suite l'intérêt ...

Quelques révisions

En fait, vous n'êtes probablement pas tota­lement ignares en matière d'équations linéaires. Le saviez-vous ? Vous possédez même un bon nom­­bre de prérequis ! C'est ainsi que cer­tains pédants nomment ce qui devrait être, et qui est par bonheur assez souvent, votre bagage intellectuel. Dans la Grèce antique, les prére­quis n'étaient pas encore à la mode mais on déplorait déjà la baisse du niveau des jeunes. Les pédagogues étaient les escla­ves chargés de conduire les enfants à l'école.

Venez donc avec nous ! Vous allez bientôt poser un regard neuf sur bien des choses. Exercez à fond votre curiosité, car elle est une des qua­lités de base de tout techni­cien digne de ce nom, en particulier dans le domaine de la mécanique.

C'est parti ? Pour commencer, re­trou­vez donc pour quel­ques minu­tes l'heu­reux temps de vos culot­tes courtes ! Vous séchiez alors sur la plus simple des équa­tions liné­aires :

$a\times x=b\,$

À gauche du signe « égale » le pre­mier mem­bre contient l'in­­connue $x\,$ et son coefficient $a\,$, à droite, le second mem­bre con­tient une constante .

Comment trouver $x\,$ ? Bien sûr, cela dépend de la valeur du coefficient $a\,$.

• si $a\,$ n'est pas nul, l'équation ad­met une solution uni­que $x=b/a\,$, quelle que soit la valeur de $b\,$.

• si $a\,$ est nul, alors il faut voir de plus près la valeur de $b\,$ :

. si $b\,$ est nul, l'équa­tion de­vient $0=0\,$ et $x\,$ est indéterminé.

. si $b\,$ n'est pas nul, alors l'équation est im­pos­sible et bien sûr aucune valeur de x ne peut convenir.

L'équation détermine la va­leur de l'inconnue si le coef­ficient $a\,$ n'est pas nul.

Nous dirons donc à juste titre que ce coefficient est le DÉTERMINANT de l'équa­tion. Retenez bien cette notion car elle est fondamentale.

Matrices, séquence « vocabulaire »

Une matrice n'est jamais qu'un tableau rectan­gulaire conte­nant, entre des crochets ou des paren­thèses, des éléments rangés en lignes et en colonnes.

La matrice la plus simple ne pos­sède qu'un élément :

${\begin{bmatrix}a\end{bmatrix}}$

On peut, dans certaines conditions, la confondre avec le scalaire a.

Une (p,n) matrice com­por­te p lignes et n colonnes :

${\begin{bmatrix}a_{11}&a_{12}&...&a_{1j}&...&a_{1n}\\a_{11}&a_{12}&...&a_{1j}&...&a_{1n}\\a_{21}&a_{22}&...&a_{2j}&...&a_{2n}\\...&...&...&...&...&...\\a_{i1}&a_{i2}&...&a_{ij}&...&a_{in}\\...&...&...&...&...&...\\a_{p1}&a_{p2}&...&a_{pj}&...&a_{pn}\end{bmatrix}}$

Ses dimensions sont p et n, elle contient en tout p × n éléments.

Pour alléger l'écriture, on utilise souvent une notation indicielle :

${\begin{bmatrix}a_{ij}\end{bmatrix}}$

Gare à l'ordre des indi­ces ! Sou­venez-vous de LICOL ! D'abord ligne, puis colonne. Nous vous en reparlerons plus tard.

Si p et n sont différents, la matrice est rectangulaire. S'ils sont égaux, elle est bien sûr carrée, et on la dira d'ordre n.

Voici deux cas particu­liers, une matri­ce-colonne :

$A={\begin{bmatrix}-12\\0\\Z_{3}\\41\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}a_{i}\end{bmatrix}}$

et une matrice-ligne :

$B={\begin{bmatrix}a&b&c\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}b_{j}\end{bmatrix}}$

En supprimant un certain nom­bre de lignes et/ou de colon­nes on obtient un tableau plus petit ou sous-matrice.

Matrices, cas particuliers

Tant que nous sommes sur ce sujet voici, à titre de simple information pour l'instant, quelques autres définitions :

Deux matrices A et B sont dites transposées si ${\begin{bmatrix}b_{ij}\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}a_{ji}\end{bmatrix}}$

On écrit alors que B = Ã (à lire A tildé) :

$A={\begin{bmatrix}a&b\\a'&b'\\a''&b''\end{bmatrix}}\qquad {\text{et}}\qquad B={\tilde {A}}={\begin{bmatrix}a&a'&a''\\b&b'&b''\end{bmatrix}}$

La transposée d'une (p,n) matrice est bien sûr une (n,p) matrice.

La transposée d'une matrice carrée d'ordre n est également une matrice carrée d'ordre n. La diagonale principale qui va du coin supérieur gauche vers le coin infé­rieur droit reste inchangée :

$A={\begin{bmatrix}a&a'\\b&b'\end{bmatrix}}\qquad {\text{et}}\qquad {\tilde {A}}={\begin{bmatrix}a&b\\a'&b'\end{bmatrix}}$

Une matrice symétrique est égale à sa transposée, les éléments étant symétri­ques par rapport à la diagonale principale :

$A={\begin{bmatrix}1&27&-2\\27&0&3\\-2&3&86\end{bmatrix}}={\tilde {A}}\qquad {\begin{bmatrix}a_{ij}\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}b_{ji}\end{bmatrix}}\,\forall i,j$

Déterminants, notion de rang

Un déterminant s'écrit sous la for­me d'un tableau carré mis entre des barres. Contrairement à une matrice, il se réduit toujours à un nombre algébrique. Nous ver­rons plus loin les méthodes de calcul ad hoc.

${\begin{vmatrix}a&b&c\\a'&b'&c'\\a''&b''&c''\end{vmatrix}}=\delta$

Le déterminant le plus simple ne contient qu'un seul nombre. Attention ! Il ne s'agit pas ici d'une valeur absolue !

${\begin{vmatrix}a\end{vmatrix}}=d{\acute {e}}t(a)=a$

Reprenons maintenant l'exemple de notre équa­tion $a\times x=b\;$. À titre indicatif (on n'a nul besoin ici d'un tel arsenal), les matrices du coefficient de l'in­connue dans l'équation et du second membre s'écrivent :

${\begin{bmatrix}a\end{bmatrix}}\qquad {\text{et}}\qquad {\begin{bmatrix}b\end{bmatrix}}$

• Si a n'est pas nul, nous pouvons calculer à partir de l'uni­que élément de la matrice [a] un déterminant ­|a| différent de zéro. Par sa dimension, ou son ordre, |a| est le plus « grand » déterminant non nul calculable à partir des éléments de la ma­trice du premier membre. On l'appelle détermi­nant princi­pal. L'équa­tion et l'in­con­­nue, qui ont un coeffi­cient dans ce déterminant principal, sont appelées équa­tion prin­ci­pale et inconnue princi­pale. Notre « système » d'une équa­tion à une incon­nue est de rang 1.
• Si a est nul, le « système » est de rang 0. Si b n'est pas nul, il y a impossibilité, si b est nul, il y a indétermination et si nous comptions trouver la valeur de x nous ne pouvons qu'être déçus.

Vous ne vous y retrouvez pas bien pour l'instant ? C'est nor­mal. Laissez faire le temps, et surtout faites des exercices !!!

La notion de rang d'un système d'équations est très géné­rale et très importante. Elle carac­térise en quel­que sorte la « ca­pa­cité de trans­fert » d'un « système d'information ». Un rang égal à trois (par exemple) signifie qu'on se sert de trois informations indépendantes pour ob­tenir trois réponses indé­pen­dantes. Rap­pe­lez-vous notre petit problème.

Notre équation à une incon­nue est de rang un si le déterminant |a| tiré de la matrice [a] n'est pas nul : une infor­mation exprimée par une équation fournit alors une réponse. Si ce déterminant est nul le rang l'est aussi, l'équa­tion n'est plus prin­cipale, l'incon­nue non plus, le « système » ne fournit plus aucune information perti­nente.

Généralisation

Cette notion est-elle géné­ralisable ? That is the question ! La réponse est OUI. Les mathé­maticiens vous le démontreront peut-être plus tard, pour l'instant vous pou­vez l'admettre.

Étudions maintenant, avec cet outil provisoirement mal adapté, l'équation :

$a\times x+b\times y=c\,$

Les matrices associées au premier et au second membre sont :sont :

${\begin{bmatrix}a&b\end{bmatrix}}\qquad {\text{et}}\qquad {\begin{bmatrix}c\end{bmatrix}}$

C'est la première qui nous intéresse pour l'instant.

• Si a et b sont différents de zéro, alors nous pouvons en tirer non plus un, mais deux déterminants d'ordre un non nuls :

${\begin{vmatrix}a\end{vmatrix}}\qquad {\text{et}}\qquad {\begin{vmatrix}b\end{vmatrix}}$

L'un ou l'autre peut être choisi comme déterminant principal et l'équa­tion est bien sûr toujours principale. Si nous retenons par exemple la « candida­ture » de |a|, alors l'in­connue principale x devient une fonction de l'inconnue non principale y, que nous pouvons alors considérer comme un simple paramètre à transférer dans le second membre :

$a\times x=c-b\times y\;$

Il en résulte évidemment une équation à une inconnue ; nous ne pouvons pas obtenir le beurre et l'argent du beurre, autrement dit trouver les valeurs de deux inconnues pour le prix d'une seule ! Si par exemple x et y représentent deux forces dont l'une peut être mesu­rée, l'autre s'en déduira. Il n'y a qu'une seule inconnue indé­terminée.

• Si un des coefficients a et b est nul, la matrice associée au premier membre s'écrit par exemple :

${\begin{bmatrix}a&0\end{bmatrix}}$

Le déterminant principal n'est autre que |a| et l'équation devient :

$a\times x=c\;$

Le rang est toujours 1, x est l'incon­nue principale et y l'inconnue non principale, aussi peu déterminée par l'équa­tion que la hauteur des talonnettes présidentielles ou la couleur de vos jolis yeux...

• Si a et b sont tous les deux nuls, la matrice du pre­mier membre s'écrit alors :

${\begin{bmatrix}0&0\end{bmatrix}}$

Le rang du système est nul, il n'y a plus ni déterminant principal, ni équation principale, ni inconnue principale et la situa­tion est bien connue :

- si c est nul, les in­con­nues sont toutes deux indéterminées,

- sinon, il y a impossibilité.

On passe aux systèmes

Et si j'ai maintenant deux équa­tions à une inconnue ?

${\begin{cases}a\times x=b&{\text{(1)}}\\a'\times x=b'&{\text{(2)}}\end{cases}}$

Le texte ci-dessous est récupéré sous forme brute depuis un polycopié de l'auteur, il est inutilisable tel quel.

A ce système j'associe les matrices-colonnes des deux membres :

µ §

Le système est de rang 1 si l'un au moins des déterminants d'ordre 1 que je peux "extraire" de la matrice n'est pas nul :

| a | ou | a' |

l Si aucun de ces déter­minants n'est nul je peux consi­dérer l'une ou l'autre des équa­tions comme principale : - ou bien le système "radote", les deux équations donnent la même valeur de x, il y a simple redon­dance, - ou bien j'ai deux valeurs distinctes de x et le sys­tème, noyé dans ses contra­dictions, est impossible.

Existerait-il par hasard une valeur qui pourrait servir de test ? Si le système radote, il doit me donner deux fois la même valeur de x :

(1) à x = b / a (2) à x = b' / a'

Ce sera le cas si µ §

ou encore a b' - a' b = 0

Je reconnais ici la tech­nique de calcul appelée "pro­duit en croixEX "produit en croix"§". Bon sang mais c'est bien sûr ! Si ça n'est pas un déter­minant d'ordre 2, alors c'est bien imité :

µ §

& ? Cette quantité DOIT être nulle pour que le système ait une solution. C'est un déterminant caractéristiqueEX "déterminant caractéristique"§.

Pour l'équation à une inconnue, ce déterminant n'était autre que | b | = b. Sa devait en effet être nulle pour que l'équation soit possible.

Comment cons­truire le déterminant caractéristique de notre système de deux équations à une inconnue ? Je pars du déterminant principal :

µ §

Je le "borde" en-dessous par la ligne des coefficients des inconnues princi­pales (il n'y en a qu'une ici) dans l'équation non principale dont je dois vérifier la com­pa­tibilité : µ §

Je "borde" le résultat , à droite, par la colonne des seconds membres :

µ §

Au passage, je viens de vous rappe­ler comment on calcule les déterminants d'ordre 2. Pour chaque équation du même type que je pourrais avoir en plus je devrais naturellement écrire un autre déter­minant carac­té­risti­que. En effet, à partir du moment où j'ai utilisé une équa­tion pour obtenir une valeur de x, toute donnée supplémentaire peut se révé­ler incompatible avec les autres et je dois vérifier indivi­duellement que ce n'est pas le cas.

l Si un seul des deux déterminants est différent de zéro, par exemple | a |, la matrice associée au premier membre prend la forme : µ §

Comme précédemment, le détermi­nant caractéris­ti­que doit être nul :

µ §

b' doit être nul puisque a ne l'est pas. Sinon, le sys­tème serait impossible.

l Si les deux déterminants sont simultanément nuls, le rang est nul. On n'a pas besoin de tout écrire pour affirmer que : - si b ET b' ne sont pas tous deux nuls, le sys­tème est impossible. - si b ET b' sont tous deux nuls, x ne figure même pas dans le système dont les deux équations sont identiquement nulles. L'in­con­nue peut prendre n'im­porte quelle valeur, elle est indéterminée.

Mais quel rapport tout cela peut-il avoir avec la mé­canique ? ? ? ? ? Patience ! Conso­lez-vous en vous disant que pour l'étude d'un système méca­nique composé de cinq pièces en équilibre dans l'espace vous devrez écrire au moins TRENTE EQUATIONS et bien sûr un nombre d'inconnues en rapport ...