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Bielle d'un moteur.

En mécanique, une bielle est une pièce reliant deux articulations d'axes mobiles dans le but de transmettre une force. Elle est un des éléments constitutifs du système bielle-manivelle qui permet la transformation d'un mouvement de rotation continue en un mouvement alternatif de rotation ou de translation, et réciproquement. Les bielles sont couramment utilisées dans les moteurs thermiques. C'est d'ailleurs dans le domaine des moteurs à combustion interne qu'elles ont connu le plus fort développement. Dans le cas d'un moteur, la bielle permet la transformation du mouvement rectiligne alternatif du piston en mouvement circulaire quasi continu du vilebrequin ou de la roue de la locomotive.

Origines

Machine à vapeur

Les roues d'une locomotive à vapeur sont mises en rotation par plusieurs bielles.

Dans le cas des locomotives à vapeur, et plus généralement des machines à vapeur, la bielle permet la transformation du mouvement alternatif rectiligne du piston — mouvement qui lui est imprimé par la vapeur successivement sur ses deux faces — en un mouvement de rotation d'une roue ou plusieurs roues. Les locomotives à vapeur sont généralement constituées de plusieurs bielles aux fonctions relativement différentes. Un bielle motrice transmet l'effort de traction de la crosse au maneton de la roue motrice tandis que des bielles d'accouplement transmettent cette force du maneton de la roue motrice aux manetons des roues accouplées afin de répartir l'effort à tous les essieux entraînés.

La distribution Walschaerts est le système de distribution le plus répandu dans les locomotives à vapeur. Dans ce cas, deux autres bielles, dénommées bielle d'excentrique et bielle de commande de tiroir, relient quant à elles le système de distribution au système d'entrainement des roues. Elles permettent de commander le tiroir, c'est-à-dire la valve orientant la vapeur d'un côté ou de l'autre du piston.

Moteur à combustion interne

La bielle transmet le mouvement du piston au vilebrequin.

Anatomie d'une bielle.

Dans les moteurs à combustion interne, les bielles transforment le mouvement alternatif rectiligne des pistons en un mouvement rotatif quasi continu du vilebrequin. La bielle comporte deux alésages circulaires, l'un de petit diamètre, appelé pied de bielle, et l'autre de grand diamètre, appelé tête de bielle. Le pied de bielle est engagé autour de l'axe du piston. La friction entre la bielle et l'axe est réduite par l'interposition entre les deux pièces mobiles d'une bague circulaire recouverte ou constituée de métal anti-friction, ou de roulements.

La tête de bielle, elle, enserre le maneton du vilebrequin. Pour permettre le montage dans le cas d'un vilebrequin assemblé, la tête est coupée en deux dans un plan diamétral perpendiculaire à l'axe général de la pièce. La partie coupée s'appelle le chapeau de bielle. Après montage, le chapeau (ou pontet) est réassemblé au reste de la bielle par des boulons.

À l'inverse, la bielle peut être d'une seule pièce si le vilebrequin est constitué de parties assemblées après montage de la bielle. L'embiellage (manivelle et bielle) n'est plus démontable. La friction entre l'ensemble bielle/chapeau et maneton est réduite par l'interposition entre les pièces mobiles de deux demi-coussinets en acier recouverts sur leurs faces internes de métal anti-friction, ou de roulements.

Un manque de lubrification ou un échauffement trop important peut entrainer la fonte du métal antifriction et sa disparition entre les pièces mobiles provoque un jeu engendrant cognements et chocs destructeurs ; on dit que la bielle est coulée. Pour éviter ces désagréments, têtes et pieds de bielles sont percés de petits conduits qui permettent à l'huile moteur de circuler, de lubrifier et de refroidir les faces métalliques en contact.

Conception et procédé de fabrication

Ensemble bielle et piston d'un moteur thermique.

La bielle se doit d'être à la fois la plus légère possible pour diminuer les effets de balourd sur les axes mais également la plus longue possible pour que le mécanisme bielle-manivelle observe un mouvement suffisamment régulier. Comme elle agit en transmetteur d'effort, la bielle est soumise à des sollicitations de traction et de compression. Sa longueur est ainsi limitée par des considérations de résistance au flambage tandis que sa section est la plus élancée possible pour obtenir un grand moment d'inertie.

Évidemment, chaque bielle est un compromis entre légèreté, longueur et résistance. La conception d'une bielle se fait ainsi en même temps que le développement du piston pour permettre une longueur maximale de la bielle sans sacrifier la solidité du piston. La bielle est généralement une pièce forgée, mais elle peut également être usinée dans la masse. Une matrice emboutit la bielle avec ses œilletons sous-dimensionnés. Les œilletons sont usinés, la tête de bielle est alors coupée avec l'aide d'une guillotine pour permettre la fixation sur le vilebrequin. Les coussinets sont ensuite fixés.

Système bielle-manivelle

Animation d'un système bielle-manivelle d'un moteur à quatre cylindres

Le système bielle-manivelle est un modèle de mécanisme qui doit son nom aux deux pièces qui le caractérisent et constitue une innovation de rupture qui vient s'ajouter aux cinq chaînes cinématiques simples. le moteur thermique utilise ce sytème pour la variation de volume dans la chambre de combustion. Par ailleurs, les techniciens se sont probablement très vite rendu compte qu'il existe deux points morts qui peuvent bloquer le système, de sorte qu'ils ont rapidement associé un volant d'inertie sur l'axe en rotation.

Description

un moteur

C'est, avant tout, un système mécanique de transformation de mouvement ; il est constitué de 4 pièces principales : la bielle, la manivelle appelée aussi vilebrequin, l'oscillateur et le bâti.

La manivelle et l'oscillateur constituent les deux pièces d'entrée et sortie du mécanisme. La transformation de mouvement concerne donc ces éléments. La manivelle (motrice ou réceptrice) est supposée tourner continuellement dans le même sens autour de son axe, alors que l'oscillateur est animé d'un mouvement alterné.

La bielle est liée par deux articulations, d'un côté à la manivelle, et de l'autre à l'oscillateur qui peut être guidé dans le bâti par deux types de liaisons :

• Liaison autorisant une translation : c'est le cas des machines à piston (pompes hydrostatiques, moteur).
• Liaison autorisant une rotation : ce cas est alors répertorié comme mécanisme à 4 barres (liées entre elles par 4 articulations). Il s'agit par exemple du système de tringlerie d'essuie-glace de véhicules.

Exemples d'applications

Pour la suite de l'étude on ne considérera que des systèmes avec oscillateurs en translation. on distinguera cependant deux grandes familles :

• les moteurs à piston (la manivelle est alors réceptrice) : la source d'énergie vient des gaz introduits dans la chambre et poussant le piston.
• les pompes hydrostatiques (la manivelle est alors motrice) : un couple moteur appliqué à la manivelle anime l'ensemble, le piston propulse alors le fluide contenu dans la chambre.

Modélisation cinématique

Le mécanisme bielle-manivelle comporte un nombre cyclomatique égal à 1, et présente une mobilité utile. Le tableau ci-dessous répertorie les principales solutions cinématiques en indiquant le type de chaque liaison mécanique, les degrés d'hyperstatisme et de mobilité.

Exemple	Liaison O 1/2	Liaison A 2/3	Liaison B 3/4	Liaison C 4/1	Mobilité Mc	Hyperstatisme -Ms
Moteur pompe classique	Pivot (5)	Pivot (5)	Pivot glissant (4)	Pivot glissant (4)	1	1
Piston de section oblongue	Pivot (5)	Pivot (5)	Pivot glissant (4)	Glissière (5)	1	2
Machine vapeur (bielles très longues)	Pivot (5)	Pivot (5)	Pivot (5)	Pivot glissant (4)	1	2
Piston de forme ovalisée ou jeu	Pivot (5)	Pivot (5)	Pivot glissant (4)	Linéaire annulaire (3)	1	0
autre combinaison admissible	Pivot (5)	Pivot glissant (4)	Rotule(3)	Pivot glissant(3)	2	0
-	-	-	-	-	-	-

Équations horaires

Le système bielle manivelle est un mécanisme plan. Dans le plan (x, y) du schéma suivant, on peut représenter en vraie grandeur les déplacements de chaque pièce. La géométrie dépend :

• du rayon R=OA de la manivelle ;
• de la longueur L=AB de la bielle ;
• et de la distance entre le point O et la droite de déplacement du point B.

Piston dans l'axe

Schéma plan du système bielle manivelle avec piston dans l'axe :

Animation procédurale du système bielle-manivelle avec piston dans l'axe, selon le schéma plan ci-dessus :

Les déplacements des deux pistons sont calculés avec l'équation horaire h(t) ci-dessous, pour L≈R et L=3R, valeurs utilisées dans les courbes Lois du mouvement dans la section Valeurs particulières ci-après.

Animation bielle manivelle avec piston dans l'axe pour L≈R(rouge) et L=3R(vert)

Pour cette configuration le point B est sur l'axe (O, y).

On peut repérer la position du mécanisme par la position angulaire θ de la manivelle. Cet angle est une fonction du temps. La position de B est alors définie par sa hauteur h(t)=OB.

• h(t) = OB = OH + HB = R.sinθ + L.cos(arcsin(R.cosθ/L)) = R.sinθ + sqrt(L²-R²cos²θ).

avec θ = θ(t) = ω.t (par exemple).

Par dérivation on obtient alors la vitesse puis l'accélération (expressions non triviales). On peut aussi repérer la position angulaire de la manivelle θ en fonction de la position du piston (OB) avec la formule suivante:

• θ = arcsin((R²+OB²-L²)/(2.R.OB))

Remarques sur la géométrie: Pour que le système puisse faire un tour, il faut que la bielle soit au moins plus longue que la manivelle (arcsin ayant des arguments inférieurs ou égaux à 1). Notez aussi que le milieu de course du piston ne correspond pas à θ=0.

Valeurs particulières:

• θ=90°: OB = R + L : c'est la position la plus haute de B, appelée point mort haut parce que sa vitesse s'annule pour changer de signe.
• θ=270°: OB = L - R : par opposition il s'agit du point mort bas. La distance séparant les deux points morts et valant 2R est naturellement appelée course du piston.

Pour un système bielle-manivelle avec piston dans l'axe, on constate donc:

• R vaut la moitié de la course du piston.
• La longueur de bielle n'a pas d'incidence sur la course. Elle contribue cependant à la symétrie du mouvement: si L est très grand devant R, celui-ci devient sinusoïdal.

Lois du mouvement pour L=3R

Lois du mouvement pour L≈R

Les courbes ci-contre obtenues à partir de l'équation horaire, donnent sur une période, la comparaison de deux configurations (avec R/L différents):

Avec L=3R, le mouvement aux alentours du point mort bas s'apparente à un mouvement uniformément varié. Les accélérations peuvent être très violentes si la longueur de bielle est trop faible. À l'autre extrême, une contrainte d'encombrement, mais aussi de résistance au flambage (ou flambement) limite la longueur de bielle. Au technicien de trouver le bon compromis.

Voici quelques exemples de valeurs pratiquées dans le cas des moteurs thermiques:

• Moteur de scooter 50 cm³ : R=20 et L=80=4R (mm)
• Moteur de modélisme 6 cm³ : R=10 et L=35=3,5R

La fonction n'étant pas bijective (sur une période) et suffisamment complexe il ne sera pas donné d'expression de la rotation en fonction de la translation de B. On peut cependant considérer, que pour un moteur la vitesse de sortie est une rotation continue à vitesse constante. Pour arriver à cette fin, un volant d'inertie est monté sur l'arbre. Les vibrations engendrées par l'irrégularité du mouvement pourraient endommager l'ensemble du système.

Piston « désaxé »

Lorsque le point B est décalé, la symétrie du dispositif n'est plus respectée.

Comportement statique

L'objet de l'étude concerne ici le comportement statique du mécanisme, à savoir la détermination de la relation éventuelle entre l'effort appliqué au piston et le couple récupéré sur la manivelle (dans le cas d'une machine thermique par exemple).

Méthode statique

Pour chaque position, le mécanisme considéré à l'arrêt est en équilibre sous l'ensemble des efforts extérieurs. Cette démarche est appelée quasi-statique puisqu'elle s'appuie sur le paradoxe de mouvement arrêté. C'est le principe de calcul adopté par les logiciels de simulation en mécanique, qui donnent l'évolution des efforts sur le mécanisme en équilibre tout en progressant. Cela revient à une hypothèse d'inertie nulle.

Pour cette étude les conventions sur les efforts extérieurs sont les suivantes :

• Force appliquée sur et dans l'axe du piston. F supposée connue.
• Couple sur la manivelle (dans l'axe de la manivelle) C=f(F)?

Le problème statique étant plan, il peut être résolu graphiquement ou à l'aide de torseurs; dans tous les cas, il faudra opérer l'isolement de plusieurs systèmes mécaniques. La solution la plus courte étant:

• équilibre de la bielle qui transmet l'action du piston vers la manivelle, ce qui nous renseigne sur la direction des actions transmises dans les articulations en A et B.
• équilibre du piston sous 3 actions (glissière 2D, articulation, et F ext), qui donne l'intensité des actions transmises dans les articulations en A et B.
• équilibre de la manivelle sous 3 actions (2 articulations et un couple), qui donne la valeur du couple.

L'étude F=f(C) peut être menée de même. On sera cependant obligé d'inverser les deux dernières étapes.

Méthode énergétique

En considérant que le système est de rendement 1, que la manivelle tourne à vitesse constante, et que les inerties sont négligeables, on établit une relation simplifiée donnant C en fonction de F, à partir de l'égalité des puissances consommée et fournie (produits F.V et C.ω) :

$C=F.R\cos \theta \left(1+{\frac {R\sin \theta }{\sqrt {L^{2}-R^{2}\cos ^{2}\theta }}}\right)$

Lorsque L est suffisamment grand, le terme sous forme de fraction ne s'annulant pas, on retrouve deux points particuliers ou le couple est nul: il s'agit des points morts haut et bas pour lesquels l'action de F est donc totalement inefficace sur l'avancée de la manivelle ; l'efficacité est au contraire maximale lorsque la manivelle est à l'horizontale.

Le piston

Efforts répartis sur la chemise

L'étude détaillée du piston montre que les actions mécaniques doivent avoir un moment nul en B. Cela implique une géométrie bien adaptée pour éviter l'arc-boutement de celui-ci dans la chemise, ce qui provoque les serrages du moteur. C'est pourquoi l'articulation B doit se trouver à l'intérieur du piston, autrement dit, la surface de contact piston/chemise doit être en vis-à-vis de l'axe de piston. Par exemple si la liaison pivot glissant avec le bâti est réalisée comme sur le schéma cinématique montré plus haut, (cependant juste cinématiquement), le piston tend à se pencher et peut se coincer comme un tiroir de commode.

Cinématique

Démonstration

$x=-r\cdot cos\alpha \pm l\,(1-cos\beta )$
$x=-r\cdot cos\alpha \pm l\,\lbrack 1-{\sqrt {1-(\lambda \cdot sin\alpha )^{2}}}\rbrack$
par développement en série :
$x=-r\cdot cos\alpha \pm {\frac {\lambda }{2}}\,r\cdot sin^{2}\alpha \pm \ldots$
en négligeant les ternes suivants :
$x=-r\left(cos\alpha \pm {\frac {\lambda }{2}}\,sin^{2}\alpha \right)$

$s=r\,(1-cos\varphi )+{\frac {\lambda }{2}}\,r\,sin^{2}\varphi$

$v=\omega \,r\,sin\varphi \,(1+\lambda \,cos\varphi )$

$a=\omega ^{2}\,r\,(cos\varphi +\lambda \,cos2\varphi )$

$\lambda ={\frac {r}{l}}={\frac {1}{4}}\ldots {\frac {1}{6}}$

$\varphi =\omega \,t=2\,\pi \,n\,t$

($\lambda$ est le rapport de bielle, $\omega$ = const.)

Cinématique bielle-manivelle

$L$, la longueur de la bielle
$C$, la course
$K={\frac {L}{C}}$, rapport bielle/course

Déplacement du piston : $y={\frac {C}{2}}(1+cos\alpha ^{\prime })+C{\frac {sin^{2}\alpha ^{\prime }}{8K}}$

$K={\frac {L}{2\,r}}$

Déplacement du piston (moteur désaxé) : $y=y^{\prime }+{\frac {r\,d}{2\,K}}\left\lbrack {\frac {d}{2\,(2\,K+1)}}-sin\alpha \right\rbrack$
$y^{\prime }=(1-cos\alpha )\,r+{\frac {r\,sin^{2}\alpha }{4\,K}}\,$