Théorème de Pythagore (E-M)

Exercices de mathématiques Sommaire

Le théorème de Pythagore permet de calculer des distances dans un triangle rectangle ou de vérifier si un triangle est rectangle connaissant ses côtés.

Calculs de distances

Applications directes

Dans ces exercices, le triangle rectangle est donné

• Exercice 1

Le triangle ABC est rectangle en A. Sachant que AB = 3 et que AC = 4, calculer BC.

Solution

Le triangle ABC est rectangle en A donc $AB^2 + AC^2 = BC^2$.

Comme AB = 3 et AC = 4, on aura $BC^2 = 9 + 16 = 25$ donc BC = 5.

• Exercice 2

Le triangle MNP est rectangle en P. Sachant que MN = 13 et que NP = 5, calculer MP.

Solution

Le triangle MNP est rectangle en P donc $MP^2+ NP^2 = MN^2$.

Comme MN = 13 et NP = 5, on aura $169 =MP^2 + 25$, donc $MP^2 = 144$ , puis MP = 12.

Formules à connaitre

Dans les exercices suivants, il s'agit de trouver quel est le triangle rectangle qu'il faut utiliser.

• Exercice 1

Montrer que dans un carré de côté a, la diagonale est $a \sqrt{2}$

Solution

Si on nomme le carré ABCD, on obtient un triangle ABC rectangle en B. La diagonale du carré correspond à AC.

Le théorème de Pythagore permet d'écrire que $AC^2 = AB^2 + BC^2 = a^2 + a^2 = 2a^2$.

Donc $AC = \sqrt{2a^2} = a\sqrt2$

• Exercice 2

Montrer que dans un cube de côté a, la diagonale est $a \sqrt{3}$

Solution

Si on nomme le cube ABCDEFGH, on peut remarquer que le triangle ACG est rectangle en C. La longueur AG correspond à la diagonale du cube.

Le théorème de Pythagore permet d'écrire que $AG^2= AC^2 + CG^2$.

AC est la diagonale du carré ABCD donc $AC^2 = 2a^2$.

CG est une arête du cube don $CG^2 = a^2$.

Donc $AG^2 = 2a^2 + a^2 = 3a^2$ et $AG = \sqrt{3a^2} = a \sqrt 3$.

• Exercice 3

Montrer que dans un triangle équilatéral de côté a, la hauteur est $a \frac{\sqrt{3}}{2}$

Solution

On nomme le triangle équilatéral ABC et on appelle I le milieu de [AB]. Le segment [CI] est alors médiane, médiatrice et hauteur du triangle. Le triangle CIA est alors rectangle en I.

Le théorème de Pythagore permet d'écrire que $CA^2 = CI^2 + IA^2$.

On remplace alors CA par a et IA par a/2

$a^2 = CI^2 + {a^2 \over 4}$ donc ${3a^2 \over 4} = CI^2$.

Donc $CI = \sqrt{\frac{3a^2}{4}} = \frac{a\sqrt{3}}{2}$

Utilisation dans l'espace

• Exercice 1

(S) est une sphère de centre O et de rayon 8 cm. On coupe cette sphère par un plan dont la distance à O est de 5 cm. Quel est le rayon du cercle obtenu?

Solution

On appelle H le projeté orthogonal du point O sur le plan de coupe. Si M est un point commun de la sphère et du plan, on a

• • OM = 8 car M est sur la sphère.
  • OHM est un triangle rectangle en H car M est dans le plan.

Le théorème de Pythagore permet d'écrire que $OM^2 = OH^2 + HM^2$.

On sait que OH = 5 et OM = 8 donc $64 = 25 + HM^2$ donc $HM^2 = 39$

Le point M est donc sur un cercle de centre H et de rayon $\sqrt 39$

• Exercice 2

(SABCD) est une pyramide dont la base est un carré ABCD de côté 6 cm et de centre O. Le sommet S de la pyramide se projette orthogonalement en O. La hauteur de la pyramide est de 4 cm.

1. 1. Quelle est la longueur SA ?
   2. Quelle est la valeur de l'apothème (segment joignant le sommet de la pyramide et le milieu d'un côté) ?

Solution

1. Le triangle SOA est rectangle en O.

Le théorème de Pythagore permet d'écrire $SO^2 + OA^2= SA^2$

OA est la demi-diagonale du carré de côté 6 donc $OA = 3\sqrt2$ et $OA^2 = 18$. D'autre part SO = 4

On remplace alors $SA^2 = 16 + 18 = 34$ donc $SA = \sqrt{34}$

2. Si I est le milieu de [AB], [SI] est médiane, médiatrice et hauteur du triangle isocèle SAB donc le triangle SIA est rectangle en I.

Le théorème de Pythagore permet d'écrire que $SA^2 = SI^2 + IA^2$.

$SA^2 = 34$ et IA = 3 donc $34 = SI^2 + 9$ donc $SI^2 = 25$ donc SI = 5

• Exercice 3

Le développement d'un cône est une portion de cercle de rayon 8 cm et d'angle au centre 180°. Quelle est la hauteur du cône?

Solution

Le cône reconstitué aura pour hauteur h, sa base sera un cercle de centre O et de rayon r. Si M est un point du cercle de base et S est le sommet du cône, par construction du développement, on aura SM = 8. Le triangle SOM est rectangle en O. Le théorème de Pythagore permet d'écrire :

$SO^2 + OM^2 = SM^2$. Soit en remplaçant $h^2 + r^2 = 64$

Pour déterminer h, il faut donc connaître r.

La portion de cercle qui constitue le développement de cône correspond à un demi-cercle (180° est la moitié de 360°). La longueur de l'arc est donc égale au demi-périmètre soit $\frac{1}{2} 2\times \pi \times 8$, soit $8\pi$.

Dans le cône reconstitué, cette longueur correspond au périmètre du cercle de base, soit $2\pi r$. Par comparaison, on obtient r = 4.

Il suffit maintenant de compléter l'égalité de Pythagore précédente : $h^2 + 16 = 64$ soit $h^2 = 48 = 4^2\times 3$ donc $h = 4\sqrt 3$

Recherche

• Exercice 1

Il s'agit de retrouver le théorème d'Al Kashi dans le cas où le triangle ABC possède en A un angle aigu. (connaissance requise : cosinus dans le triangle rectangle).

On considère un triangle ABC. L'angle de sommet A est aigu. On note a = BC, b = CA et c = AB. Soit H le pied de la hauteur issue de B. On note h = BH et d = AH

1. 1. Exprimer HC en fonction de d et b
   2. Exprimer $a^2$ en fonction de d,b et h
   3. Exprimer $h^2$ en fonction de d et c et en déduire $a^2$ en fonction de d, b et c
   4. Exprimer d en fonction de c et cos(A) et retrouver la formule : $a^2 = b^2 + c^2 - 2bc\cos(A)$

Solution

1. L'angle A étant aigu, le point H est sur le segment [AC], donc HC = b - d.

2. Le triangle BHC est rectangle en H donc $BC^2 = BH^2 + HC^2$.

En remplaçant par les notations de l'énoncé, on a $a^2 = h^2 + (b - d)^2 = h^2 + (b^2 - 2bd + d^2)$.

3. Le triangle BHA est rectangle en H donc $BA^2 = BH^2 + HA^2$.

En remplaçant par les notations de l'énoncé $c^2 = h^2 + d^2$ donc $h^2 = c^2 - d^2$.

On peut alors remplacer dans l'égalité précédente: $a^2 = (c^2 - d^2) + (b^2 - 2bd + d^2)$, puis simplifier,

$a^2 = b^2 + c^2 - 2bd$

4. Le triangle BHA est rectangle en H. BA (= c) est l'hypoténuse et AH (= d) est le côté adjacent donc $\cos(A) = \frac{d}{c}$ donc $d = c\cos(A)$. On remplace alors dans l'égalité précédente: $a^2 = b^2 + c^2 - 2bc\cos(A)$

Triangle rectangle ou non?

• Exercice 1

Soit BCD un triangle tel que $BC = 7$, $CD = 3\sqrt 3$ et $BD = 3 \sqrt 2$. Le triangle est-il rectangle ? Si oui, où se trouve l'angle droit ?

Solution

Le carré d'un des côtés est-il égal à la somme des carrés des deux autres côtés ?

$BC^2 = 49\,$, $CD^2 = 9 \times 3 = 27$ et $BD^2 = 9 \times 2 = 18$.

Seul le plus grand des carrés peut être égal à la somme des deux autres. Le plus grand des carrés est 49 mais $27 + 18 \neq 49$. Le triangle n'est donc pas rectangle.

• Exercice 2

Soit RAS un triangle tel que $RA = 6$, $AS = 10$ et $RS = 8$. Le triangle est-il rectangle ? Si oui, où se trouve l'angle droit ?

Solution

Le carré d'un des côtés est-il égal à la somme des carrés des deux autres côtés ?

$RA^2 = 36$, $AS^2 = 100$ et $RS^2 = 64$.

Seul le plus grand des carrés peut être égal à la somme des deux autres. Le plus grand des carrés est 100 et $36 + 64 = 100$. On a bien $AS^2 = RA^2 + RS^2$, le triangle est donc rectangle en R.

• Exercice 3 (recherche)

Si ABC est un triangle rectangle en A, peut-on, en ajoutant une unité à chacune des dimensions, conserver un triangle rectangle ?

Solution

On note a = BC, b = CA, c = AB. Le triangle est rectangle en A donc le théorème de pythagore permet d'écrire $a^2 = b^2 + c^2$

Si on ajoute une unité à chacun des côtés, on obtiendra un triangle dont les dimensions sont a + 1, b + 1 et c + 1. La plus grande des dimensions reste a + 1

Si le nouveau triangle est encore rectangle, on doit avoir

$(a+1)^2 = (b + 1)^2 + (c + 1)^2$

Ce qui donne après développement

$a^2 + 2a + 1 = b^2 + 2b + 1 + c^2 + 2c + 1$

Or on sait que $a^2=b^2+c^2$, donc, en simplifiant on obtient :

2a = 2b + 2c + 1

Soit encore

a = b + c + 1/2

Mais l'inégalité triangulaire affirme que $a \leq b + c$ donc il n'est pas possible que a = b + c + 1/2. Il est donc IMPOSSIBLE de conserver un triangle rectangle en augmentant toutes les dimensions d'une unité.