Utilisateur:Lafreniere
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Auteur: Sir LUKE ERIC LAFRENIERE Titre:Concepts de Géométrie Moderne SITE INTERNET : http://en.wikipedia.org/wiki/User:Skishows http://www.youtube.com/my_videos Courriel : skishows@yahoo.com
L’usage du masculin est utilisé de manière à représenter équitablement les deux sexes.
Traduction de : «Heavens Geometry» ou «Concepts of Modern Geometry»
Le mur de l’inconnu…
Les mathématiques supérieures peuvent être beaucoup plus simples que les mathématiques élémentaires. En général, un théorème d’une grande généralité ne dit rien de compliqué ; il se borne à attirer l’attention sur des faits importants. Presque toutes les découvertes mathématiques reposent sur une idée plutôt simple.
William Sawyer
La présente théorie est provisoire…
Jean Schneider
« Les mathématiques ne portent que sur des idées : elles sont l’étude rigoureuse, systématique et idéalisés des structures formelles et des relations abstraites, ce qui suffirait à en faire la base obligée de toute construction théorique, quelle qu’elle soit. »
Laurent-Michel Vacher
Le mur de l’inconnu…
- « Nul ne sait où sa vie s’arrêtera ! - Qui peut connaître exactement ce qu’il ou elle sera demain ? - Connaître sa destinée peut parfois s’avérer périlleuse. - Pourquoi ? - Parce que l’inconnu stimule la vie. Il donne un sens à l’existence. - L’incertitude est remplie d’originalité. - Si vous connaissez exactement l’heure de votre mort, vous n’aurez plus le goût de combattre pour la vie. - Simplement, parce que votre être est programmé à vivre. - Être réellement maître de sa destinée consiste à franchir le mur de l’inconnu. - Il nous incite à craindre Dieu et à le respecter encore plus. - C’est le commencement de la sagesse. »
Lafreniere
« (…) La ville avait la forme d’un carré, sa longueur était égale à sa largeur. Il mesura la Ville avec le roseau : 12 000 stades ; la longueur, la largeur et la hauteur en étaient égales. Il mesura la muraille : 144 coudées, mesure d’homme qui était celle de l’ange. »
Apocalypse 21 : 16-17
«Voilà une dimension que plusieurs ont voulu pénétrer ou en percer les milles et uns secrets. Mais seulement quelques privilégiés ont réussi à le transmettre et parfois au péril de leurs vies.
Pourquoi ?
L’éternité est compréhensible seulement et grâce surtout à l’omnipotence, l’omniscience, et l’omniprésence du Saint-Esprit.»
Lafreniere
Par une merveilleuse fin de journée ensoleillée à la fin du mois de Juillet 2006, j’en profitais pour entreprendre ce que j’appelle une ballade intellectuelle dans le monde : mathématique. Tirant son origine sur deux bases géométriques dites paradoxales, j’aimerais vous exposer deux anciens théorèmes.
1-) L’Espace-temps de la géométrie Euclidienne
2-) L’Espace-temps de la géométrie de Lorentz
Remontons un peu dans l’espace-temps du passé, si vous voulez bien, au 3e siècle avant Jésus-Christ dans une magnifique mégapole grecque nommée Alexandrie. Un grand mathématicien voyait le jour. Rapidement, il fut couronné de gloire et de succès grâce à sa géométrie dite Euclidienne. Son nom est: Euclide. Deux mille trois cent ans plus tard, la géométrie euclidienne consiste à définir quelques précisions géométriques simples et parfois complexes. La longueur, ou son carré, est toujours de valeur ou axée sur des quantités dites positives.
(∆ X exposant 2) + (∆ Y exposant 2) = (∆ X ‘ exposant 2) + (∆ Y’ exposant 2) ≥ 0
Cela ressemble à plusieurs types de formules applicables encore aujourd’hui à l’espace-temps courbe de Minkowski. Mais pour (3) trois dimensions seulement. Bref, notre géométrie à nous est semblable à la géométrie euclidienne; expliquant ainsi la géométrie classique de notre Univers D’Einstein de Sitter. Poursuivons notre chemin sur la route historique de la géométrie, il faut remonter à la fin du 19e siècle de notre ère pour assister à la naissance d’une seconde géométrie, celle du célèbre Hendrick Antoon Lorentz. Il est né à Arnhem en 1853 et meurt à Haarlem en 1928. Sa géométrie voit le jour et c’est une géométrie à intervalle liant deux systèmes parallèles. Ainsi est né le carré de l’intervalle de la géométrie à quatre dimensions, la géométrie de Lorentz.
(∆ t exposant 2) - (∆ X exposant 2) = (∆ t ‘ exposant 2) - (∆ X’ exposant 2) ≥ 0 (∆ t exposant 2) - (∆ X exposant 2) = (∆ t ‘ exposant 2) - (∆ X’ exposant 2) ≤ 0 (∆ t exposant 2) - (∆ X exposant 2) = (∆ t ‘ exposant 2) - (∆ X’ exposant 2) = 0. Où les résultats peuvent être soit positif, soit négatif ou parfois nul. Une nouvelle ère en géométrie venait de naître. Les signes mathématiques (+, -, =) dépendent de celle des composantes du temps (4e dimension) ou d’espace qui prédomine.
Ainsi en géométrie de Lorentz, la ligne d’Univers courbée est parcourue dans le temps propre le plus court et s’applique parfaitement à notre monde à quatre (4) dimensions. Certains néophytes pourraient se poser la question :-« Quelle différence y-a-t-il entre la géométrie euclidienne, et celle de Lorentz? » La réponse est : l’accélération. Pour les visuels, voici les deux (2) graphiques illustrant les deux paradoxes géométriques :
En surplus, voici la citation résumant bien les deux géométries dites complémentaires : « Le temps propre du monde physique réel de l’espace-temps diffère évidemment beaucoup de la distance des traités de géométrie euclidienne. La distance la plus courte caractérise la route directe : « La ligne droite est la plus courte distance entre deux points. » Au contraire, le temps propre écoulé est plus court pour le voyageur qui s’éloigne à grande vitesse et revient à son point de départ que pour l’homme qui est resté chez lui !»
En résumé, la différence entre les deux géométries repose sur l’ajout d’un 4e paramètre, le temps. Donc, il est exact de dire que la géométrie euclidienne touche à trois (3) paramètres dont l’espace à une, deux et trois dimensions : - la ligne, l’espace, et la surface. Tandis que la géométrie de Lorentz insiste à inclure la dimension essentielle qu’est le temps. Ici comme l’assertion précédente, John A. Wheeler illustre magnifiquement bien la complémentarité:
-« Nous avons appris aujourd’hui à ne pas exagérer l’argument de Minkowski. Il est exact de dire que le temps et l’espace sont des parties inséparables d’une unité plus large. Il est faux de prétendre que le temps est de qualité identique à l’espace. Pourquoi ceci est-il faux ? Ne mesure-t-on pas le temps en mètres, tout comme une distance ? Les coordonnées x et y ne sont-elles pas des quantités de caractère physique identique ? Par analogie, les coordonnées x et t du diagramme d’espace-temps ne sont-elles pas de même nature que les autres ? Comment même pourrait-il être légitime de placer ces trois quantités sur un pied d’égalité, dans la formule : [(∆X) exposant2 + (∆Y) exposant2 + (∆Z) exposant2 – (∆T) exposant2] exposant 1/2 de l’intervalle espace par exemple ? Pied d’égalité, oui ; même nature, non. Il existe dans cette formule un signe moins qu’aucun tour de prestidigitation ne peut faire disparaître. C’est ce signe moins qui marque la différence de caractère entre l’espace et le temps. »
Bon résumons-nous !
Considérons qu’Euclide avait besoin de trois (3) paramètres ; la ligne, la surface et l’espace afin de créer la géométrie classique des «Éléments» qui porte désormais son nom. Ici, l’emphase doit être mise sur le mot «paramètre.» Trois (300) cent ans avant la naissance du Christ et dix neuf siècle plus tard, Lorentz (1900) et Minkowski ***(1908) introduisirent un 4e paramètre qui deviendra avec le temps, le «temps.» Minkowski avait raison lorsqu’il disait :
-« L’espace pur et le temps pur sont dorénavant condamnés à s’effacer dans l’ombre ; seule une sorte d’union des deux préservera une réalité indépendante. » Ensuite, dans la chronologie du temps, on assiste à l’arrivée de la géométrie de [[Bernhard Riemann]où l’espace est courbe. De Riemann, convention devenue célèbre mais surtout classique grâce à Albert Einstein, à la Post-Géométrie de l’Au-Delà dite Lafreniere.
Débutons sur des bases conventionnelles à plus de trois dimensions. Nous sommes tous interpellés vers l’étude d’un espace infiniment petit grâce à la rotation d’un bivecteur en géométrie classique. Mais, qu’est-ce qu’au fait un bivecteur? Le petit Larousse illustré 2006 affirme qu’un vecteur en mathématique géométrique est le segment bi-dimensionnel d’une droite orientée par sa direction, son sens, et sa longueur. Voilà, une définition «littérale» du mot vecteur. Toujours selon la géométrie dite de Riemann, de ce fameux bivecteur, il faut effectuer le produit (multiplication) scalaire du premier (1er) bivecteur par le second à l’intérieur d’un cycle précis «xyz.»
On obtient un produit (conséquence de la multiplication de deux bi-vecteurs) d’où on divise l’aire (dimension) élevée à la puissance au carré, le tout limité par un cycle «xyz» donné. Fantastique, si vous avez compris Riemann. Sinon, pour vous simplifier la vie, observez bien la formule extraite de la courbure riemannienne des espaces à plus de trois dimensions :
Pour le profane, commençons par les lettres grecques suivantes : α, β, γ, δ. N’importe quelle appellation enseigne qu’alpha EN GREC représente la lettre A dans l’alphabet francophone. Β pour Bêta, représente B dans la langue française, et γ, le Gamma, 3e lettre de l’alphabet grec.
Poursuivons avec notre formule de Riemann : (pα + qβ + rγ) dδ élevé à la puissance deux = K dδ élevé à la puissance deux.
En logique mathématique, α (alpha), β (bêta), et γ (gamma) sont associés à une dimension quelconque de l’espace en géométrie simple du temps d’Euclide. En d’autres mots, pour mieux comprendre la formule, il faut saisir un peu le vocabulaire grec. Dans la formule suivante : (pα + qβ + rγ), on observe combien de dimensions? N’oublions pas que chaque lettre grecque imagine ou fait mention d’une dimension spécifique en géométrie. Ici, on parle maintenant d’une observation pour n=3. Donc, trois dimensions. Exemples, le point α, la surface β, et l’espace γ représentent en fait trois (n=3) dimensions ou paramètres. Comme a introduit Riemann, quelle sera la formule si on y injecte une 4e dimension? Par exemple, le temps. Il faudra ajuster la formule de base par celle-ci :
(pα + qβ + rγ + sω) dδ élevé à la puissance deux = K dδ élevé à la puissance deux
Donc, sω (oméga) est attribué spécifiquement au temps. Parenthèse en post-géométrie, la lettre grecque ω oméga est représentée surtout par le paramètre «omniscience». Fin de la parenthèse. Poursuivons la route sur l’espace courbe de Riemann. Que représente la codification : dδ élevé à la puissance deux et «K»? La lettre «K» est significative. Elle est une constante mathématique identifiée par le «k» représentant la même image se répétant de façon constante, continuelle, et permanente. Dans la formule, le «K» coïncide à une constante dite la constante de Riemann. Elle accompagne souvent l’équation et parfois elle représente une quantité, un chiffre ou un nombre quelconque. Une constante demeure toujours fidèle.Parfois elle rassure mais surtout elle ne souffre pas d’une constante variation. En exemples, plusieurs constantes sont désormais célèbres : comme la constante de Hubble (1929), la constante de Planck (1900) identifiée par la lettre «H» dont la valeur constante est de 6,626 * 10exposant-34 joule-seconde, la constante de newton (1675), la constante d’Einstein (1916), et ainsi de suite. Enfin, revenons si vous voulez bien au dernier symbole mathématique de notre formule, le fameux sigma «dδ» exposant à la puissance deux. Pourquoi, Riemann adopte-t-il ce type de symbole?
Rappelons la logique du début : -« en divisant par le nombre obtenu par le carré de la mesure de l’aire limitée par le cycle. »
Pour simplifier la cause, ici, le sigma «dδ» exposant à la puissance deux sert simplement de véritable catalyseur à l’équation de Riemann. Qu’est-ce que l’équilibre dans une équation mathématique? Connaissez-vous la métaphore suivante : «deux poids, deux mesures ! »
Une convention «sine qua non» où l’équilibre mathématique consiste à une opération par laquelle on fait balancer l’équation. Bref, sigma «dδ» élevé à la puissance deux stabilise la formule de part et d’autre de l’équation.Passons à l’étape 2, à la définition géométrique riemannienne. Le mathématicien allemand a dit : -«géométriquement, la rotation est représentée par un bivecteur simple situé dans l’élément plan du cycle, et dont la mesure s’obtient en multipliant par K l’aire limitée par le cycle ; la rotation se fait dans le sens du cycle si K est positif (+), dans le sens contraire si K est négatif (-).Le nombre K mesure la courbure de l’espace au point M, sans qu’on ait besoin de spécifier dans quelle direction elle est prise (…). Par suite, tout espace dont la courbure est constante est localement elliptique (si K est positif),hyperbolique (si K est négatif), ou Euclidien(si K est nul). K étant la constante. »
Einstein affirmait haut et fort que l’univers est homogène et isotrope. Cela provient d’une conviction évolutive sur la connaissance gravitationnelle dans le temps. Heureusement, Albert imagine la géométrie riemannienne sur le problème cosmologique comme on imagine la courbure spatiale d’une pomme grâce à nos cinq sens. Selon lui, l’espace est soit sphérique, soit pseudo-sphérique ou carrément euclidien. Le lien de cause à effet sur la courbure universelle peut très bien être représenté sous forme graphique. L’univers infini est en constante expansion dans l’espace où il estimait son commencement au environ de 10 à la puissance 9 années comme durée d’expansion temporelle, disait-il. Son point de départ convergeait à l’axiome du zéro absolu de Max Planck.Pour lui en 1917, l’univers spatial fut âgé de 10 à la puissance 9 années mentionné ci-haut, et il croyait à son expansion infinie. Voyons ensemble quelques convictions d’Einstein sur la courbure spatiale dite cosmologique.
Premièrement, l’univers spatio-temporel selon Albert Einstein pouvait être à courbure positive. Confirmant sa première hypothèse que l’univers est effectivement fermé.
1-)ρ > ρc 2-) 1/3 x ρ-H2 > 0
Le mystère d’une sphère fermée reposait sur l’hypothèse que la matière visible (lumineuse) et non-visible (non-lumineuse) surpassait de beaucoup la valeur critique de densité extrême exprimée par le symbole ρc en science naturelle. Bref, selon la théorie sur l’espace à courbure positive, il est infiniment rassurant de savoir qu’on retourne d’où on vient dont l’expansion est éternellement circulaire. Ici, le «cercle» représente l’infini.Deuxièmement, aujourd’hui on peut effectivement trouver quelque consolation dans l’approche systémique du deuxième plan binaire chez Einstein. L’histoire classique d’une approche einsteinnienne nous pousse en à venir heureusement à un espace à courbure négative.Le miracle repose sur l’aspect infini de la courbure spatiale. L’expansion est continue et infinie. Le «Big Crunch» est exclu devant une telle approche.La gravité universelle infléchit légèrement la courbe, c’est pourquoi DG/DT décroît. La formule 1/3 x ρ-H2 < 0, l’univers est infini.
ρ < ρc ( 3h2/8πG) est l’approche que j’adopte comme futur cosmologue, mais à une nuance près où la stabilité de la pensée me pousse à croire que la section spatiale demeure effectivement infinie en ESPACE et en TEMPS. La contradiction confirme la règle où l’univers infini gravite autour d’un noyau central. En dehors ou en dedans, qu’importe à quelques initiés, le «Royaume des Cieux»correspond à ce centre névralgique d’une expansion énergétique continue sans contradiction.Troisièmement, un fait qui n’échappe point à la règle d’or chez Albert Einstein, la géométrie plane. La densité critique ρc absolue. Heureusement, on sait que l’univers aujourd’hui grâce à nos nombreuses recherches est au-dessus du spectre à section spatiale plane. L’expérience de WMAP probe, observation satellitaire, en a fait la démonstration. Entre les deux cas, 1/3 x ρ-H2 = 1, conformément à l’équation :
(DG / DT) = Go / G
C’est la géométrie «sphérique» euclidienne où la courbure négative s’annule ; donc le cas d’une section absolument plane. L’univers critique:
(DG / DT) = 1
Résultat, une géométrie euclidienne à trois dimensions. Pourquoi, parce que le tenseur de courbure s’annule, c’est l’équilibre au point mort. En résumé, le cas limite enseigne beaucoup sur l’origine de la matière étant inférieure à la radiation au temps du zéro absolu de Max Planck.Aujourd’hui, à l’aube du 21e siècle avec l’accroissement du paramètre TEMPS, la matière gagne du galon. En plus, l’information d’Einstein nous est d’une priorité déconcertante, en voici un extrait :
-« Dans cet examen du cas de courbure non nulle, il résulte ceci : pour tout état de courbure («spatiale ») non nulle, il existe, comme dans le cas de courbure nulle, un état initial, dans lequel G=0, où l’expansion commence. C’est donc une section où la densité est infinie et le champ singulier. L’introduction d’une nouvelle singularité (…) 1.
Bref, j’aborde dans le même sens du grand physicien indien, Jayant V. Narlikar, lorsqu’il affirme que nul axiome de Friedman, reste inconnu jusqu’à ce jour. Ni l’une ni l’autre ne sont connues avec PRÉCISION. Quelle est la densité critique ρc réelle (3h2/8πG) connue à ce jour ? Est-ce que ρ demeure positif, négatif ou nul ? Bien malin celui qui apportera une réponse. Einstein concluait que «l’âge de l’univers, dans le sens employé ici, doit certainement dépasser celui de la croûte solide de la Terre, tel qu’il a été déduit des minéraux radioactifs. Dans ce cas, je ne vois pas de solution raisonnable.
DISCOURS DE LA MÉTHODE RHÉTORIQUE
-« Il s’agit de franchir cette barrière de la pensée, et le lecteur patient verra que ce n’est pas une chose tellement difficile. » Albert Einstein
Il y a à l’intérieur de ma culture québécoise une merveilleuse maxime : -« on a fait le tour du jardin… » Que je trouve particulièrement savoureuse concernant la rhétorique du discours cosmologique. Les puristes purs et durs m’injurieront de cultiver un certain opportunisme philosophique et même à la limite être pseudo-scientifique, mais il faut se rendre à l’évidence que la théorie finale en astronomie peut paraître un discours présomptueux. Il est grand temps de passer à la vitesse grand V ; certes au péril de froisser quelques égaux. Il demeure urgent en effet d’imaginer une dans toute sa splendeur, sa rigueur, et sa pensée critique absolument créatrice. Pourquoi l’axiome «METAUNIVERS», car je vois cela comme une solution tout à fait raisonnable? Parce que la Création est une éternelle Révélation. Le dogme adhère à la simplicité logique et une telle affirmation provoque l’apogée du savoir. À mon humble avis, l’axiome «METAUNIVERS», infirme en principe la théorie du compromis logiquement acceptable la plus simple qui soit. Mais cela n’exclut aucunement l’obéissance de la nature à ce côté-ci de la barrière infinitésimale. Le «METAUNIVERS» renforce un dogme plus complexe pour certains à saisir. Parfois, il peut être classé dans la petite boîte illogique et même choqué l’adepte aux caractéristiques dogmatiques ou religieux. J’accorde la note A+ pour infirmer l’incertitude, pourquoi la réalité peut-être obscure à certains égards mais si logique à d’autres. Il semble évident que le «noyau» ; occulter en science par l’hérésie du «Royaume des Cieux» dont le sens étymologique veut avec certitude exprimer exactement sa principale fonction :-«être le centre de l’univers expansionniste.» Ce paradoxe semble être décrit grâce à un univers fermé où ρ > ρc est acceptable. Mais néanmoins, vers un univers aussi parfaitement ouvert. Bref, là n’est point la question. Cela bouleverse toute orthodoxie d’un continuum «espace-temps» connu et doit conduire à une logique en vue de trouver un théorème explicatif, descriptif et sans équivoque. Enfin, le but d’expliquer simplement un début de réalité. En conclusion, seule la théologie sait comment obtenir la base d’une telle observation.
La logique de Riemann est une excellente introduction à la post-géométrie dite Lafreniere.
Maintenant, il est temps que vous sachiez comment se forme la logique de l’autre côté du mur de l’inconnu. C’est le sujet suivant.
Géométrie non-schwarzschildienne
3. De l’autre côté du mur de l’inconnu… CE QU’ON DOIT SAVOIR.
Le livre:Concepts de Géométrie Moderne, sera bientôt disponible dans les librairies. --Lafreniere 14 décembre 2006 à 20:11 (CET)
1.Source : Réflexions sur l’électrodynamique, l’éther, la géométrie et la relativité ; Éditions Gauthier-Villars, Discours de la méthode, Paris, 1972, p. 110..
2.Source : The view from the center of the universe ; Éditions Riverhead books, Primack et Abrams, New-York,2006,386 pages..
3.Source : Faits et spéculations en cosmologie ; Éditions Fayard,chaire internationale, Paris,2004, 57 pages.
