Électronique/Les filtres électriques

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Après avoir vu ce qu'est un quadipôle, nous pouvons aborder une sous-classe de quadripôles : les filtres électriques. Ceux-ci sont des composants qui vont atténuer les signaux dans une certaine gamme de fréquence. Ils vont par exemple laisser passer les signaux à basse fréquence, mais filtrer les hautes fréquences, ou inversement. Plus précisément, les filtres vont modifier l'ensemble des sinusoïdes qui leur parviennent. Si on leur envoie un signal (une tension ou courant quelconque) sur leur entrée, ils vont traiter ce signal et fournir une version traitée sur leur sortie. Pour donner quelques exemples, les circuits RC, RL, et RLC sont des filtres parmi tant d'autres. On a vu dans le chapitre sur l'impédance que ceux-ci fournissent une tension de sortie (aux bornes du condensateur ou de la bobine), quand on leur fournit une tension d'entrée. Leur étude dans le chapitre sur l'impédance a servi en quelque sorte d'introduction à l'étude des filtres électriques, là où ce chapitre porte sur l'étude des filtres de manière plus générale.

La relation atténuation-fréquence[modifier | modifier le wikicode]

Lorsqu'on envoie un signal sinusoïdal en entrée d'un filtre, celui-ci est reproduite sur sa sortie, mais avec une amplitude plus faible qu'à l'entrée. En quelque sorte, les filtres sont l'inverse d'un amplificateur : au lieu d'amplifier un signal, ils l'atténue. Cette atténuation dépend de la fréquence du signal d'entrée : elle est minimale, voire nulle pour certaines fréquence, plus importantes pour d'autres. Naturellement, un gain trop faible pour une fréquence signifie que le signal d'entrée est presque inexistant. La fréquence qui correspond est alors filtrée, atténuée, éliminée du signal original.

Filtres Passe-haut, Passe-bas, Passe-bande, Coupe-bande[modifier | modifier le wikicode]

Si on étudie la variation du gain en fonction des fréquences, on peut tomber sur quatre cas :

  • Le gain augmente avec la fréquence. Le filtre atténue les basses fréquences, mais laisse passer les hautes fréquences. Le filtre est dit un filtre passe-haut.
  • Le gain diminue avec la fréquence. Le filtre laisse passer les basses fréquences, mais atténue les hautes fréquences. Le filtre est dit un filtre passe-bas.
  • Le gain augmente jusqu'à une fréquence maximale avant de diminuer. Dit autrement, le gain est minimal pour les hautes et basses fréquences, maximal pour un intervalle bien précis. Le filtre laisse passer les fréquences contenues dans un intervalle, mais atténue les fréquences situées en-dehors de celui-ci. C'est le comportement d'un filtre passe-bande.
  • Le gain est maximal pour les hautes et basses fréquences, mais minimal dans un intervalle précis. Le gain diminue jusqu'à une fréquence maximale avant de remonter. Le filtre laisse passer les fréquences situées en-dehors d'un intervalle, mais atténue les fréquences situées dans l'intervalle. C'est le comportement d'un filtre coupe-bande.
Filtre passe-bas.
Filtre passe-haut.
Filtre passe-bande.
Filtre coupe-bande.

La bande passante d'un filtre[modifier | modifier le wikicode]

On considère arbitrairement qu'un filtre ne laisse pas passer les fréquences dont l’atténuation est de moitié, les autres n'étant pas filtrées. Si on fait les calculs, cela correspond à un gain diminué de 3 dB. Pour la plupart des filtres cités au-dessus, cela permet de définir un intervalle de fréquences qui ne sont pas filtrées. La largeur de cet intervalle est appelée la bande passante du filtre. La fréquence au milieu de cet intervalle porte le nom de fréquence de coupure.

Illustration de la bande passante.
Bande passante et de la fréquence de coupure pour un filtre passe-bande.

La fréquence de coupure se définit comme la fréquence à partir de laquelle la puissance dissipée par le filtre est la moitié de celle fournie en entrée. En clair, le signal voit son amplitude en tension ou en courant divisée par , soit égale à 70,7% du signal originel. Une illustration est donnée ci-dessous pour un filtre passe-bas et un filtre passe-haut.

Fréquence de coupure d'un filtre passe-bas et passe-haut

L'ordre d'un filtre[modifier | modifier le wikicode]

Le dernier paramètre à connaitre est l'ordre du filtre. Celui-ci est définit à partir de la transmittance, de la fonction de transfert. Celle-ci est, pour rappel, une équation qui donne le rapport entre la tension de sortie et la tension d'entrée. Il se trouve que ce rapport dépend de la fréquence, le filtre atténuant plus ou moins certaines fréquences. L'équation qui donne la transmittance contient donc un terme avec la fréquence ou la pulsation, élevée à une certaine puissance. C'est cette puissance qui donne l'ordre du filtre. Par exemple, on dira que le filtre est d'ordre 2 si la fréquence est élevée au carré dans l'équation, d'ordre 4 si elle est élevée à la puissance 4, etc.

Les filtres du premier ordre[modifier | modifier le wikicode]

Prenons un filtre passe-base du premier ordre. Sa transmittance est une équation qui a la forme suivante, avec et deux constantes qui dépendent du circuit. La fréquence est une fréquence particulière, appelée fréquence de coupure.

Pour un filtre passe-haut, l'équation change quelque peu, mais reste assez similaire à la précédente. Elle devient celle-ci :

Les filtres du second ordre[modifier | modifier le wikicode]

Passons maintenant aux filtres du second ordre. Leur transmittance est une équation quadratique qui contient deux constantes et , dépendantes du circuit, appelées respectivement facteur d'amortissement et facteur de qualité. Le facteur de qualité est définit comme le rapport entre la fréquence propre , celle où le gai est maximal, et la largeur de la bande passante. On a donc :

On a aussi :

Pour un filtre passe-bas, l'équation est celle-ci :

Pour un filtre passe-haut, l'équation est celle-ci :

Pour un filtre passe-bande, l'équation est celle-ci :

Pour un filtre coupe-bande, l'équation est celle-ci :

Les filtres passifs[modifier | modifier le wikicode]

Il existe deux grands types de filtres : les filtres passifs d'un coté, les filtres actifs de l'autre. Les filtres passifs sont composés intégralement de composants passifs, d'où leur nom. Ils ne contiennent donc que des résistances, des condensateurs et des bobines. Ils regroupent des filtres classiques, comme les filtres RC, RL et RLC que nous allons voir dans ce qui suit. A l'inverse, les filtres actifs contiennent des composants actifs, comme des amplificateurs opérationnels.

Dans cette section, nous allons voir les filtres passifs les plus courants : les circuits RC, RL, et RLC. On a vu dans le chapitre sur l'impédance que ces circuits fournissent une tension de sortie (aux bornes du condensateur ou de la bobine), quand on leur fournit une tension d'entrée. Nous allons utiliser ces relations pour calculer leur transmittance et étudier leur comportement. Les filtres RC et RL sont tous des filtres dits du premier ordre, à savoir que la transmittance est une fonction dite du premier ordre (sans carrés ou puissances). Par contre, le filtre RLC est du second ordre, à savoir que la fréquence est mise au carré dans l'équation de la transmittance.

Le circuit RC série[modifier | modifier le wikicode]

Dans le chapitre précédent sur l'impédance, nous avons obtenu la relation suivante :

On obtient donc la transmittance complexe suivante :

pour le circuit RC.

Maintenant, étudions le circuit RC quand la fréquence de la tension d'entrée varie. Il se trouve que les choses varient selon que l'on étudie la tension aux bornes de la résistance ou du condensateur. Pour les hautes fréquences, on a :

A basse fréquence, on a :

On voit que la tension aux bornes du condensateur est maximale à basse fréquence et nulle à haute fréquence. Ce montage agit donc comme un filtre passe-bas, à savoir qu'il laisse passer les basses fréquences, mais filtre, atténue les hautes fréquences. La tension aux bornes de la résistance fait exactement l'inverse : elle est maximale à haute fréquence et nulle à basse fréquence. Il s'agit donc d'un filtre passe-haut, à savoir qui filtre le basses fréquences mais n'atténue pas les hautes.

Comportement en fréquence du circuit RC - tension aux bornes de la résistance.
Comportement en fréquence du circuit RC - tension aux bornes du condensateur.

Le circuit RL série[modifier | modifier le wikicode]

Dans le chapitre précédent sur l'impédance, nous avons obtenu la relation suivantes :

On obtient donc la transmittance complexe suivante :

pour le circuit RL.

Passons au cas du circuit RL. Il se trouve que les choses varient selon que l'on étudie la tension aux bornes de la résistance ou du condensateur. Pour les hautes fréquences, on a :

A basse fréquence, on a :

On voit que la tension aux bornes de la résistance est maximale à basse fréquence et nulle à haute fréquence. Ce montage agit donc comme un filtre passe-bas, à savoir qu'il laisse passer les basses fréquences, mais filtre, atténue les hautes fréquences. La tension aux bornes de la bobine fait exactement l'inverse : elle est maximale à haute fréquence et nulle à basse fréquence. Il s'agit donc d'un filtre passe-haut, à savoir qui filtre le basses fréquences mais n'atténue pas les hautes. Ce circuit est donc l'exact opposé du circuit RC.

Le circuit RLC série[modifier | modifier le wikicode]

Pour le circuit RLC, on a obtenu :

On peut calculer la tension aux bornes de la résistance en fonction de la tension d'entrée :

On a donc la transmittance suivante :

Le comportement de cette transmittance est intermédiaire entre celui d'un filtre passe-bas et passe-haut. Rien d'étonnant à cela, vu que ce circuit est un mélange entre un circuit RC et RL, qui sont respectivement passe-haut et passe-bas. Rien d'étonnant à ce qu'elle hérite des propriétés des circuits dont elle est composée. Son impédance est très élevée pour les hautes et basses fréquences, avec un minimum pour une bande de fréquences qui dépend du circuit. Elle filtre aussi bien les basses que hautes fréquences, ce qui fait qu'elle ne laisse passer que les fréquences intermédiaires. On dit qu'il s'agit d'un filtre passe-bande, sous-entendu qui ne laisse passer que les fréquences comprises dans un certain intervalle, une bande de fréquences.

Les filtres actifs[modifier | modifier le wikicode]

Les filtres passifs précédents sont les plus simples à étudier et à comprendre. Mais il existe aussi des filtres actifs basés sur des amplificateurs opérationnels, des transistors ou des diodes, parfois d'autres composants. Dans ce qui va suivre, nous allons étudier quelques filtres actifs assez simples, tous du premier ordre.

Le filtre passe-bas[modifier | modifier le wikicode]

Voici l'implémentation d'un filtre passe-bas actif du premier ordre :

Filtre passe-bas actif du premier ordre.

Comme tous les filtres du premier ordre, sa transmittance est de la forme suivante :

avec et .

Le filtre passe-haut[modifier | modifier le wikicode]

Voici l'implémentation d'un filtre passe-bas actif du premier ordre :

Filtre passe-haut actif du premier ordre.

Sa transmittance est de la forme suivante :

avec, encore une fois, et une fréquence de coupure égale à .