Cosmologie/L'équation de Friedmann

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Armé de la loi de Hubble et du facteur d'échelle, nous pouvons aborder des équations très importantes de la cosmologie actuelle : les équations de Friedmann. Elles décrivent un univers de densité homogène, sans préférence au niveau de la direction (isotrope), et permettent de calculer le facteur de Hubble en fonction de la densité de l'univers et du facteur d'échelle. Elles sont au nombre de trois et portent les noms de "première équation de Friedmann", "seconde équation de Friedmann" et "équation du fluide cosmologique". Il existe plusieurs écritures alternatives de ces équations, mais nous allons en présenter deux : une qui utilise la densité de matière, l'autre qui utilise la densité d'énergie.

Dans ce qui suit, les notations sont les suivantes : est la densité d'énergie, est la densité de matière, est la pression et est un terme de courbure, qui décrit la géométrie de l'univers (nous reviendrons sur l'interprétation de ce terme dans ce qui suit).

Les trois équations de Friedmann sont les suivantes :

Écriture avec la densité d'énergie Écriture avec la densité de matière
Première équation de Friedmann
Équation du fluide cosmologique de Friedmann
Seconde équation de Friedmann

La première équation de Friedmann[modifier | modifier le wikicode]

Une démonstration de cette équation demande d'utiliser la relativité générale, ce qui est affreusement compliqué. Heureusement, il existe une autre manière de déduire cette équation, nettement plus simple et intuitive, en utilisant la physique newtonienne. Les deux approches donnent des résultats similaires, avec cependant quelques différences que nous expliquerons plus tard. Cette première équation de Friedmann est la suivante :

L'interprétation de cette formule est assez simple à comprendre. Elle nous dit que l'expansion de l'univers dépend de deux forces opposées. Le premier terme correspond à l'influence gravitationnelle de la matière, alors que l'autre traduit l'effet de la courbure de l'univers.

La version Newtonienne[modifier | modifier le wikicode]

Pour commencer, nous allons considérer que l'univers observable est une sphère de rayon R, de masse M, de volume V, de masse volumique homogène ρ, qui grossit à une vitesse v (la vitesse de l'expansion de l'univers). Le centre de cette sphère est situé là où se trouve l'observateur (la terre, donc). Prenons maintenant une galaxie située sur le bord de l'univers observable, et posons que son énergie mécanique est notée . Ses énergies potentielle et cinétique sont donc respectivement égales à et , ce qui donne :

Modifions l'ordre des termes :

Nous pouvons alors utiliser la loi de Hubble , pour remplacer la vitesse de la galaxie.

Isolons maintenant en divisant des deux membres par .

Ensuite, rappelons-nous que par définition, . En posant qu'à l'instant t0, le facteur d'échelle est égal à 1, nous avons : . Nous n'allons cependant faire le remplacement que dans le second terme et pas dans le premier. Quelques simplifications ultérieures permettront de se débarrasser du rayon dans le premier terme.

Nous allons maintenant poser que est une constante, que nous allons appeler le paramètre de courbure. Prenez garde au signe de cette formule !

Exprimons maintenant la masse de l'univers comme étant égale à sa masse volumique multipliée par le volume : . On a alors :

Après quelques simplifications algébriques, nous obtenons la première équation de Friedmann.

La version de la relativité générale[modifier | modifier le wikicode]

Il est maintenant temps de convertir la première équation de Friedman dans sa forme relativiste. Pour cela, il nous faut remarquer une chose assez subtile, mais très importante : dans les équations de Friedmann, la masse qui nous intéresse est la masse grave et plus précisément la masse grave active. Pour rappel, c'est la masse qui a un effet gravitationnel, celle qui attire les objets vers eux. Si vous étudiez bien les démonstrations précédentes, vous verrez que nous utilisons la masse en tant que masse grave et surtout en tant que masse grave active. Dans la relativité générale, la masse grave active n'est autre que l'énergie, comme nous l'avons vu il y a quelques chapitres. La relation entre passe grave active et énergie se déduit de l'équivalence masse-énergie d'Einstein, même si cette démonstration est loin d'être rigoureuse. Cette équivalence dit que l'énergie d'un corps (ici l'univers) est proportionnelle à sa masse, selon l'équation :

, avec E l'énergie, M la masse grave active et c la vitesse de la lumière.

En divisant des deux cotés par le volume, on trouve la relation entre densité de matière et densité d'énergie :

On peut alors injecter cette équation dans l'équation de Friedmann newtonienne. La masse volumique est simplement remplacée par la densité d'énergie de l'univers , avec un coefficient pour normaliser les unités.

Formellement, cette densité d'énergie prend en compte aussi bien la densité de matière que la densité d'énergie liée au rayonnement (lumière) , et potentiellement d'autres formes d'énergie. Pour simplifier, la densité d'énergie est la somme de la densité de matière, la densité de rayonnement, et quelques autres termes.

Il est possible aussi de rendre compte de la courbure via une densité d'énergie de courbure. En effet, nous avons vu que celle-ci est proportionnelle à une énergie dans la démonstration newtonienne. En appliquant l'équivalence masse-énergie, nous nous retrouvons donc avec une densité d'énergie de courbure dans l'équation de Friedmann. En injectant le tout dans l'équation de Friedmann, nous trouvons :

, avec

Si on pose , on peut reformuler cette équation comme ceci :

On verra dans les chapitres suivants que les densités de rayonnement et de matière dépendent du facteur d'échelle.

  • La densité de matière varie selon l'équation : .
  • Pour la densité d'énergie du rayonnement, l'équation a été vue dans le chapitre sur le rayonnement : .

La première équation de Friedmann se reformule ainsi, quand on injecte les relations précédentes dans l'équation :

La géométrie de l'univers peut prendre trois formes, selon que le paramètre de densité est nul, positif ou négatif.

Précisons que l'interprétation du paramètre de courbure diffère sensiblement dans l'interprétation de la relativité générale. Cette courbure, en relativité générale, est liée à la géométrie de l'espace-temps :

  • un espace de courbure nulle a une géométrie euclidienne ;
  • un espace de courbure positive a une géométrie qui équivaut en trois dimensions à la surface d'une sphère en deux dimensions ;
  • un espace de courbure négative a une géométrie qui équivaut en trois dimensions à la surface d'une « selle de cheval » en deux dimensions (cette selle de cheval étant à une hyperbole ce que la sphère est au cercle).

L'équation du fluide de Friedmann[modifier | modifier le wikicode]

On peut décrire l'univers observable du point de vue de la thermodynamique sans trop de problèmes. Pour cela, il suffit de modéliser l'univers observable comme une sphère centrée sur le centre de la Terre et de postuler qu'il est homogène. Par homogène, on veut dire que sa température est la même partout, de même que la densité, la pression, et toutes les variables du même genre. Cette dernière équation s'appelle l'équation du fluide de Friedmann.

, où ρ est la densité de matière.


Démonstration

Dans cette section, nous allons donner une dérivation de la version relativiste, qui n'est cependant pas très rigoureuse. En faire une véritable dérivation demanderait de passer par les mathématiques de la relativité générale, ce que nous ne ferons pas dans ce cours.

Nous allons considérer que l'univers est un système isolé, à savoir qu'il n'y a pas d'échange de matière ou d'énergie avec l'extérieur (il est en effet difficile de donner un sens à l'« extérieur de l'univers »). Dans ces conditions, la première loi de la thermodynamique s'applique. Celle-ci dit que toute variation de l'énergie interne de l'univers provient des variations de chaleur et de volume/pression. De plus, on va supposer que l'expansion est adiabatique : il n'y a pas d'échange de chaleur entre l'univers observable et un éventuel extérieur. Dans ces conditions, toute variation de l'énergie interne de l'univers se calcule avec la formule suivante, avec P la pression et V le volume de l'univers.

Utilisons ensuite la relation  :

Le facteur étant constant, nous pouvons le sortir de la dérivée.

Divisons par  :

Reformulons la masse de l'univers en fonction du volume et de la densité de matière

Appliquons la formule sur la dérivée d'un produit.

Factorisons maintenant le terme .

Divisons maintenant par V.

Puis divisons par dt.

Appliquons maintenant l'égalité suivante, vue dans le premier chapitre : .

On peut la récrire de la manière suivante, sous certaines hypothèses :

, où est la densité d'énergie.


Démonstration

Démonstration de la deuxième version. Considérant la première équation de Friedmann

Et la deuxième

Prenant la dérivée temporelle de la première des deux équations.

Que l'on peut mettre sous la forme:

Et donc:

En identifiant avec la seconde équation de Friedmann:

On bouge un peu les termes et en identifiant le dernier terme de l'équation ci-dessus avec la première équation de Friedmann donne

Il reste à simplifier comme

On trouve donc enfin

La seconde équation de Friedmann[modifier | modifier le wikicode]

Par souci de lisibilité, nous noterons la dérivée première d'une variable comme ceci : . Même chose pour la dérivée seconde, notée . De plus, toutes les dérivées sont par rapport au temps. En clair, et .

A partir de la première équation de Friedmann, ainsi que de l'équation du fluide, nous pouvons déduire une troisième équation, appelée seconde équation de Friedmann.

Celle-ci nous dit comment varie la dérivée seconde du facteur d'échelle, qui elle-même dit si l'expansion de l'univers accélère, ralentit ou reste constante. Il s'agit donc d'une équation très importante pour comprendre la dynamique de l'expansion et comment celle-ci évolue avec le temps.


Démonstration

Partons de la première équation de Friedmann, écrite comme ceci :

Multiplions des deux côtés par  :

Dérivons maintenant par rapport au temps :

Divisons par 2 des deux membres de l'équation :

Calculons la dérivée dans le second terme :

Divisons par  :

On utilise alors la relation pour simplifier le second terme :

Simplifions par  :

Divisons par  :

Or, l'équation du fluide nous dit que . Nous pouvons donc faire la substitution dans l'équation précédente, ce qui donne :

En simplifiant, nous obtenons :

Cette seconde équation de Friedmann nous dit quelque chose d'assez contre-intuitif concernant la pression : celle-ci lutte contre l'expansion. L'intuition nous dirait pourtant le contraire, mais celle-ci est trompeuse. La pression de la matière ou du rayonnement ne pousse pas sur les bords de l'univers, et ne peut donc guider l'expansion. Rappelons que l'horizon cosmologique n'est pas une barrière matérielle sur laquelle la pression pourrait pousser, mais une simple limite liée à la vitesse de la lumière. L'effet de la pression sur l'expansion ne peut donc provenir de ce mécanisme intuitif.

Pour comprendre l'effet contre-expansionniste de la pression, il faut se rappeler que la pression est proportionnelle à la densité d'énergie. Par exemple, on peut facilement démontrer que la pression d'un gaz parfait est égale aux deux tiers de sa densité d'énergie interne. Même chose pour le rayonnement, quoique le coefficient de proportionnalité soit différent. Or, rappelez-vous que l'énergie et la masse sont reliées dans la théorie de la relativité, l'équation en étant la plus simple expression. Pour simplifier, l'énergie a un poids, un effet gravitationnel qui va lutter contre l'expansion. Plus la pression, et donc la densité d'énergie sont grandes, plus cet effet gravitationnel sera fort, plus l'expansion sera contrecarrée.

A ce propos, l'attraction gravitationnelle liée à la pression permet de donner une démonstration newtonienne de la seconde équation de Friedmann, que nous reproduisons ci-dessous.


Démonstration

Supposons que nous soyons au centre de l'univers observable et prenons un point situé à sa surface, à la limite de l'univers observable. Ce point s'éloigne de nous à une vitesse égale à , avec le rayon de l'univers observable. Maintenant, essayons de calculer son accélération. Partons du principe que l'accélération de ce point est intégralement liée à la gravité, c'est à dire qu'il est attiré vers le centre de l'univers observable (on néglige les masses qui ne sont pas dans l'univers observable, bien que ce soit un peu de la triche). L'accélération de ce point se calcule avec la formule de Newton et vaut :

, avec M la masse totale de l'univers.

Divisons par R(t) :

La masse de l'univers observable est égale au produit de sa densité par son volume :

L’univers observable est une sphère, donc son volume est de . En injectant cette formule dans la précédente, on trouve :

En simplifiant, on trouve :

On applique ensuite la formule , valable pour toutes les distances :

En simplifiant, on a :

On voit cependant qu'il manque le terme de pression. Pour cela, rappelons que la masse de l'équation précédente est la masse grave active. En relativité générale, cette masse grave active n'est autre que l'énergie. On doit donc remplacer la densité de masse grave active par la densité d'énergie. Pour cela, on utilise de l'équation vue dans le chapitre sur la masse et la relativité , avec la densité d'énergie (de masse grave active), la densité de masse habituelle (propre) et P la pression. En faisant le remplacement, on retrouve la seconde équation de Friedmann :

Une autre démonstration, équivalente, fait appel à l'équation de Poisson pour le champ gravitationnel.


Démonstration

Pour rappel, l'équation de Poisson relie l'accélération de la pesanteur à la densité du corps qui génère la gravité. L'équation en question utilise l'opérateur divergence, défini par :

Dans le cas qui nous intéresse, l'accélération n'est autre que l'accélération de l'expansion de l'univers. L'équation de Poisson est donc la suivante :

Nous avons vu il y a quelques chapitres l'équation suivante, qui donne l'accélération de l'expansion en fonction du facteur de Hubble et du rayon de l'univers r :

En combinant les deux équations, on trouve :

L'opérateur est une dérivée, ce qui fait qu'on peut utiliser la formule .

Maintenant, appliquons la définition de  :

Par définition, on a , ce qui donne :

On réorganise les termes :

Comme pour la démonstration précédente, on utilise la formule , avec la densité d'énergie (de masse grave active), la densité de masse habituelle (propre) et P la pression. En faisant le remplacement, on retrouve la seconde équation de Friedmann :