Cosmologie/L'équation de Friedmann

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Armé de la loi de Hubble et du facteur d'échelle, nous pouvons aborder des équations très importantes de la cosmologie actuelle : les équations de Friedmann. Celles-ci décrivent un univers de densité homogène, sans préférence au niveau de la direction (isotrope). Elles permettent de calculer le facteur de Hubble en fonction de la densité de l'univers et du facteur d'échelle.

La première équation de Friedmann[modifier | modifier le wikicode]

Une démonstration de cette équation demande d'utiliser la relativité générale, ce qui est affreusement compliqué. Heureusement, il existe une autre manière de déduire cette équation, nettement plus simple et intuitive, en utilisant la physique newtonienne. Les deux approches donnent des résultats similaires, avec cependant quelques différences que nous expliquerons plus tard. Cette première équation de Friedmann est la suivante :

L'interprétation de cette formule est assez simple à comprendre. Elle nous dit que l'expansion de l'univers dépend de deux forces opposées. Le premier terme correspond à l'influence gravitationnelle de la matière, alors que l'autre traduit l'effet de la courbure de l'univers.

La version Newtonienne[modifier | modifier le wikicode]

Pour commencer, nous allons considérer que l'univers observable est une sphère de rayon R, de masse M, de volume V, de masse volumique homogène ρ, qui grossit à une vitesse v (la vitesse de l'expansion de l'univers). Le centre de cette sphère est situé là où se trouve l'observateur (la terre, donc). Prenons maintenant une galaxie située sur le bord de l'univers observable, et posons que son énergie mécanique est notée . Ses énergies potentielle et cinétique sont donc respectivement égales à et , ce qui donne :

Modifions l'ordre des termes :

Nous pouvons alors utiliser la loi de Hubble , pour remplacer la vitesse de la galaxie.

Isolons maintenant en divisant des deux membres par .

Ensuite, rappelons-nous que par définition, . En posant qu'à l'instant t0, le facteur d'échelle est égal à 1, nous avons : . Nous n'allons cependant faire le remplacement que dans le second terme et pas dans le premier. Quelques simplifications ultérieures permettront de se débarrasser du rayon dans le premier terme.

Nous allons maintenant poser que est une constante, que nous allons appeler le paramètre de courbure. Prenez garde au signe de cette formule !

Exprimons maintenant la masse de l'univers comme étant égale à sa masse volumique multipliée par le volume : . On a alors :

Après quelques simplifications algébriques, nous obtenons la première équation de Friedmann.

La version de la relativité générale[modifier | modifier le wikicode]

La version plus générale de l'équation, tirée de la relativité générale, peut se « déduire » de la formule précédente en utilisant l'équivalence masse-énergie d'Einstein, même si cette démonstration est loin d'être rigoureuse. Cette équivalence dit que l'énergie d'un corps (ici l'univers) est proportionnelle à sa masse, selon l'équation : , avec c la vitesse de la lumière. Dans ce cas, la masse volumique ρ est remplacée par la densité d'énergie de l'univers . Cette densité d'énergie prend en compte aussi bien la densité de matière que la densité d'énergie liée au rayonnement (lumière) , et potentiellement d'autres formes d'énergie.

Nous avons vu dans les chapitres précédents que les densités de rayonnement et de matière dépendent du facteur d'échelle.

  • La densité de matière varie selon l'équation : .
  • Pour la densité d'énergie du rayonnement, l'équation a été vue dans le chapitre sur le rayonnement : .

L'équation devient donc :

Il est possible aussi de rendre compte de la courbure via une densité d'énergie de courbure. En effet, nous avons vu que celle-ci est proportionnelle à une énergie dans la démonstration newtonienne. En appliquant l'équivalence masse-énergie, nous nous retrouvons donc avec une densité d'énergie de courbure dans l'équation de Friedmann. En injectant le tout dans l'équation de Friedmann, nous trouvons :

La géométrie de l'univers peut prendre trois formes, selon que le paramètre de densité est nul, positif ou négatif.

L'interprétation du paramètre de courbure diffère sensiblement dans l'interprétation de la relativité générale. Cette courbure, en relativité générale, est liée à la géométrie de l'espace-temps :

  • un espace de courbure nulle a une géométrie euclidienne ;
  • un espace de courbure positive a une géométrie qui équivaut en trois dimensions à la surface d'une sphère en deux dimensions ;
  • un espace de courbure négative a une géométrie qui équivaut en trois dimensions à la surface d'une « selle de cheval » en deux dimensions (cette selle de cheval étant à une hyperbole ce que la sphère est au cercle).

L'équation du fluide de Friedmann[modifier | modifier le wikicode]

On peut décrire l'univers observable du point de vue de la thermodynamique sans trop de problèmes. Pour cela, il suffit de modéliser l'univers observable comme une sphère centrée sur le centre de la Terre et de postuler qu'il est homogène. Par homogène, on veut dire que sa température est la même partout, de même que la densité, la pression, et toutes les variables du même genre. Cette dernière équation s'appelle l'équation du fluide de Friedmann.

, où ρ est la densité de matière.

Sa version newtonienne est la suivante :

, où est la densité d'énergie.


Démonstration

Dans cette section, nous allons donner une dérivation de la version relativiste, qui n'est cependant pas très rigoureuse. En faire une véritable dérivation demanderait de passer par les mathématiques de la relativité générale, ce que nous ne ferons pas dans ce cours.

Nous allons considérer que l'univers est un système isolé, à savoir qu'il n'y a pas d'échange de matière ou d'énergie avec l'extérieur (il est en effet difficile de donner un sens à l'« extérieur de l'univers »). Dans ces conditions, la première loi de la thermodynamique s'applique. Celle-ci dit que toute variation de l'énergie interne de l'univers provient des variations de chaleur et de volume/pression. De plus, on va supposer que l'expansion est adiabatique : il n'y a pas d'échange de chaleur entre l'univers observable et un éventuel extérieur. Dans ces conditions, toute variation de l'énergie interne de l'univers se calcule avec la formule suivante, avec P la pression et V le volume de l'univers.

Utilisons ensuite la relation  :

Le facteur étant constant, nous pouvons le sortir de la dérivée.

Divisons par  :

Reformulons la masse de l'univers en fonction du volume et de la densité de matière

Appliquons la formule sur la dérivée d'un produit.

Factorisons maintenant le terme .

Divisons maintenant par V.

Puis divisons par dt.

Appliquons maintenant l'égalité suivante, vue dans le premier chapitre : .

La seconde équation de Friedmann[modifier | modifier le wikicode]

Par souci de lisibilité, nous noterons la dérivée première d'une variable comme ceci : . Même chose pour la dérivée seconde, notée . De plus, toutes les dérivées sont par rapport au temps. En clair, et .

A partir de la première équation de Friedmann, ainsi que de l'équation du fluide, nous pouvons déduire une troisième équation, appelée seconde équation de Friedmann.

Celle-ci nous dit comment varie la dérivée seconde du facteur d'échelle, qui elle-même dit si l'expansion de l'univers accélère, ralentit ou reste constante. Il s'agit donc d'une équation très importante pour comprendre la dynamique de l'expansion et comment celle-ci évolue avec le temps.


Démonstration

Partons de la première équation de Friedmann, écrite comme ceci :

Multiplions des deux côtés par  :

Dérivons maintenant par rapport au temps :

Divisons par 2 des deux membres de l'équation :

Calculons la dérivée dans le second terme :

Divisons par  :

On utilise alors la relation pour simplifier le second terme :

Simplifions par  :

Divisons par  :

Or, l'équation du fluide nous dit que . Nous pouvons donc faire la substitution dans l'équation précédente, ce qui donne :

En simplifiant, nous obtenons :

Cette seconde équation de Friedmann nous dit quelque chose d'assez contre-intuitif concernant la pression : celle-ci lutte contre l'expansion. L'intuition nous dirait pourtant le contraire, mais celle-ci est trompeuse. La pression de la matière ou du rayonnement ne pousse pas sur les bords de l'univers, et ne peut donc guider l'expansion. Rappelons que l'horizon cosmologique n'est pas une barrière matérielle sur laquelle la pression pourrait pousser, mais une simple limite liée à la vitesse de la lumière. L'effet de la pression sur l'expansion ne peut donc provenir de ce mécanisme intuitif. Pour comprendre l'effet contre-expansionniste de la pression, il faut se rappeler que la pression est proportionnelle à la densité d'énergie. Par exemple, on peut facilement démontrer que la pression d'un gaz parfait est égale aux deux tiers de sa densité d'énergie interne. Même chose pour le rayonnement, quoique le coefficient de proportionnalité soit différent. Or, rappelez-vous que l'énergie et la masse sont reliées dans la théorie de la relativité, l'équation en étant la plus simple expression. Pour simplifier, l'énergie a un poids, un effet gravitationnel qui va lutter contre l'expansion. Plus la pression, et donc la densité d'énergie sont grandes, plus cet effet gravitationnel sera fort, plus l'expansion sera contrecarrée.