Dictionnaire de philosophie/Axiome

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— - Axiome - —

Un axiome (du grec ancien ἀξίωμα, axiôma, signifiant « ce qui est jugé digne, estimé, considéré comme évident en soi ») est une vérité première, indémontrable, qui doit être admise comme point de départ d'un raisonnement ou d'une théorie. Pour les philosophes grecs de l'Antiquité, un axiome était une affirmation considérée comme évidente et qui n'avait nul besoin de preuve. Dans la pensée mathématique et philosophique occidentale, la notion d'axiome occupe une place centrale, puisqu'elle concerne les fondements mêmes de la connaissance : comment peut-on établir des vérités si tout doit être démontré ? Comment éviter la régression à l'infini dans la chaîne des démonstrations ? L'axiome répond à ces questions en posant des vérités premières, à partir desquelles peuvent se déployer les raisonnements déductifs.

L'histoire de la notion d'axiome se confond largement avec celle de la rationalité démonstrative elle-même. Des Éléments d'Euclide, qui ont structuré pendant plus de deux millénaires la pensée géométrique, aux axiomatiques formelles du XX^e siècle développées par Hilbert, Peano ou Gödel, la notion d'axiome n'a cessé de se transformer, tout en conservant sa fonction fondamentale : celle de principe premier indémontrable qui rend possible la démonstration. Cette évolution reflète les mutations profondes de la pensée mathématique et philosophique, de la conception ancienne des axiomes comme « vérités évidentes » à leur statut moderne de « propositions primitives » choisies conventionnellement pour construire un système cohérent.

Origines grecques : l'axiome comme vérité évidente

Aristote et les principes premiers

C'est avec Aristote (384-322 av. J.-C.) que la réflexion sur les axiomes prend sa première forme systématique. Dans ses Seconds Analytiques, Aristote distingue plusieurs types de principes premiers qui fondent la science démonstrative (épistémè). Pour lui, toute science repose nécessairement sur des principes qui ne peuvent eux-mêmes être démontrés, sous peine de tomber dans une régression à l'infini. Aristote écrit : « Il est impossible de tout démontrer : on irait à l'infini, de telle sorte qu'il n'y aurait pas, même ainsi, de démonstration ».

Aristote distingue trois types de principes premiers indémontrables :

1. Les axiomes (ἀξιώματα, axiômata), également appelés « notions communes » (κοιναὶ δόξαι, koinai doxai), sont des principes communs à toutes les sciences. Le plus fondamental d'entre eux est le principe de non-contradiction : « Il est impossible qu'une même chose appartienne et n'appartienne pas en même temps à un même sujet et sous le même rapport ». Ce principe est qualifié par Aristote de « le plus ferme de tous les principes » (bebaiotaton tôn axiômatôn). Avec le principe de non-contradiction, Aristote considère également le principe du tiers exclu comme un axiome : « Il est nécessaire qu'il y ait affirmation ou négation de n'importe quoi ».
2. Les définitions (ὅροι, horoi) qui précisent ce qu'est chaque chose dans son essence. Par exemple, en géométrie, la définition du point, de la ligne, du plan.
3. Les hypothèses (ὑποθέσεις, hypotheseis) ou postulats (αἰτήματα, aitêmata), qui sont des principes propres à chaque science particulière et qui affirment l'existence de certaines choses.

Cette distinction aristotélicienne est capitale : les axiomes se caractérisent par leur universalité et leur communauté à toutes les sciences, tandis que les postulats sont spécifiques à chaque domaine de connaissance. Comme l'explique Aristote : « J'appelle axiomes, dans chaque genre, les principes qu'il est impossible de démontrer, et dont on n'a pas besoin d'avoir l'intelligence pour entendre quoi que ce soit [...]. Mais ce dont il faut avoir l'intelligence pour entendre n'importe quoi, cela aussi nécessairement, il faut le posséder pour tout entendre ».

Aristote insiste sur le fait que ces axiomes ne sont pas innés mais acquis par un processus qu'il appelle l'induction (épagôgè) et l'intellection (noûs). Bien qu'indémontrables, les axiomes ne sont pas arbitraires : ils s'imposent à l'esprit par leur évidence rationnelle.

Euclide et l'axiomatisation de la géométrie

L'œuvre qui a le plus profondément marqué la tradition axiomatique occidentale est incontestablement les Éléments d'Euclide (vers 300 av. J.-C.). Cet ouvrage monumental présente la géométrie selon une organisation systématique qui deviendra le modèle même de la science démonstrative pour plus de deux millénaires.

Euclide commence son exposition par l'énoncé de principes premiers, qu'il distingue en trois catégories :

1. Les définitions (ὅροι, horoi), au nombre de 23 dans le Livre I, qui précisent le sens des termes géométriques fondamentaux. Par exemple :

• « Un point est ce qui n'a aucune partie »
• « Une ligne est une longueur sans largeur »
• « Une ligne droite est une ligne qui est placée de manière égale par rapport à ses points »

2. Les postulats (αἰτήματα, aitêmata), au nombre de cinq, qui concernent spécifiquement les constructions géométriques :

1. On peut mener une ligne droite d'un point quelconque à un point quelconque
2. On peut prolonger continûment en ligne droite une ligne droite finie
3. On peut décrire un cercle de centre et de rayon quelconques
4. Tous les angles droits sont égaux entre eux
5. Si une droite tombant sur deux droites fait les angles intérieurs du même côté plus petits que deux droits, ces deux droites, prolongées à l'infini, se rencontreront du côté où les angles sont plus petits que deux droits

Ce cinquième postulat, connu sous le nom de postulat des parallèles, a suscité d'innombrables controverses au cours de l'histoire. Son caractère moins « évident » que les quatre premiers a conduit de nombreux mathématiciens à tenter de le démontrer à partir des autres postulats, tentatives qui aboutirent finalement, au XIX^e siècle, à la découverte des géométries non-euclidiennes.

3. Les notions communes (κοιναὶ ἔννοιαι, koinai ennoiai) ou axiomes, au nombre de cinq, qui sont des principes d'application universelle :

1. Les choses égales à une même chose sont égales entre elles
2. Si on ajoute des choses égales à des choses égales, les touts sont égaux
3. Si on retranche des choses égales de choses égales, les restes sont égaux
4. Les choses qui coïncident l'une avec l'autre sont égales entre elles
5. Le tout est plus grand que la partie

Cette distinction euclidienne entre postulats (propres à la géométrie) et axiomes ou notions communes (valables universellement) reprend la distinction aristotélicienne entre principes propres et principes communs. Les Éléments d'Euclide ont fixé pour des siècles le modèle de la démonstration mathématique : partir de principes premiers indémontrables mais évidents, et en déduire rigoureusement, par une chaîne de raisonnements syllogistiques, l'ensemble des théorèmes.

La période médiévale : axiome, signe et signification

La traduction latine et la scolastique

Avec la transmission de la philosophie grecque au monde latin et médiéval, la notion d'axiome subit des transformations importantes liées aux problèmes de traduction et d'interprétation. Le terme grec axiôma est rendu en latin par plusieurs expressions : axioma, dignitas, maxima propositio, ou encore principium per se notum (principe connu par soi-même).

Boèce (480-524), dans ses commentaires sur Aristote, joue un rôle crucial dans cette transmission. Il traduit axiôma par dignitas et insiste sur le caractère immédiatement évident de ces propositions qui « n'ont pas besoin de démonstration car leur vérité apparaît d'elle-même ». Boèce établit également une connexion importante entre l'axiome et la théorie du signe : l'axiome est une proposition dont les termes (signa) manifestent immédiatement la vérité sans qu'il soit nécessaire de recourir à un processus démonstratif.

Thomas d'Aquin (1225-1274), dans la tradition scolastique, développe une théorie sophistiquée des principes premiers. Il distingue :

1. Les principes premiers de la raison (prima principia rationis), qui sont connus naturellement par tous les hommes dotés de raison. Le plus fondamental est le principe de non-contradiction : « Il est impossible qu'une chose soit et ne soit pas en même temps ».
2. Les principes propres (principia propria) à chaque science, qui ne sont évidents que pour ceux qui possèdent les concepts requis. Par exemple, en géométrie, « deux lignes droites ne peuvent enclore un espace ».

Thomas d'Aquin insiste sur le fait que, bien que les axiomes ne puissent être démontrés, ils ne sont pas arbitraires : ils sont fondés sur la nature même de l'être (ens) et sur les premiers concepts que l'intellect abstrait de la réalité sensible. Cette position témoigne d'un réalisme épistémologique : les axiomes ne sont pas de simples conventions, mais expriment des vérités nécessaires sur la structure du réel.

Averroès et Henri de Gand : le débat sur le signe

Un débat important au Moyen Âge concerne le statut sémantique de l'axiome. Averroès (1126-1198), dans son commentaire de la Métaphysique d'Aristote, souligne que pour qu'il y ait discussion rationnelle, « il est nécessaire que le discours de celui qui parle signifie quelque chose qui est dans son esprit et dans celui de l'auditeur, et qui doit être intelligible pour les deux interlocuteurs ».

Henri de Gand (vers 1217-1293) approfondit cette réflexion en glosant le terme signum (signe) par symbolum (symbole). Il insiste sur le fait que, pour qu'il y ait transmission de sens, il importe que la chose signifiée soit connue à la fois du locuteur et de l'auditeur, afin que l'audition du signe puisse provoquer chez l'auditeur la réminiscence de la chose que le nom signifiait pour le locuteur.

Cette réflexion médiévale sur le rapport entre axiome, signe et signification prépare les développements ultérieurs sur le conventionnalisme linguistique et la nature des vérités axiomatiques.

L'époque moderne : de l'évidence à la convention

Descartes et l'intuition intellectuelle

René Descartes (1596-1650) opère une transformation décisive dans la conception des axiomes, en les liant à la faculté d'intuition intellectuelle plutôt qu'à une évidence objective. Dans les Règles pour la direction de l'esprit, il définit l'intuition comme « la conception d'un esprit pur et attentif, conception si facile et si distincte qu'aucun doute ne reste sur ce que nous comprenons ».

Pour Descartes, les axiomes mathématiques, qu'il appelle aussi « natures simples » ou « vérités éternelles », sont perçus par une intuition immédiate de l'esprit. Ainsi, le principe « deux choses égales à une troisième sont égales entre elles » s'impose à l'esprit avec une clarté et une distinction telles qu'il est impossible d'en douter.

Cette position cartésienne présente une ambiguïté fondamentale : d'un côté, Descartes insiste sur le caractère inné et évident des axiomes ; d'un autre côté, il reconnaît que c'est Dieu qui a créé ces vérités éternelles, ce qui suggère une certaine contingence. Cette tension entre nécessité rationnelle et création divine traverse toute la pensée cartésienne.

Descartes adopte également la méthode géométrique pour exposer sa philosophie, notamment dans les Réponses aux secondes objections où il présente des arguments more geometrico, c'est-à-dire selon la manière des géomètres, en posant des définitions et des axiomes avant de procéder à des démonstrations. Cependant, il se montre critique envers l'application mécanique de cette méthode en philosophie, considérant que l'ordre des raisons ne se réduit pas à un simple enchaînement déductif à partir d'axiomes.

Spinoza et la méthode géométrique en philosophie

Baruch Spinoza (1632-1677) pousse à son terme l'application de la méthode axiomatique en philosophie. Son Éthique, dont le titre complet est Ethica ordine geometrico demonstrata (Éthique démontrée selon l'ordre géométrique), adopte rigoureusement la structure euclidienne : définitions, axiomes, propositions, démonstrations.

Le Livre I de l'Éthique, « De Dieu », commence par huit définitions (de la cause de soi, de la chose finie, de la substance, de l'attribut, du mode, de Dieu, etc.) et sept axiomes, parmi lesquels :

• Axiome I : « Tout ce qui est, est ou en soi ou en autre chose »
• Axiome III : « Étant donnée une cause déterminée, il en suit nécessairement un effet et au contraire, s'il n'y a aucune cause déterminée, il est impossible qu'un effet suive »
• Axiome VI : « Une idée vraie doit s'accorder avec son objet »

À partir de ces principes, Spinoza déduit l'ensemble de sa métaphysique, démontrant notamment l'existence et l'unicité de la substance (Dieu ou la Nature), l'infinité de ses attributs, la nécessité de toutes choses. L'adoption de la forme géométrique n'est pas un simple artifice d'exposition : elle correspond à la conviction spinoziste que la réalité elle-même possède une structure rationnelle nécessaire, que la philosophie peut et doit exprimer avec la même rigueur que la géométrie.

Cette tentative d'appliquer la méthode axiomatique à la philosophie première a suscité de nombreuses critiques. Néanmoins, l'Éthique de Spinoza reste un monument de la pensée rationnelle et un modèle insigne d'axiomatisation philosophique.

Leibniz et l'analyse des concepts

Gottfried Wilhelm Leibniz (1646-1716) développe une conception des axiomes qui anticipe certaines orientations de la logique moderne. Pour Leibniz, les vérités nécessaires, dont font partie les axiomes, sont des vérités identiques ou analytiques, c'est-à-dire des propositions dont le prédicat est contenu dans le sujet.

Leibniz distingue deux types de vérités :

1. Les vérités de raison, nécessaires et éternelles, qui sont fondées sur le principe de contradiction. Leur négation implique contradiction. Les axiomes appartiennent à cette catégorie.
2. Les vérités de fait, contingentes, qui sont fondées sur le principe de raison suffisante. Leur négation est possible sans contradiction.

Pour Leibniz, un axiome est une vérité primitive qui ne peut être démontrée, mais qui pourrait en principe l'être si nous possédions une analyse complète des concepts qu'elle contient. Dans l'entendement divin, qui voit d'un seul coup toutes les vérités possibles, il n'y aurait à proprement parler pas d'axiomes indémontrables : toute vérité s'y réduirait à des identités.

Cette conception leibnizienne prépare le développement ultérieur de la logique formelle et de l'idée selon laquelle les axiomes ne sont que des « vérités initiales » choisies pour construire un système déductif, sans prétention à une évidence absolue.

Kant et la révolution critique

Emmanuel Kant (1724-1804) opère une rupture décisive dans la conception des axiomes en les situant non plus dans les choses elles-mêmes ni dans une intuition intellectuelle des essences, mais dans la structure a priori de notre faculté de connaître.

Dans la Critique de la raison pure (1781), Kant distingue plusieurs types de jugements :

1. Les jugements analytiques, où le prédicat est contenu dans le concept du sujet. Exemple : « Tous les corps sont étendus ». Ces jugements sont vrais a priori mais n'augmentent pas notre connaissance.
2. Les jugements synthétiques a posteriori, fondés sur l'expérience. Exemple : « Tous les corps sont pesants ».
3. Les jugements synthétiques a priori, qui augmentent notre connaissance tout en étant universels et nécessaires. Les axiomes de la géométrie et de l'arithmétique appartiennent à cette catégorie.

Pour Kant, les axiomes mathématiques (par exemple : « La ligne droite est le plus court chemin entre deux points ») ne sont ni de simples définitions analytiques, ni des vérités tirées de l'expérience. Ils expriment les conditions a priori de notre intuition de l'espace et du temps, les formes pures de la sensibilité. Les axiomes de la géométrie euclidienne sont nécessaires non pas parce qu'ils décrivent la structure objective de l'espace en soi, mais parce qu'ils expriment la forme sous laquelle notre esprit doit nécessairement se représenter les phénomènes spatiaux.

Cette « révolution copernicienne » kantienne a des conséquences considérables pour la théorie des axiomes : elle ouvre la voie à l'idée que différents systèmes d'axiomes pourraient être également cohérents, correspondant à différentes structures de notre intuition ou de notre pensée. La découverte ultérieure des géométries non-euclidiennes au XIX^e siècle viendra confirmer cette possibilité et remettre en cause l'apriorisme kantien lui-même.

Le tournant du XIX^e siècle : axiomes et géométries non-euclidiennes

Le XIX^e siècle marque un tournant décisif dans la conception des axiomes avec la découverte des géométries non-euclidiennes. Cette découverte bouleverse la conviction millénaire selon laquelle les axiomes d'Euclide seraient les seuls possibles et correspondraient à la structure nécessaire de l'espace.

Les tentatives de démonstration du cinquième postulat

Pendant plus de deux mille ans, les mathématiciens ont été troublés par le cinquième postulat d'Euclide (le postulat des parallèles), qui paraissait moins évident que les quatre premiers et semblait devoir pouvoir être démontré à partir d'eux. De nombreux mathématiciens, depuis l'Antiquité (Ptolémée, Proclus) jusqu'au XVIII^e siècle (Saccheri, Lambert), ont tenté de prouver ce postulat, généralement en supposant sa négation et en cherchant à en dériver une contradiction.

Lobatchevski, Bolyai et Riemann

Les travaux de Nikolaï Lobatchevski (1792-1856), János Bolyai (1802-1860) et Bernhard Riemann (1826-1866) établissent qu'il existe des géométries cohérentes dans lesquelles le cinquième postulat d'Euclide est remplacé par sa négation. Dans la géométrie hyperbolique de Lobatchevski et Bolyai, par un point extérieur à une droite passent une infinité de parallèles à cette droite. Dans la géométrie elliptique de Riemann, il n'existe aucune parallèle : toutes les droites finissent par se couper.

Ces découvertes prouvent que le cinquième postulat est indépendant des quatre premiers : il ne peut être ni démontré ni réfuté à partir d'eux. Plus généralement, elles établissent la possibilité de systèmes axiomatiques différents, également cohérents, pour la géométrie.

Conséquences philosophiques

Les géométries non-euclidiennes ont des implications philosophiques considérables :

1. Fin de l'évidence absolue : Les axiomes ne peuvent plus être considérés comme des vérités évidentes par elles-mêmes. Ils apparaissent désormais comme des hypothèses choisies pour construire un système déductif.
2. Pluralité des systèmes axiomatiques : Il n'y a pas un seul système d'axiomes « vrai », mais plusieurs systèmes possibles, tous cohérents, entre lesquels on peut choisir selon des critères d'utilité, de simplicité, ou de conformité à l'expérience.
3. Distinction entre cohérence et vérité : Un système d'axiomes peut être parfaitement cohérent (non-contradictoire) sans pour autant être « vrai » au sens d'une correspondance avec la réalité. La question de savoir quelle géométrie décrit l'espace physique réel devient une question empirique, relevant de la physique plutôt que des mathématiques pures.
4. Remise en cause du kantisme : La découverte que l'espace peut être décrit par des géométries différentes remet en cause la thèse kantienne selon laquelle la géométrie euclidienne exprime la forme a priori nécessaire de notre intuition spatiale.

Cette révolution conceptuelle prépare les développements de l'axiomatique formelle au XX^e siècle.

Le XX^e siècle : l'axiomatique formelle

Hilbert et la méthode axiomatique moderne

David Hilbert (1862-1943) est la figure majeure qui reformule entièrement la méthode axiomatique à la lumière de la crise des fondements des mathématiques. Dans son ouvrage Fondements de la géométrie (Grundlagen der Geometrie, 1899), Hilbert propose une axiomatisation complète de la géométrie euclidienne, qui comble les lacunes de l'axiomatique d'Euclide en explicitant tous les axiomes implicitement utilisés.

Hilbert introduit une conception formaliste des axiomes : les objets géométriques (points, droites, plans) ne sont plus définis par leur nature ou leur essence, mais uniquement par les relations qu'ils entretiennent les uns avec les autres, telles que ces relations sont stipulées par les axiomes. Ce qui compte n'est pas la nature intrinsèque des objets, mais la structure formelle des relations axiomatisées.

Hilbert distingue également différents types de propriétés que doit posséder un système d'axiomes :

1. La cohérence (Widerspruchsfreiheit) : Les axiomes ne doivent pas permettre de déduire une contradiction. Hilbert démontre la cohérence de son système axiomatique de la géométrie en construisant un modèle dans l'arithmétique réelle.
2. L'indépendance (Unabhängigkeit) : Chaque axiome doit être indépendant des autres, c'est-à-dire qu'il ne doit pas être démontrable à partir des autres axiomes. On prouve l'indépendance d'un axiome en construisant un modèle qui satisfait tous les axiomes sauf celui-là.
3. La complétude (Vollständigkeit) : Le système d'axiomes doit être suffisant pour décider de la vérité ou de la fausseté de toute proposition formulable dans le langage de la théorie.

Cette métamorphose de la méthode axiomatique marque le passage d'une conception « matérielle » (les axiomes expriment des vérités évidentes sur des objets donnés) à une conception « formelle » (les axiomes définissent implicitement les objets et leurs relations par les propriétés structurelles qu'ils leur assignent).

Peano et l'axiomatisation de l'arithmétique

Giuseppe Peano (1858-1932) propose en 1889 une axiomatisation de l'arithmétique des nombres naturels qui deviendra canonique. Les axiomes de Peano définissent les nombres naturels à partir de trois notions primitives : l'ensemble ℕ des nombres naturels, le nombre zéro (0), et la fonction successeur (s).

Les cinq axiomes de Peano sont :

1. 0 est un nombre naturel
2. Tout nombre naturel n a un unique successeur s(n) qui est un nombre naturel
3. Aucun nombre naturel n'a 0 pour successeur
4. Deux nombres naturels ayant le même successeur sont égaux (la fonction successeur est injective)
5. Si un ensemble contient 0 et contient le successeur de chacun de ses éléments, alors cet ensemble contient tous les nombres naturels (principe de récurrence)

Le cinquième axiome, appelé axiome de récurrence ou d'induction, est fondamental : il garantit que les nombres naturels sont exactement ceux qu'on obtient en partant de 0 et en appliquant successivement la fonction successeur. Sans cet axiome, il pourrait exister des modèles contenant des éléments « étrangers » qui ne seraient accessibles par aucune application finie de la fonction successeur.

Les axiomes de Peano illustrent parfaitement la méthode axiomatique moderne : ils définissent implicitement les nombres naturels non par ce qu'ils sont « en eux-mêmes », mais par les propriétés structurelles qu'ils doivent satisfaire. Toute structure satisfaisant ces axiomes peut légitimement être considérée comme « les nombres naturels », et les différentes réalisations possibles sont isomorphes entre elles.

À partir de ces axiomes, Peano définit ensuite les opérations d'addition et de multiplication par récurrence, et peut démontrer leurs propriétés (commutativité, associativité, distributivité).

Gödel et les limites de l'axiomatisation

En 1931, Kurt Gödel (1906-1978) démontre ses célèbres théorèmes d'incomplétude, qui établissent des limites fondamentales à ce que peut accomplir la méthode axiomatique.

Le premier théorème d'incomplétude établit que, dans tout système formel cohérent et récursivement axiomatisable qui contient l'arithmétique (comme l'arithmétique de Peano), il existe des énoncés arithmétiques vrais qui ne peuvent être ni démontrés ni réfutés dans ce système. En d'autres termes, aucun système d'axiomes fini (ou même récursivement énumérable) ne peut capturer toutes les vérités arithmétiques : il existe toujours des énoncés indécidables, c'est-à-dire dont ni eux ni leurs négations ne sont démontrables à partir des axiomes.

Le second théorème d'incomplétude établit que, si un système formel cohérent contenant l'arithmétique est effectivement cohérent, alors sa cohérence ne peut être démontrée à l'intérieur du système lui-même. Cela signifie qu'on ne peut prouver la cohérence d'un système axiomatique qu'en utilisant des moyens plus puissants (et donc moins certains) que le système lui-même.

Ces résultats ont des conséquences philosophiques majeures :

1. Fin du rêve formaliste : Le programme de Hilbert, qui visait à fonder toutes les mathématiques sur une base axiomatique finie dont on pourrait prouver la cohérence par des moyens finitaires, ne peut être réalisé.
2. Distinction entre vérité et démontrabilité : Il existe des énoncés mathématiques qui sont « vrais » (au sens où ils sont vrais dans le modèle standard des nombres naturels) mais qui ne sont pas « démontrables » à partir d'aucun système fini d'axiomes. La vérité mathématique transcende la démontrabilité formelle.
3. Nécessité du jugement mathématique : La pratique mathématique ne peut se réduire à l'application mécanique de règles formelles à partir d'axiomes. Le mathématicien doit faire appel à l'intuition, au jugement, à la compréhension sémantique des concepts, pour choisir les axiomes appropriés et reconnaître les vérités qui ne sont pas formellement démontrables.

Paradoxalement, les théorèmes de Gödel, bien qu'établissant les limites de la méthode axiomatique, ne la rendent pas caduque. Ils montrent seulement que l'axiomatisation ne peut épuiser la richesse de la réalité mathématique, ce qui peut être interprété soit comme un échec du formalisme, soit comme une preuve de la profondeur et de la transcendance des objets mathématiques.

Épistémologie contemporaine de l'axiome

Platonisme et nominalisme mathématiques

La question du statut ontologique des axiomes s'inscrit dans le débat plus large entre platonisme et nominalisme en philosophie des mathématiques.

Pour les platonistes, les axiomes décrivent des vérités objectives concernant des entités mathématiques abstraites qui existent indépendamment de nous. Ainsi, les axiomes de Peano décrivent les propriétés de la structure mathématique des nombres naturels, qui possède une existence réelle dans un « troisième royaume » platonicien, distinct à la fois du monde physique et du monde mental. Les mathématiciens « découvrent » les axiomes appropriés en développant une intuition de ces structures mathématiques préexistantes.

Cette position platoniste fait face au problème épistémologique : comment pouvons-nous avoir accès cognitif à des entités abstraites qui n'existent ni dans l'espace ni dans le temps et avec lesquelles nous ne pouvons avoir aucune interaction causale ? Comment pouvons-nous « intuitionner » les nombres ou les ensembles, alors que nous ne pouvons les observer ni les toucher ?

Pour les nominalistes ou conventionnalistes, au contraire, les axiomes ne décrivent rien : ils sont de libres stipulations que nous posons pour construire des systèmes formels cohérents. Les axiomes sont comparables aux règles d'un jeu : on peut choisir différentes règles pour différents jeux (échecs, dames, go), et aucun jeu n'est « vrai » ou « faux » en soi. De même, on peut choisir différents systèmes d'axiomes pour différentes mathématiques (géométrie euclidienne ou non-euclidienne, arithmétique classique ou intuitionniste), sans qu'aucun soit « vrai » absolument.

Cette position évite le problème épistémologique du platonisme, mais fait face à d'autres difficultés : pourquoi certains systèmes d'axiomes sont-ils mathématiquement féconds tandis que d'autres sont stériles ? Pourquoi les mathématiques, si elles ne sont que des constructions conventionnelles, sont-elles si étonnamment applicables au monde physique ? Pourquoi ressentons-nous que certains axiomes (comme ceux de l'arithmétique) s'imposent à nous avec une nécessité qui va au-delà de la simple convention ?

Entre ces deux extrêmes se situent diverses positions intermédiaires, comme le structuralisme mathématique, selon lequel les mathématiques portent non sur des objets isolés, mais sur des structures (et les axiomes définissent précisément ces structures), ou le conceptualisme, selon lequel les objets mathématiques sont des constructions de l'esprit humain, mais non arbitraires car contraintes par la nature de nos facultés cognitives.

L'axiomatique et la notion de théorie

Dans la logique mathématique contemporaine, une théorie axiomatique est définie rigoureusement comme un triplet composé de :

1. Un langage formel précis, avec un alphabet de symboles (constantes, variables, connecteurs logiques, quantificateurs, symboles de prédicats et de fonctions) et des règles de formation des formules bien formées.
2. Un ensemble d'axiomes, qui sont des formules closes (sans variables libres) du langage, choisies comme points de départ de la théorie.
3. Des règles d'inférence, qui spécifient comment dériver de nouvelles formules (théorèmes) à partir des axiomes et des théorèmes déjà établis.

Les axiomes ne sont plus du tout conçus comme des « vérités évidentes », mais simplement comme les prémisses initiales arbitrairement choisies du système déductif. Leur unique contrainte est la non-contradiction : ils ne doivent pas permettre de dériver à la fois une formule et sa négation.

On distingue alors plusieurs propriétés qu'une théorie axiomatique peut posséder :

• Cohérence (ou consistance) : La théorie est cohérente si on ne peut pas y démontrer une contradiction.
• Complétude (au sens syntaxique) : La théorie est complète si, pour toute formule close du langage, soit cette formule soit sa négation est un théorème.
• Décidabilité : La théorie est décidable s'il existe un algorithme permettant de déterminer, pour toute formule close, si elle est ou non un théorème.
• Catégoricité : Une théorie est catégorique si tous ses modèles (réalisations qui rendent vrais tous ses axiomes) sont isomorphes. Autrement dit, la théorie détermine complètement, à isomorphisme près, la structure qu'elle décrit.

Le théorème d'incomplétude de Gödel montre précisément que, pour les théories suffisamment riches (contenant l'arithmétique), cohérence et complétude sont incompatibles : toute théorie cohérente contenant l'arithmétique est nécessairement incomplète.

Axiomes et fondements des mathématiques

Au XX^e siècle, la question des fondements des mathématiques s'est largement identifiée à la question du choix d'un système d'axiomes approprié. Plusieurs systèmes concurrents ont été proposés :

La théorie des ensembles de Zermelo-Fraenkel (ZF et ZFC)

La théorie des ensembles axiomatisée par Ernst Zermelo (1871-1953) et Abraham Fraenkel (1891-1965), avec ou sans l'axiome du choix (C), est devenue le système fondationnel standard des mathématiques. Elle comprend une dizaine d'axiomes régissant la formation et les propriétés des ensembles, parmi lesquels :

• L'axiome d'extensionnalité : deux ensembles sont égaux s'ils ont les mêmes éléments
• L'axiome de la paire : pour tous x et y, il existe un ensemble {x, y}
• L'axiome de l'union : pour tout ensemble X, il existe un ensemble qui est l'union de tous les éléments de X
• L'axiome de séparation : pour toute propriété φ et tout ensemble X, il existe un ensemble formé des éléments de X qui satisfont φ
• L'axiome de l'infini : il existe un ensemble infini
• L'axiome du choix : pour toute famille d'ensembles non vides disjoints, il existe un ensemble formé d'exactement un élément de chaque ensemble de la famille

Ces axiomes permettent de fonder l'essentiel des mathématiques classiques : on peut définir les nombres naturels, les entiers, les rationnels, les réels, les espaces vectoriels, etc., comme des ensembles satisfaisant certaines propriétés, et développer toute la hiérarchie mathématique à partir de là.

Certains de ces axiomes, notamment l'axiome de l'infini et l'axiome du choix, ont fait l'objet de controverses. L'axiome de l'infini affirme l'existence d'un ensemble infini actuel (par opposition à un infini potentiel), ce qui a des implications philosophiques importantes. L'axiome du choix, qui affirme la possibilité de « choisir » simultanément un élément dans chacun des ensembles d'une famille infinie d'ensembles non vides, même sans règle explicite de sélection, conduit à des conséquences paradoxales (comme le paradoxe de Banach-Tarski) et son statut reste débattu.

Le logicisme de Frege et Russell

Le logicisme soutient que les mathématiques sont réductibles à la logique, et que les axiomes mathématiques peuvent être dérivés des seuls axiomes de la logique. Gottlob Frege (1848-1925) et Bertrand Russell (1872-1970) ont tenté de réaliser ce programme. Dans les Principia Mathematica (1910-1913), Russell et Whitehead proposent un système formel dans lequel toutes les mathématiques pourraient en principe être déduites d'axiomes purement logiques, moyennant l'introduction de la théorie des types pour éviter les paradoxes de la théorie naïve des ensembles.

Cependant, le programme logiciste s'est heurté à des difficultés : certains axiomes nécessaires pour fonder les mathématiques (comme l'axiome de l'infini ou l'axiome de réductibilité introduit par Russell) ne semblent pas être de purs principes logiques, mais introduisent des hypothèses ontologiques substantielles sur l'existence d'entités. Le logicisme sous sa forme stricte est donc généralement considéré comme un échec, bien qu'il ait produit d'importants développements en logique formelle.

L'intuitionnisme de Brouwer

L'intuitionnisme, fondé par L.E.J. Brouwer (1881-1966), rejette l'idée que les mathématiques puissent se réduire à un jeu formel avec des axiomes et des règles d'inférence. Pour les intuitionnistes, les mathématiques sont une activité mentale constructive : un objet mathématique n'existe que s'il peut être effectivement construit par l'esprit.

Cette position conduit au rejet de certains principes classiques :

• Rejet du principe du tiers exclu : Pour les intuitionnistes, on ne peut affirmer « P ou non-P » que si l'on possède soit une preuve de P, soit une preuve de non-P. On ne peut admettre que, pour tout énoncé, l'un des deux doit être vrai, même si l'on ne sait pas lequel.
• Rejet du raisonnement par l'absurde : On ne peut déduire P de la démonstration de l'absurdité de non-P. Il faut construire directement P.
• Conception constructiviste de l'existence : Affirmer qu'il existe un objet x ayant la propriété P requiert d'exhiber effectivement un tel x, ou au moins de fournir une méthode pour le construire. On ne peut se contenter de prouver qu'il est contradictoire qu'aucun x n'ait la propriété P.

L'intuitionnisme propose donc une logique intuitionniste différente de la logique classique, avec des axiomes logiques différents. Les mathématiques intuitionnistes, bien que plus faibles que les mathématiques classiques (certains théorèmes classiques n'y sont pas démontrables), ont connu un regain d'intérêt avec le développement de l'informatique théorique et de la théorie des types, car elles correspondent naturellement à une interprétation calculatoire : une preuve constructive d'une existence fournit effectivement un algorithme pour construire l'objet en question.

Conclusion

L'histoire de la notion d'axiome retrace l'évolution même de notre conception de la rationalité démonstrative. D'Aristote et Euclide, pour qui les axiomes étaient des vérités évidentes par elles-mêmes, fondées dans la nature des choses, nous sommes passés, à travers les géométries non-euclidiennes et la crise des fondements, à une conception formelle : les axiomes comme stipulations libres pour construire des systèmes cohérents.

Cette évolution ne signifie pas que la question de la vérité des axiomes soit devenue dénuée de sens. Elle signifie plutôt que cette question s'est déplacée : on ne se demande plus si les axiomes sont « vrais en soi », mais plutôt s'ils constituent une description adéquate de la structure que nous voulons étudier (les nombres naturels, les ensembles, l'espace physique), ou s'ils donnent naissance à une théorie mathématiquement intéressante et féconde.

Les théorèmes de Gödel ont montré que la méthode axiomatique, malgré sa puissance, rencontre des limites intrinsèques : elle ne peut capturer la totalité de la vérité mathématique. Mais loin de discréditer cette méthode, cette découverte en révèle la profondeur. Elle nous rappelle que la pratique mathématique ne se réduit pas à la manipulation mécanique de symboles formels, mais requiert jugement, intuition et compréhension sémantique.

Aujourd'hui, la notion d'axiome demeure centrale non seulement en mathématiques, mais aussi en logique, en informatique théorique (où les systèmes formels axiomatisés jouent un rôle crucial dans la vérification de programmes et la conception de langages), en physique théorique (où les théories fondamentales sont souvent présentées sous forme axiomatique), et même en philosophie (où la méthode axiomatique continue d'inspirer certaines approches, notamment en philosophie analytique et en éthique formelle).

Comprendre la notion d'axiome, son histoire et ses transformations, c'est comprendre comment l'esprit humain construit des édifices de connaissance rationnelle, en équilibrant toujours entre l'exigence de fondements ultimes et la reconnaissance de nos limites cognitives, entre la quête de l'évidence absolue et l'acceptation de la dimension hypothétique et constructive de nos systèmes théoriques.

Bibliographie

Sources primaires

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• TORRETTI, Roberto, Philosophy of Geometry from Riemann to Poincaré, Dordrecht, Reidel, 1978.

Voir aussi

• Démonstration
• Postulat
• Définition
• Logique
• Mathématiques
• Géométrie euclidienne
• Géométrie non-euclidienne
• Théorème d'incomplétude de Gödel
• Théorie des ensembles
• Platonisme mathématique