La politique monétaire/La demande de monnaie : modèle Money in utility

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Le modèle Money in utility, qui sera abrévié MIU, est un modèle dit d'équilibre général (il prend en compte un grand nombre de marchés et leurs interactions), qui part du comportement d'un agent qui maximise sa fonction d'utilité. Ce modèle part du principe que la détention de monnaie est source d'utilité, tout comme la consommation. Il s'agit là d'un raccourci assez grotesque : personne ne détient de la monnaie pour elle-même. Les agents détiennent de la monnaie pour divers motifs de transaction ou de précaution, c'est à dire pour ce qu'ils peuvent obtenir en échangeant leur monnaie. Néanmoins, on peut utiliser l'hypothèse que la monnaie elle-même donne de l'utilité à l'agent, pour simplifier les calculs. Cependant, divers modèles plus complets, comme les modèles OLG ou cash-in advance, permettent de dériver l'équation de base du modèle MIU.

Les hypothèses[modifier | modifier le wikicode]

Ce modèle part de deux hypothèses :

  • l'agent maximise son utilité ;
  • il est soumis à une contrainte : il n'a pas une infinité d'argent à sa disposition.

La contrainte de budget[modifier | modifier le wikicode]

Voyons d'abord la contrainte. Nous allons supposer que l'argent (en termes réels) à disposition d'un agent à un instant t est la somme de :

  • son revenu réel  ;
  • ses encaisses monétaires réelles  ;
  • des encaisses réelles d'obligations  ;
  • du capital , que ce soit sous forme d'actions ou d'autres placements.

On postule que le capital a tendance à se déprécier avec le temps, à un taux de par période. On obtient alors l'ensemble des revenus :

Pour poursuivre, il nous faut éclaircir les relations entre revenu et capital. La relation entre ces deux variables nous vient du modèle de Solow, un modèle de croissance que nous n'allons pas détailler ici. Tout ce que nous allons dire est que le revenu Y est une fonction croissante du capital. Ceux qui veulent en savoir plus peuvent lire l'encart ci-dessous, mais c'est loin d'être nécessaire pour comprendre la suite.

Les théories de la croissance postulent que le PIB Y dépend non seulement de la force de travail, mais aussi du capital présent dans l'économie. Il peut ainsi se modéliser sous la forme d'une fonction de la forme :

Il est raisonnable de supposer des rendements décroissants : une augmentation de K ou L se traduit par une augmentation moindre de la production. Par exemple, si on triple le travail sans tripler le capital, la production n'est pas triplée, mais augmente de moins de trois fois. Cette propriété est relativement crédible : si on double le nombre d'employés sans doubler le nombre de machine, l'entreprise ne pourra pas produire deux fois plus. Par contre, doubler le nombre de machines et d'ouvrier permettra certainement de produire deux fois plus : si on multiplie la force de travail et le capital par deux, la production est doublée. De manière générale, augmenter les deux facteurs dans les mêmes proportions augmentera la production d'autant. On parle alors de rendements d'échelle constants.

Pour obtenir le PIB par personne, il suffit de diviser la fonction par L. Vu la présence de rendements d'échelle constants, on a donc :

Le terme est le capital par habitant, aussi appelé intensité capitalistique. Il ne faut cependant pas oublier que les rendements du capital, et donc de l'intensité capitalistique, sont décroissant : on peut doubler le capital, cela ne doublera pas le PIB.

L'équation précédente nous donne les dépenses. On peut aussi regarder les dépenses et investissements que peut réaliser l'agent. Durant cette période, cet argent peut être consommé, gardé sous la forme d'obligations, de capital ou d'encaisses monétaires. On a alors l'ensemble des dépenses et investissements :

Il va de soit que les deux sont égaux, ce qui donne :

On peut reformuler le tout en disant que :

Voici la contrainte budgétaire telle que nous l'utiliserons plus loin.

La fonction d'utilité[modifier | modifier le wikicode]

La fonction maximisée est la suivante, avec le taux de préférence pour le présent. Ce dernier , pour rappel, vient du fait que l'utilité de quelque chose maintenant est toujours supérieur à l'utilité de la même chose dans le futur.

Résoudre le modèle demande de faire quelques hypothèses sur la fonction d'utilité, qui doit être connue si on veut faire les calculs avec. Nous allons supposer que l'utilité est la somme de l'utilité donnée par la détention de monnaie et par l'utilité de la consommation. De telles fonctions, dites linéaires séparables, sont courantes en économie et permettent de simplifier les calculs avec des fonctions d'utilité. Dans le cas des modèles MIU, de telles fonctions linéairement séparables induisent le respect de la neutralité de la monnaie. Des fonctions non-linéairement séparables permettent à la politique monétaire d'avoir un effet sur les variables réelles, tandis que les fonctions séparables ne permettent d'obtenir qu'un effet sur les variables nominales. Mais laissons cela à plus tard. Voici à quoi ressemble la fonction d'utilité séparable :

On ne peut résoudre le modèle sans avoir une expression plus ou moins exacte de la fonction d'utilité. Dans la littérature, de nombreuses fonctions d'utilité existent : l'utilité CES, isoélastique, quasi-linéaire, exponentielle, etc.

Le modèle général[modifier | modifier le wikicode]

Dans ce qui va suivre, nous allons utiliser une méthode appelée méthode des multiplicateurs de Lagrange. Celle-ci permet de maximiser ou minimiser une fonction sous une contrainte. Ici, la fonction à maximiser est évidemment la fonction d'utilité, la contrainte étant que consommation et encaisses monétaires sont limitées par W.

Celle-ci commence par définir un lagrangien, une fonction similaire à la fonction à maximiser. Ce lagrangien vaut, pour une fonction et une contrainte  :

Le paramètre est le multiplicateur de Lagrange. Celui-ci est égal à la dérivée de l'utilité quand on augmente d'une unité la contrainte.

Les conditions qui maximisent la fonction U sous la contrainte G sont les suivantes :

  • ...

La lagrangien[modifier | modifier le wikicode]

Utilisons la méthode des multiplicateurs de Lagrange. Le lagrangien est le suivant.

On peut éliminer la somme, ce qui donne :

Une fois développé, le lagrangien devrait donc être le suivant :

Cependant, il faut noter que, d'après la méthode des multiplicateur de Lagrange, les termes avec l'indice t reçoivent un multiplicateur , alors que ceux d'indice t-1 ont un multiplicateur de . Le lagrangien devient alors :

Le calcul des conditions de premier ordre[modifier | modifier le wikicode]

Cette méthode nous donne les conditions qui permettent de maximiser l'utilité sous contrainte. Les conditions de premier ordre vont nous demander de calculer beaucoup de dérivée, aussi nous allons les calculer avant de voir les conditions de premier ordre proprement dites, histoire de simplifier la compréhension des calculs.

Calculs préliminaires[modifier | modifier le wikicode]

Commençons par la fonction de dépenses . On voit qu'on peut calculer les dérivées en fonction de la consommation, du capital, des encaisses monétaire et obligataires. Les calculs sont triviaux et donnent :

Reste alors à calculer la dérivée des revenus par rapport aux quatre variables. On rappelle que la fonction de revenus est la suivante : . L'absence de la consommation dans cette fonction nous dit que la dérivée correspondante sera nulle. On peut cependant dériver la fonction par rapport au capital et aux encaisses monétaires et obligataires. Pour le cas des encaisses, il faut penser à mettre les prix à la bonne période, à savoir utiliser l'équation . On a alors :

Enfin, la méthode va nous demander de calculer la dérivée de l'utilité en fonction de la consommation, des encaisses monétaires, du capital, et ainsi de suite. Vu que seule la consommation et les encaisses monétaires influencent la fonction d'utilité, on aura seulement deux dérivées non-nulles :

Conditions de premier ordre[modifier | modifier le wikicode]

Avec les équations précédentes, on peut calculer la condition de premier ordre pour le capital.

On peut aussi calculer la condition de premier ordre pour les obligations.

On peut faire la même chose avec la consommation :

On peut alors appliquer la formule , ce qui donne :

Équations dérivées[modifier | modifier le wikicode]

Taux naturel/réel[modifier | modifier le wikicode]

On peut remarquer que les deux premières conditions de premier ordre sont des équations de la forme . On peut alors écrire :

On voit que les facteurs monétaires ne jouent aucun rôle dans la détermination du taux réel, qui est donc un taux naturel. Le modèle nous donne donc une valeur pour le taux naturel, qui dépend des ressources en capital. On peut remarquer que le taux d'intérêt réel est égal au rendement réel du capital, son taux de profit marginal. Il s'agit d'une interprétation assez ancienne, qui date d'avant l'émergence de la macroéconomie Keynésienne, qui est respectée dans ce modèle.

Équation d'Euler de la consommation[modifier | modifier le wikicode]

Une autre dérivation consiste à combiner la condition de premier ordre de la consommation avec l'une des autres équations :

On a alors :

En simplifiant par , on a :

Cette équation s'appelle l'équation d'Euler de la consommation. Il se trouve que l'on a déjà vu cette équation dans le chapitre sur la courbe IS, sous une forme similaire.

Cout d'opportunité de la monnaie[modifier | modifier le wikicode]

Passons maintenant à la condition de premier ordre pour la monnaie.

On applique la condition de premier ordre de la consommation :

On utilise alors la formule  :

On simplifie par  :

On applique l'équation d'Euler de la consommation :

La résolution avec une utilité logarithmique[modifier | modifier le wikicode]

Dans ce qui va suivre, nous allons supposer que la fonction U est un banal logarithme. Il s'agit en effet d'une fonction d'utilité souvent utilisée pour faire les calculs en microéconomie, du moins dans les manuels d'introduction. Cette fonction a quelques propriétés mathématiques qui la rende intéressante pour une fonction d'utilité. On a alors :

Équations dérivées[modifier | modifier le wikicode]

Pour dériver la demande de monnaie, on part de l'équation du cas général, et on fait le remplacement des dérivées :

Si on part du principe que , on a :

On voit que la demande de monnaie est proportionnelle à la consommation et qu'elle dépend du taux nominal. La vélocité de la monnaie est alors :

Inflation optimale[modifier | modifier le wikicode]

Ce modèle MIU nous permet de calculer l'inflation optimale. Pour cela, partons du principe que la banque centrale cherche à maximiser la fonction d'utilité, sous contrainte que . La valeur qui maximise cette fonction se calcule avec la méthode de Lagrange, ce qui donne :

Les conditions de premier ordre obtenues sont donc :

Il nous reste alors à déterminer comment faire en sorte d'annuler le terme . Intuitivement, cela demande une création monétaire forte, pas forcément infinie, mais suffisante. Pour cela, partons de l'équation de demande de monnaie :

On a :

On voit que le terme peut s'annuler si . Le taux d'intérêt optimal est donc nul. En clair, le taux d'inflation optimal est l'opposé du taux réel : . Une telle politique demande donc une certaine forme de déflation, où le taux de déflation est égal au taux réel. Dans ce cas, la monnaie devient un actif rémunéré, du fait de la déflation, au taux égal à . Ce résultat intriguant n'est autre que la règle de Friedmann vue il y a quelques chapitres.