Les suites et séries/Les séries de Riemann

Un livre de Wikilivres.
Aller à : navigation, rechercher

Dans ce chapitre, nous allons voir les séries de Riemann et leurs liens avec les nombres premiers. Ces séries peuvent sembler assez peu intéressantes, mais il n'en est rien. Par exemple, les séries de Riemann sont impliquées dans diverses conjectures encore non-résolues sur les nombres premiers. Précisément, de telles suites ont un lien très fort avec la répartition des nombres premiers quand la raison est un nombre complexe. Nous auront l'occasion de reparler de la fameuse fonction zéta de Riemann, qui n'est autre qu'une série associée à une suite de Riemann. Quelques suites de Riemann particulières donnent aussi des résultats assez intéressants quand on prend leur leur série (nous verrons cela dans quelques chapitres). Bref, laissons tout cela à plus tard. Nous étudierons ces suites dans les chapitre sur les sommes partielles et les séries.

Les séries de Riemann[modifier | modifier le wikicode]

Les séries de Riemann ne sont autre que les séries des suites de Riemann, des suites de la forme :

Le coefficient r est appelé la raison de la suite, par analogie avec les suites géométriques.

Les théorèmes que nous verrons dans le prochain chapitre nous disent que cette série converge ou diverge selon la valeur de sa raison :

  • une raison inférieure ou égale à 1 fait diverger la série ;
  • une raison supérieure à 1 la fait converger.

La série harmonique[modifier | modifier le wikicode]

Série harmonique.

La série de Riemann la plus connue est incontestablement la série harmonique. Pour rappel, la suite harmonique est la suite de l'inverse des entiers naturels :

Premiers membres de la suite harmonique.

Cette série a une limite qui tend vers zéro avec le rang, ce qui fait qu'on pourrait croire qu'elle converge. Mais rappelez-vous : si les suites convergentes ont une limite qui tend vers zéro, la réciproque n'est pas vraie. Et la série harmonique est justement un contre-exemple parfait : elle diverge alors que sa limite est nulle !


Démonstration

Pour démontrer que la série harmonique diverge, nous allons la comparer avec une suite qui diverge elle aussi. Dans les grandes lignes, nous allons prendre une suite dont chaque terme est inférieur au terme de même rang dans la suite harmonique. Si on additionne tous les termes de la suite harmonique, on sait que la somme des termes de l'autre suite sera donc inférieure : tous les termes de l'autre suite sont plus petits, donc leur somme doit aussi l'être. Si cette suite, plus petite, diverge, alors la série harmonique doit aussi diverger. Il s'agit d'une méthode de démonstration de divergence assez stéréotypée et assez utile. Il faut préciser qu'il existe une variante pour démontrer qu'une suite converge : on doit trouver une série convergente dont tous les termes sont plus grands que la suite étudiée.

Or, voici une suite dont tous les termes sont plus petits que ceux de la suite harmonique (à rang égal), mais qui diverge :

Pour vérifier qu'elle diverge, regroupons les termes par paquets de deux, puis quatre, puis huit, etc.

Cette série est équivalente à une série constante, quand on additionne tous ses termes : elle diverge ! Donc la série harmonique, dont tout les termes sont plus grands que la série précédente, diverge aussi. CQFD !

La série de Leibniz[modifier | modifier le wikicode]

La série de Leibniz est assez similaire à la série harmonique alternée, une variante de la série harmonique où des termes consécutifs sont de signe opposés. La différence est que les inverses des entiers sont remplacés par les inverses des entiers impairs. Comme pour la série harmonique alternée, les signes des termes s'inversent d'un terme à l'autre. Cette série vaut :

Il se trouve que cette série a pour résultat le quart de pi !

La série de l'inverse des carrés[modifier | modifier le wikicode]

Une autre série intéressante est la série de l’inverse des carrés.

Un des mathématiciens les plus connu du 19ème siècle, Euler, a démontré que cette série valait :

Les séries de Riemann à exposants pairs[modifier | modifier le wikicode]

Prenons les séries de Riemann dont l'exposant est un nombre pair. En clair, les suites de la forme :

Il se trouve que toutes ces séries ont un résultat de la forme suivante avec un nombre rationnel (fractionnaire) :

Par exemple, on a :

La série de l'inverse des cubes[modifier | modifier le wikicode]

Une autre série intéressante, bien qu'un peu moins que la précédente est la série de l’inverse des cubes.

Le résultat de cette série est une constante, appelée constante d'Apéry. On sait qu'il s'agit d'un nombre irrationnel, ce résultat ayant été démontré par Apery lui-même, mais on ne sait pas encore s'il est transcendant ou non.

Les séries liées aux nombres premiers[modifier | modifier le wikicode]

Certaines séries sont fabriquées à partir de nombres premiers, comme la suite de l'inverse des nombres premiers. Celles-ci sont très utiles pour étudier les nombres premiers, sans compter que la plupart ont des propriétés assez intéressantes.

La série de l'inverse des nombres premiers[modifier | modifier le wikicode]

Comparaison entre la somme de l'inverse des nombres premiers et une autre fonction divergente.

La série de l'inverse des nombres premiers est de loin la plus simple à étudier. Cette série n'est autre qu'une variante de la suite harmonique, dans laquelle on n'aurait conservé que les termes au dénominateur premier. Et il se trouve que cette série diverge !

Preuve de la divergence[modifier | modifier le wikicode]

Un bon moyen de le prouver est de comparer cette série à une autre série, dont tous les termes sont inférieurs à la série des nombres premiers, qui est de plus connue pour diverger. Cette seconde série est la suivante :

On sait que chaque terme de la suite de l'inverse des nombres premiers est supérieur au terme de même rang de l'autre suite :

Vu que la seconde suite a une série qui diverge, celle des nombres premiers aussi.

La constante de Meissel–Mertens[modifier | modifier le wikicode]

Constante de Meissel–Mertens.

Il est intéressant de comparer la somme partielle de l'inverse des premiers à d'autres fonctions/suites. Le fait que la suite de l'inverse des entiers soit une sorte de variante de la suite harmonique nous est utile pour choisir à quelle suite la comparer. On a vu plus haut que la différence entre la série harmonique et la série de la suite est une constante, appelée constante d'Euler-Mascheroni. Et bien on peut comparer la suite de l'inverse des premiers avec la suite , mais dont on n'aurait conservé que les termes premiers. Et le résultat est plus ou moins le même avec seulement les premiers qu'avec tous les entiers : la différence converge vers une constante. Mais dans le cas avec seulement les termes premiers, la constante est différente de la constante d'Euler-Mascheroni. Pour résumer, la série de l'inverse des premiers et la série du double logarithme ne différent que d'une constante, appelée constante de Meissel–Mertens. Cette constante a pour définition la formule suivante, avec la constante d'Euler-Mascheroni :

Sa valeur approchée est la suivante :

La série de l'inverse des nombres premiers jumeaux[modifier | modifier le wikicode]

Illustration de la convergence de la série des nombres premiers jumeaux.

Si la série des nombres premiers diverge, ce n'est pas le cas pour la série des nombres premiers jumeaux. Pour rappel, les nombres premiers jumeaux sont des nombres premiers tels que leur différence est égale à 2 (en clair, ce sont des couples de la forme ). Cette série se construit en prenant deux nombres premiers jumeaux et en additionnant leurs inverses. Cette série converge vers une constante appelée la constante de Brun.