Mécanique, enseignée via l'Histoire des Sciences, la balistique extérieure

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La balistique extérieure, ici, concerne le mouvement d'un point matériel [1] soumis à la pesanteur uniforme, selon son poids mg et la résistance de l'air notée mg f(v).

Ce qu'il y a de plus caractéristique par rapport au mouvement de Torricelli est l'apparition d'une asymptote, ce que savaient bien les artilleurs : Tartaglia, Ufano, etc.

Il faudra se souvenir essentiellement de l'équation de l'hodographe :

Ici est la composante horizontale du vecteur vitesse, et l'angle complémentaire de l'angle de hauteur (on dit parfois la déclinaison) : comme ne cesse d'augmenter, diminue toujours et finit par tendre vers zéro. Qui plus est, x(t) reste fini.

Cette leçon sera développée du point de vue historique, pour mieux préciser les rôles des chercheurs dans ce domaine.

Elle sera excessivement développée par rapport au cours technique classique, mais ...elle pourra servir de référence... ?

Mouvement ; asymptote[modifier | modifier le wikicode]

Le cas d'un point matériel soumis à un champ de pesanteur uniforme tombant sans vitesse initiale est traité dans l'article Chute avec résistance de l'air. Il a fait apparaître la notion très importante de vitesse-limite. De même dans le cas d'un projectile, il apparaît la notion d'asymptote de la trajectoire.

La restriction champ de pesanteur uniforme est gardée ici ; si la trajectoire du mobile dépasse 100km, il faut modifier.

Le vecteur vitesse sera repéré par son module v et son angle de hauteur A : les composantes cartésiennes sont donc .

L'analyse des forces est : poids mg et résistance fluide de module r(v): = mg f(v), de direction opposée à la vitesse.

Hodographe[modifier | modifier le wikicode]

L'accélération montre que la courbe est concave vers le bas : donc, quand l'abscisse curviligne s augmente, l'angle de la vitesse avec l'horizontale, A(t) diminue de sa valeur initiale Ao à -90° : la fonction t-> - A(t),fonction croissante monotone, peut être avantageusement choisie comme échelle de temps:

échelle des temps[modifier | modifier le wikicode]

  • Les équations de Frenet donnent :
  • dv/dt = -g sinA -g.f(v)
  • mv²/R = mg cosA soit -v.dA/dt = g cosA.

d'où l'échelle de temps : dt = -V(A)/(g cosA).dA

On en tirera dx = -v²/g .dA ; dy =dx.tanA pour avoir la trajectoire, dont les coordonnées intrinsèques sont R = V²(A)/(g.cosA) ;

équation dite hodographe de la balistique[modifier | modifier le wikicode]

En éliminant dt :

équation du premier ordre, avec C.I. de Cauchy ( Ao, Vo).

D'où v = V(A), ce qui est l'hodographe en coordonnées polaires.

Quand A tend vers -90°,développer la dérivée, v tend vers une limite V1 telle que :

f(V1) = 1

On retrouve la notion de vitesse-limite de l'article chute avec résistance de l'air.

La trajectoire[modifier | modifier le wikicode]

Pour obtenir la trajectoire, il suffit donc d'intégrer l'équation précédente, puis :

Tout s'exprime donc "à une quadrature près" si on sait résoudre l'équation de l'hodographe (Bernoulli, 1695).

Cette trajectoire est dissymétrique par rapport à sa culmination (qui correspond à A = 0), car l'équation (B) donne v(A) > v(-A) et x(t) représente l'aire balayée par l'hodographe (cf. vitesse aréolaire).

asymptote de la trajectoire[modifier | modifier le wikicode]

L'immense différence avec le cas de Torricelli est que :

  • la vitesse est bornée par V1 et ne croît donc pas indéfiniment.
  • et x est fonction croissante du temps mais majorée par V1²/g .Pi/2 donc bornée : la portée est finie, quelle que soit la "hauteur de la citadelle" : c'est bien ce qu'affirmaient les artilleurs, la trajectoire parabolique de Torricelli n'étant solution valable que dans le cas irréaliste où l'on néglige la résistance de l'air.

Cas intégrables[modifier | modifier le wikicode]

L'équation de l'hodographe est donc l'équation fondamentale de la Balistique.

  • Le cas le plus facile d'intégrabilité est donné par Lagrange : f(v) = kv^n = (v/V1)^n . L'équation est alors une équation de Bernoulli, et s'intègre comme telle ( on obtient une équation différentielle linéaire, du premier ordre ).
  • Drach(CRAS1914) donne les différentes formes de f(V) pour lesquelles l'intégration est possible, y compris via les fonctions elliptiques.
  • En pratique, les artilleurs préfèrent une intégration numérique de (B), compte-tenu de la formule empirique de f(V) déterminée en soufflerie ; il faut en effet tenir compte de la variation de la densité de l'air avec l'altitude, donc en réalité f(V)*d(z), ce qui est plus dur à résoudre.

Enfin , pour les tirs assez lointains, il ne faut pas oublier la déviation de Coriolis ( cf la Grosse Bertha).

Le cas irréaliste linéaire[modifier | modifier le wikicode]

Ce cas est totalement irréaliste, mais il est étudié simplement parce qu'il est facilement intégrable !!!

Il donne, par le tracé des trajectoires, une certaine intuition du mouvement, considéré par beaucoup comme fausse.


L'équation différentielle est :

L'hodographe est donc la droite:

la trajectoire du projectile P est :

{ébauche : aide figure demandée, svp }

La trajectoire est dissymétrique par rapport à son point de culmination : pour la même altitude positive, il y a deux racines dont la demi somme décroît régulièrement, et les angles A1 et A2 ont une somme négative.

  • remarques annexes :
  1. Pour t < \tau, on retrouve la trajectoire parabolique + termes perturbatifs :

.

  1. L'hodographe peut se retrouver en polaire via l'équation-Balistique ( bien que cela soit inutilement compliqué ! ) : l'équation est 2-Bernoulli, on prend donc T(A) = g\tau.1/v comme fonction inconnue et l'équation se simplifie : -dT/dA = T. tan(A) +1/cos(A) ( +CI) eq dif linéaire dont la solution est : T(A) = g \tau . 1/v = sin(A) + cos(A) [ (gt/Vo -sin(Ao))/cos(Ao)] : l'hodographe est bien un segment de droite.

courbe de sûreté[modifier | modifier le wikicode]

Elle est beaucoup plus difficile à calculer que dans le cas de Torricelli, mais faisable.

Donnons ici un exemple : la courbe de sûreté dans le cas où la vitesse initiale est est (unités réduites) :

  • Bien sûr, si >> V-limite, on retrouve les résultats de Tartaglia-Ufano, ce qui est assez "intuitif" : la balle va tout droit et "épuise ses forces" : au bout de quelques , elle aura perdu sa vitesse, et elle sera à environ de l'origine ; la gravité deviendra dominante et les conditions initiales marginales : donc tous les mouvements seront ressemblants, à savoir, un "arrondi" puis l'asymptote verticale. La conclusion est donc triviale : la courbe de sûreté ressemble à un demi-cercle poursuivi vers le bas par l'asymptote.


Le cas assez réaliste : résistance en v²[modifier | modifier le wikicode]

  • En fait, en pratique, on recourt à des abaques.

{ L'empirisme le plus total ( ???) montre que la portée est : pour z=0 , x = Portée(k=0)/( k +0.5exp(-2k/3)). (1+ résidu(k)), avec résidu(k)< 0.0025 avec k = (Vo²/V1²) sin (A) . (Cet empirisme des artilleurs est conforté par le fait que le résultat est bon pour k petit et pour k grand?)} : grr... ça fait 5 ans au moins que cette formule traîne, et cela m'agace ...

Cas des balles en rotation[modifier | modifier le wikicode]

Quand une balle est en rotation,liftée ou coupée, c’est-à-dire d'axe de rotation horizontal, perpendiculaire à Vo, alors la traînée et la portance restent dans le plan vertical ( g, Vo): la trajectoire reste plane. Si la balle est brossée vers le bas (rotation sens direct), la balle sera aspirée vers le haut, et si la rotation est très vive, la trajectoire peut même présenter des boucles ! Elle peut même passer derrière le canonnier : expérience de Heim . Si la balle est brossée par le haut, la balle sera par le même effet Magnus aspirée vers le bas. Ces effets sont utilisés au ping-pong, au tennis, au golf. dans le cas des balles de golf, les trous "slazsenger" ont même été brevetés, car ils modifient la portance.

Évidemment, sinon, la trajectoire n'est plus plane : le coup franc "platini" au football le démontre.

Histoire des sciences[modifier | modifier le wikicode]

Il est clair que depuis le temps des frondes, flèches, arbalètes, catapultes, onagres, ballistes, pierrières, trébuchets, scorpions, puis arquebuses, mousquets, canons (Chute de Byzance,1453), la balistique extérieure a suscité de nombreuses recherches.

L'artillerie développe énormément la recherche. Donc en Europe de 1500 à 1638, un effort prodigieux est mené, pour performer l'enseignement d'Aristote. Tartaglia a une solution fausse, mais proche de la réalité avec la notion d'asymptote.

  • Ce sont Galilée et Torricelli qui mettent définitivement en forme le mouvement de chute libre avec lancer, au grand dam des artilleurs : Torricelli a historiquement complètement traité ce problème dans le vide (cf : parabole de sûreté). Mais il savait fort bien que sa description ne s'accordait pas à celle des artificiers (à cause de la résistance de l'air).
  • Il faut attendre Newton pour avoir vraiment le développement de la théorie ; puis Bernoulli pour mettre en forme ce qui sera nommé la balistique extérieure. En particulier pour invalider cette hérésie du calcul de Torricelli qui donnait une portée infinie pour un angle A = -90°.
  • Ensuite, le calcul porte soit sur des améliorations numériques, soit sur des cas d'intégrations spéciaux, œuvres plutôt de mathématiciens : la balistique extérieure a connu son apogée vers les années 1910 ; aujourd'hui, les calculs sont conduits souvent par ordinateur.
  • Néanmoins, l'effort le plus grand aura été opéré par Galilée : cette idée osée d'imaginer la trajectoire dans un fluide évanescent ; d'analyser l'impetus de départ ; de voir qu'il ne s'épuisait jamais ; mais qu'au contraire la chute libre était "composition" des mouvements Vo.t et 1/2 g.t², et que le Vo de départ pouvait être compté comme rien, etc, etc, efforts amplement racontés dans les Dialogues de 1632 et les Discours de 1638.

histoire[modifier | modifier le wikicode]

Tartaglia,Ufano, Blondel, Bernoulli, Euler , , Cranz, , Adhémar, Ansi que Patrick Milligan, Peter Daher, Mathieu Godin des genies en balistique

résistance de l'air en V² , dite quadratique[modifier | modifier le wikicode]

ébauche

{c'est un cas réaliste ; rappelons que en 1D, on a vu : , avec typiquement Cx = 0.5 pour une sphère et 0.05 pour un bon profilé.Dans l'air pour une bille de plomb, H = m/(1/2C_x a S = R .\rho /a . 1/3 .4 = ~10 000 R , si R=1cm, H= 100m, si R= 10cm ( diamètre =20 !), H = 1 km, et 1m, 10 km (mais il faut penser alors, si c'est l'atmosphère, à faire attention à a(z) : en gros, un objet qui tombe ne passe pas mach_1}.

L'équation est :


Elle est plus compliquée que la précédente car les f-inconnues {u= Vx,w = Vy } sont couplées par le terme v = sqrt( u²+w² ). On a introduit les coordonnées réduites. Faire attention à {1 ou -1}

les équations[modifier | modifier le wikicode]

introduire la déclinaison B = Pi/2-A. On a déjà écrit les équations en A , on les réécrit en B :=: phi . On écrit sin(B) = s et cos (B) = c , et Attention : t = tan(B/2) ; la primitive depuis Pi/2 de 2/s^3 est : 2/s^3 = 2c²+2s² / s^3 = 2c²+s² /s^3 +1/s donc primitive = f(B) = - c/s^2 +Log t : elle n'est PAS compliquée , la tracer soigneusement et se familiariser avec elle, car elle va jouer un grand rôle dans la suite des calculs. Bien sûr sa dérivée est 2/s^3 et donc sa pente en Pi/2 ( la vitesse est alors horizontale) vaut 2.

L'équation de l'hodographe s'écrit : du/dB = - u^3/s^3 et donc 1/u² -1/uo² = f(B) - f(Bo) : on introduit un angle fondamental : celui de l'asymptote-backward : soit Bc tel que f(Bc) = f(Bo) -1/uo² ; Bc est donc inférieur à Bo ; et alors 1/u² = [f(B) - f(Bc)] : u ne va cesser de décroître jusqu'à la valeur nulle. On a donc obtenu v(B) = u(B)/sin(B) : c'est à dire l'hodographe en polaire, c'est à dire dS /dB en f de B : c'est la description de la trajectoire en coordonnées intrinsèques de Frenet , donc c'est FINI : il suffit de tracer point par point, à la méthode enfantine, ...en mettant un pied devant l'autre, c'est à dire pour ceux qui ont l'habitude de ce langage, en "tortue-logo".

Hélas, on a pris de très mauvaises habitudes : on VEUT VOIR les équations cartésiennes de la trajectoire, et même le mouvement sur la trajectoire : x=f(t) et y= g(t) ...alors que la description la plus "naturelle", décrire le mouvement s(t), a été oubliée ...

une simplification fortuite : l'abscisse curviligne[modifier | modifier le wikicode]

le chemin parcouru se calcule très bien dans ce cas particulier :

u = Vo. cos(A) . exp(-s/H) : on retrouve cette notion acquise lors du mouvement 1D : l'énergie de départ s'épuise au long du chemin et on aura beau augmenter la charge de poudre, càd Vo, cela ne servira à RIEN : on ira plus vite au lieu-dit, on n'ira pas plus LOIN.

d'où :


  • Il en résulte que :
  • Supposons juste pour "apprivoiser" cette équation qui paraît formidable, de prendre : Vo sin(Bo) >> sqrt(gH) ,alors Bc est voisin de Bo et pratiquement pour un infime déroutement depuis Bo en Bo +(Bo-Bc) = 2Bo-Bc : on a déjà s = cste + 1/2 H . Log (f(B)-f(Bo)) , qui ne dépend plus de Vo sinon par la constante : donc les portions ultérieures sont "identiques", puisque le rayon de courbure sera le même. Donc, on trouve :

sur une certaine portion du trajet, le mobile va quasiment en ligne droite, jusqu'à une abscisse qui croît avec Vo ( ouf ! heureusement) mais seulement comme H . Log Vo.sin(Bo)/sqrt(gH) , puis toutes les portions sont ~identiques. En particulier, le sommet S de la trajectoire est atteint pour B=0 et s vaut : s(Sommet) = s(B=0). En général, le "1" est négligeable, et on retrouve que toutes les portions se ressemblent au-delà du sommet S. En ce point, la courbure vaut 1/R = [f(Pi/2)-f(Bo)]/H = -f(Bo)/H (on peut contrôler bien sûr que en ce point , u²/g = R ), ensuite "en général", R augmente beaucoup et "on" atteint l'asymptote. Les développées de toutes ces courbes se ressemblent ( et penser bien sûr à la développée d'une parabole au voisnage de son apex ) à une petite translation près.

Ainsi, les calculs sont lourds et fastidieux, mais n'apportent pas grand-chose à la description de Tartaglia : si Vo est grand, une grande ligne droite, puis le "cercle" puis l'asymptote : il reste juste à contrôler "visuellement" la taille de ce cercle : la variation de taille est-elle conforme à 1/R = -f(Bo)/ H (à grand Vo): évidemment si on tire avec Bo voisin de Pi/2 ( çàd à l'horizontale) R ~ Vo²/g ! c'est le cas des fusils (souvent, on tire à l'horizontale).

Donc, prudence : il faut moduler ces arguments en fonction de l'angle de tir : sans doute est-il préférable de regarder séparément les multiples facettes de ce double-réseau {Vo et Bo}.

  • On peut préciser :
  • Tartaglia et Ufano : il y a une première partie quasiment rectiligne, jusqu'à l'arrivée au sommet : le trajet a lieu en un temps d'autant plus court que Vo est grande ( cinétique du deuxième ordre , dirait-on en chimie !) : si ts < H/Vo , alors ts ~ Vo/g . Log (1/ tan(Bo/2)) et le trajet parcouru est ~H. Log ( Vo²/gH .Log (1/tan(Bo/2))) soit encore une "belle" séparation du rôle de Vo et de Bo :

Ce qui permet les deux tracés essentiels :

  • ceux à Vo = cste pour trouver la courbe de sûreté : tracer les trois trajectoires à 30°, 45° et 60° est très parlant.
  • ceux à Bo constant et Vo variable : il n'est pas évident que ces courbes ne se coupent pas : encore à déchiffrer.

largage d'une bombe[modifier | modifier le wikicode]

Puis, on reprend l'étude à partir du sommet S et on refait tous les calculs de Charbonnier : c'est le problème du largage d'une bombe.

  • L'asymptote se trouve à Xa tel que :

Cette intégrale n'a absolument rien de très difficile, mais il faut faire ressortir comment intervient le paramètre uo²/gH ; car c'est en gros de cela que va dépendre la taille de la courbe de sûreté.



une trajectoire particulière en détail pour se familiariser[modifier | modifier le wikicode]

prendre B= A = Pi/4 ; Vo = V-limite : oui, ça se calcule bien

courbe de sûreté[modifier | modifier le wikicode]

certes plus compliquée , mais pas le dessin par informatique ; "en gros", on a les mêmes formes en dôme + asymptote. Assez bizarre a priori : la courbe ne "gonfle pas quand Vo augmente" ! Elle est de la taille de H, la longueur caractéristique de la résistance de l'air.

notes[modifier | modifier le wikicode]

ébauche

Notes et références de l'article[modifier | modifier le wikicode]

  1. Ceci ne concerne pas des pans entiers de la balistique extérieure : celle des sports de ballon en particulier. Certes intéressants aussi, mais ... chaque chose en son temps (ici les traités sont déjà assez lourds )

pourquoi ça apparaît en bleu ci-dessus ? je ne maîtrise pas certaines fonctions d'édition ... tant pis ...

Voir aussi[modifier | modifier le wikicode]

Articles connexes[modifier | modifier le wikicode]

Liens et documents externes[modifier | modifier le wikicode]

  • Appell : traité de mécanique rationnelle
  • Whittaker : analytical dynamics
  • traités de balistique de Charbonnier(1921) de Ottenheimer (1929) , d'Adhémar ( mémorial Sc math ,fasc 65), de Carl Cranz, de Moulton.
  • de Mestre a écrit : trajectoire d'un projectile en sport.
  • en Histoire des Sciences : Mach écrit(§19,p145): Saint-Bach(1561); Tartaglia(1537);Rivius(1582); Benedetti; Vailati ;les armes à feu au XIVeme font que la reflexion progresse.Puis Galilée, puis Torricelli plus encore .* Voir aussi Koyré ; +* Maury JP : Mersenne(ed Vuibert 2003).

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