En définissant la suite a n {\displaystyle a_{n}} ainsi : a 0 = 60 11 , a 1 = 11 2 , a n = 111 − 1130 − 3000 a n − 2 a n − 1 {\displaystyle a_{0}={60 \over 11},\,a_{1}={11 \over 2},\,a_{n}=111-{1130-{3000 \over a_{n-2}} \over a_{n-1}}}
alors lim n → ∞ a n = 6 {\displaystyle \lim _{n\rightarrow \infty }a_{n}=6} (essayer des simulations)
Soit:
f K ( α ) = ∑ k = 0 K α 2 k + 1 E ( X 2 k ) , X ∼ N ( 0 , 1 ) {\displaystyle f_{K}(\alpha )=\sum _{k=0}^{K}{\frac {\alpha ^{2k+1}}{\mathbf {E} (X^{2k})}},\,X\sim {N}(0,1)}
Alors f ∞ {\displaystyle f_{\infty }} vérifie l'équation différentielle:
f ∞ ′ ( x ) = 1 + x f ∞ ( x ) {\displaystyle f'_{\infty }(x)=1+x\,f_{\infty }(x)}
et donc:
f ∞ ( x ) = e − x 2 / 2 ( 1 + ∫ − ∞ x e − t 2 / 2 d t ) {\displaystyle f_{\infty }(x)=e^{-x^{2}/2}\left(1+\int _{-\infty }^{x}e^{-t^{2}/2}dt\right)}
ainsi :
(essayer des simulations)
vérifie l'équation différentielle:
