L'énoncé du problème :
Étudions l'intégrale ci dessous en effectuant le changement de variables proposé.
(+2 (3 (3z+2
int( int( int( (8-4y) dx dz dy =
(+0 (2 (3z
Le changement de variables proposé :
w = (z) v = (4y) u = (x-3z)
La solution :
* L'intégrale : f(x,y,z) = (8-4y) La solution : f(X,Y,Z) = (8-v)
(+2 (3 (3z+2 (+8 (3 (2
int( int( int( f(x,y,z) dx dz dy = int( int( int( f(X,Y,Z) |J| du dw dv = 8.000000
(+0 (2 (3z (+0 (2 (0
Remarque :
* Avec le changement de variables proposé, calculons f(X,Y,Z):
w = (z) v = (4y) u = (x-3z)
** Calculons X,Y,Z en fonction de u,v,w
1) w = (z) -> z = (w)
2) v = (4y) -> y = (v/4)
3) u = (x-3z) -> x = (u+3w) voir a)
a) u = (x-3z)-> u = x-3(w)-> u+3w = x-> x = u+3w
Z = (w); Y = (v/4); X = (u+3w);
** Cela donne pour la fonction f :
f(x,y,z)= (8-4y)-> f(X,Y,Z)= (8-4(Y)) = (8-4(v/4)) = (8-v)
Étudions les bornes de la nouvelle intégrale :
Avec : X= (u+3w); Z= (w); Y= (v/4);
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Bornes pour f(x,y,z) | Introduisons (X,Y,Z) | Bornes pour f(X,Y,Z)
x = 3z+2 | (u+3w) = 3(w)+2 (a) | u = +2
x = 3z | (u+3w) = 3(w) (b) | u = 0
z = 3 | (w) = 3 | w = 3
z = 2 | (w) = 2 | w = 2
y = 2 | (v/4) = 2 | v = 8
y = 0 | (v/4) = 0 | v = 0
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(a) (u+3w) = 3(w)+2 -> u+3w = 3w+2 -> u = +2
(b) (u+3w) = 3(w) -> u+3w = 3w -> u = 0
