L'énoncé du problème :
Étudions l'intégrale ci dessous en effectuant le changement de variables proposé.
(+5 (6 (y/3+1
int( int( int( (x+z/5) dx dy dz =
(+0 (0 (y/3
Le changement de variables proposé :
u = (3x-y)/3 v = (y/3) w = (z/5)
La solution :
* L'intégrale : f(x,y,z) = (x+z/5) La solution : f(X,Y,Z) = (u+v+w)
(+5 (6 (y/3+1 (+1 (2. (1
int( int( int( f(x,y,z) dx dy dz = int( int( int( f(X,Y,Z) |J| du dv dw = 60.0000
(+0 (0 (y/3 (+0 (0 (0
Remarque :
* Avec le changement de variables proposé, calculons f(X,Y,Z):
u = (3x-y)/3 v = (y/3) w = (z/5)
** Calculons X,Y,Z en fonction de u,v,w
1) w = z/5 -> z = 5w
2) v = y/3 -> y = 3v
3) u = (3x-y)/3 -> 3u = 3x-3v -> u = x-v -> u+v = x
Z = (5w); Y = (3v); X = (u+v);
** Cela donne pour la fonction f :
f(x,y,z)= (x+z/5)-> f(X,Y,Z)= ((X)+(Z)/5) = (u+v)+(5w)/5 = u+v+w
Étudions les bornes de la nouvelle intégrale :
Avec : X = (u+v); Y = (3v); Z = (5w);
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Bornes pour f(x,y,z) | Introduisons (X,Y,Z) | Bornes pour f(X,Y,Z)
x = (y/3)+1 | (u+v) = ((3v)/3)+1 (b) | u = +1
x = y/3 | (u+v) = (3v)/3 (a) | u = 0
y = 6 | (3v) = 6 | v = 2.
y = 0 | (3v) = 0 | v = 0
z = 5 | (5w) = 5 | w = 1
z = 0 | (5w) = 0 | w = 0
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(a) u+v = (3v)/3 -> u+v = v -> u = 0
(b) u+v = (3v/3)+1 -> u+v = v+1 -> u = +1
