L'énoncé du problème : x- z y -x z- y
Étudions l'intégrale ci dessous en effectuant le changement de variables proposé.
(+5 (6 (x/3+1
int( int( int( (z+y/5) dz dx dy =
(+0 (0 (x/3
Le changement de variables proposé :
u = (3z-x)/3 v = (x/3) w = (y/5)
La solution :
* L'intégrale : f(x,y,z) = (z+y/5) La solution : f(X,Y,Z) = (u+v+w)
(+5 (6 (x/3+1 (+1 (2. (1
int( int( int( f(x,y,z) dz dx dy = int( int( int( f(X,Y,Z) |J| dw du dv = 60.0000
(+0 (0 (x/3 (+0 (0 (0
Remarque :
* Avec le changement de variables proposé, calculons f(X,Y,Z):
u = (3z-x)/3 v = (x/3) w = (y/5)
** Calculons X,Y,Z en fonction de u,v,w
1) w = y/5 -> y = (5w)
2) v = x/3 -> x = (3v)
3) u = (3z-x)/3 -> 3u = 3z-(3v) -> u = z-v -> u+v = z
Y = (5w); X = (3v); Z = (u+v);
** Cela donne pour la fonction f :
f(x,y,z)= (z+y/5)-> f(X,Y,Z)= ((Z)+(Y)/5) = (u+v)+(5w)/5 = u+v+w
Étudions les bornes de la nouvelle intégrale :
Avec : X = (3v); Y = (5w); Z = (u+v);
______________________________________________________________________________
Bornes pour f(x,y,z) | Introduisons (X,Y,Z) | Bornes pour f(X,Y,Z)
z = (x/3)+1 | (u+v) = ((3v)/3)+1 (b) | u = +1
z = x/3 | (u+v) = (3v)/3 (a) | u = 0
x = 6 | (3v) = 6 | v = 2.
x = 0 | (3v) = 0 | v = 0
y = 5 | (5w) = 5 | w = 1
y = 0 | (5w) = 0 | w = 0
______________________________________________________________________________
(b) u+v = (3v/3)+1 -> u+v = v+1 -> u = +1
(a) u+v = (3v)/3 -> u+v = v -> u = 0
