Petite introduction sur les champs de vecteurs:
Nous aurons :
* Des champs de vecteurs 2D. ex: F(x,y) = P(x,y) i + Q(x,y) j
* Des champs de vecteurs 3D. ex: F(x,y,z) = P(x,y,z) i + Q(x,y,z) j + R(x,y,z) k
En calcul vectoriel, un champ vectoriel conservatif (F) est un champ vectoriel,
qui est le gradient d'une fonction (f).
. grad(F) = f
exemple : F(x,y,z) = P(x,y,z) i + Q(x,y,z) j + R(x,y,z) k
F(x,y,z) = f_x i + f_y j + f_z k
Si on nous donne un champ vectoriel conservatif, il va falloir retrouver la fonction (f)
qui est une fonction scalaire et donne le potentiel du champ vectoriel au point (x,y,z).
Nous devrons résoudre ces trois équations différentielles:
* f_x = P(x,y,z) f = int[P(x,y,z)] dx + C(y,z)
* f_y = Q(x,y,z) [int[P(x,y,z)] dx + C(y,z)]_y = Q(x,y,z)
* f_z = R(x,y,z) ...
Remarque:
* Une condition nécessaire pour qu'un champ de vecteurs 2D soit conservatif est:
P_y = Q_x
* Une condition nécessaire pour qu'un champ de vecteurs 3D soit conservatif est:
P_y = Q_x P_z = R_x Q_z = R_y
