Mathc initiation/006e

Application des factorielles sur les coefficients binomials.

En mathématiques, les coefficients binomiaux, ou coefficients du binôme, définis pour tout entier naturel n et tout entier naturel k inférieur ou égal à n, sont des entiers donnant le nombre de parties (ou sous-ensembles, non ordonnés) à k éléments d'un ensemble à n éléments. On les note ${\binom {n}{k}}$ = ${\frac {n!}{k!(n-k)!}}$ — qui se lit « k parmi n » — ou $\textstyle {C_{n}^{k}}$ . la lettre C étant l'initiale du mot « combinaison ».

Rappel: $\textstyle {C_{n}^{k}}$ = ${\binom {n}{k}}$ = ${\frac {n!}{k!(n-k)!}}$

Ex 1: $\textstyle {C_{0}^{0}}$ = ${\binom {0}{0}}$ = ${\frac {0!}{0!(0-0)!}}$ = ${\frac {0!}{0!(0)!}}$ = ${\frac {1}{1(1)}}$ = 1

Ex 2: $\textstyle {C_{n}^{0}}$ = ${\binom {n}{0}}$ = ${\frac {n!}{0!(n-0)!}}$ = ${\frac {n!}{0!(n)!}}$ = ${\frac {n!}{(n)!}}$ = 1

Ex 3: $\textstyle {C_{n}^{n}}$ = ${\binom {n}{n}}$ = ${\frac {n!}{n!(n-n)!}}$ = ${\frac {n!}{n!(0)!}}$ = ${\frac {n!}{(n)!}}$ = 1

Rappel: $\textstyle {C_{n}^{k}}$ = ${\binom {n}{k}}$ = ${\frac {n!}{k!(n-k)!}}$

Ex 1: $\textstyle {C_{n}^{1}}$ = ${\binom {n}{1}}$ = ${\frac {n!}{1!(n-1)!}}$ = ${\frac {(n-1)!.n}{(n-1)!}}$ = n

Ex 2: $\textstyle {C_{n}^{n-1}}$ = ${\binom {n}{(n-1)}}$ = ${\frac {n!}{(n-1)!(n-(n-1))!}}$ = ${\frac {n!}{(n-1)!(1)!}}$ = ${\frac {n!}{(n-1)!}}$ = ${\frac {(n-1)!.n}{(n-1)!}}$ = n

Remarque: ${\binom {n}{1}}$ = ${\binom {n}{n-1}}$

Si on addition les deux valeurs basse : 1 + (n -1 ), on obtient la valeur haute n, cela matérialise la propriété de symétrie.

$1+(n-1)=n$

Rappel: $\textstyle {C_{n}^{k}}$ = ${\binom {n}{k}}$ = ${\frac {n!}{k!(n-k)!}}$

Ex 1: $\textstyle {C_{n}^{n-k}}$ = ${\binom {n}{n-k}}$ = ${\frac {n!}{(n-k)!(n-(n-k))!}}$ = ${\frac {n!}{(n-k)!(k)!}}$ = ${\frac {n!}{k!(n-k)!}}$ = ${\binom {n}{k}}$ = $\textstyle {C_{n}^{k}}$

Remarque: ${\binom {n}{k}}$ = ${\binom {n}{n-k}}$

Si on addition les deux valeurs basse : k + (n -k ), on obtient la valeur haute n, cela matérialise la propriété de symétrie.

$k+(n-k)=n$