Savoirs fondamentaux du programme de MPSI/Mathématiques/Groupes, anneaux, corps

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Sections

1 Groupes
2 Anneaux
- 2.1 Définition
- 2.2 Caractérisation d'un sous-anneau
3 Corps

Groupes[modifier | modifier le wikicode]

Définition[modifier | modifier le wikicode]

Un groupe est un couple $(G,T)$ formé par un ensemble $G$ et une loi $T$ vérifiant :

$T$ est une loi de composition interne sur $G$
$T$ est une loi associative sur $G$
$T$ a un élément neutre dans $G$
Tout élément de $G$ est symétrisable pour la loi $T$

Caractérisation d'un sous-groupe[modifier | modifier le wikicode]

Soit $(G,T)$ $(G,T)$ un groupe. $H$ $H$ est un sous-groupe de $G$ $G$ (pour la loi induite par $T$ $T$ sur $H$ $H$ ) si :
- $\scriptstyle H\subset G$
- $\scriptstyle H\neq \varnothing$
- $\scriptstyle \forall (x,y)\in H^{2},xTy\in H$
- $\scriptstyle \forall x\in H,x^{-1}\in H$
Soit $(G,T)$ $(G,T)$ un groupe. $H$ $H$ est un sous-groupe de $G$ $G$ (pour la loi induite par $T$ $T$ sur $H$ $H$ ) si :
- $\scriptstyle H\subset G$
- $\scriptstyle H\neq \varnothing$
- $\scriptstyle \forall (x,y)\in H^{2},xTy^{-1}\in H$

Homomorphisme de groupes[modifier | modifier le wikicode]

Définitions[modifier | modifier le wikicode]

Soit $(G,T)$ et $(G'T')$ deux sous-groupes. On dit qu'une application $\scriptstyle f:G\rightarrow G'$ est un homomorphisme de groupe si : $\scriptstyle \forall (x,y)\in G^{2}\!,\,f(xTy)=f(x)T'f(y)$ .

Propriétés[modifier | modifier le wikicode]

Anneaux[modifier | modifier le wikicode]

Définition[modifier | modifier le wikicode]

Un anneau est un triplet $(A,+,*)$ où $A$ est un ensemble muni de 2 lois de composition interne vérifiant :

$(A,+)$ a une structure de groupe commutatif (dont l'élément neutre sera noté $0_{A}$ )
une multiplication $*$ $*$ qui est :
- interne
- associative
- à élément neutre noté $1_{A}$ (supposé différent de $0_{A}$ )
- distributive à gauche et à droite par rapport à l'addition : $\scriptstyle \forall (a,b,c)\in A^{3}\!,\,(a+b)*c=a*c+b*c{\text{ et }}c*(a+b)=c*a+c*b$

Caractérisation d'un sous-anneau[modifier | modifier le wikicode]

L'ensemble $B$ $B$ est un sous-anneau de $A$ $A$ (pour les lois induites $+$ $+$ et $*$ $*$ ) si :
- $\scriptstyle B\subset A$
- $\scriptstyle 1_{A}\in B$
- $\scriptstyle \forall (x,y)\in B^{2},x-y\in B$
- $\scriptstyle \forall (x,y)\in B^{2},x*y\in B$