Savoirs fondamentaux du programme de MPSI/Mathématiques/Groupes, anneaux, corps
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Groupes[modifier | modifier le wikicode]
Définition[modifier | modifier le wikicode]
Un groupe est un couple formé par un ensemble et une loi vérifiant :
- est une loi de composition interne sur
- est une loi associative sur
- a un élément neutre dans
- Tout élément de est symétrisable pour la loi
Caractérisation d'un sous-groupe[modifier | modifier le wikicode]
- Soit un groupe. est un sous-groupe de (pour la loi induite par sur ) si :
- Soit un groupe. est un sous-groupe de (pour la loi induite par sur ) si :
Homomorphisme de groupes[modifier | modifier le wikicode]
Définitions[modifier | modifier le wikicode]
- Soit et deux sous-groupes. On dit qu'une application est un homomorphisme de groupe si : .
Propriétés[modifier | modifier le wikicode]
Anneaux[modifier | modifier le wikicode]
Définition[modifier | modifier le wikicode]
Un anneau est un triplet où est un ensemble muni de 2 lois de composition interne vérifiant :
- a une structure de groupe commutatif (dont l'élément neutre sera noté )
- une multiplication qui est :
- interne
- associative
- à élément neutre noté (supposé différent de )
- distributive à gauche et à droite par rapport à l'addition :
Caractérisation d'un sous-anneau[modifier | modifier le wikicode]
- L'ensemble est un sous-anneau de (pour les lois induites et ) si :
Corps[modifier | modifier le wikicode]
Définition[modifier | modifier le wikicode]
Un corps est un anneau commutatif dans lequel tous les éléments autres que sont inversibles pour la loi .
Exemples[modifier | modifier le wikicode]
- , et sont des corps.
Caractérisation d'un sous-corps[modifier | modifier le wikicode]
est un sous-corps de si :