Savoirs fondamentaux du programme de terminale scientifique/Mathématiques/Forme algébrique des nombres complexes

Bases essentielles

• Tout nombre complexe a une écriture unique sous la forme $z=x+iy$ $\scriptstyle (x\in \mathbb {R} \,,\,y\in \mathbb {R} )$.

• $z$ est un imaginaire pur lorsque $\scriptstyle Re(z)\,=\,0$ et $\scriptstyle Im(z)\,\neq \,0$.

• $z+z'=(x+x')+i(y+y')$
  $z-z'=(x-x')+i(y-y')$
  $zz'=(xx'-yy')+i(xy'+x'y)$

• ${\frac {1}{z}}={\frac {x}{x^{2}+y^{2}}}+i{\frac {-y}{x^{2}+y^{2}}}$

• ${\frac {1}{i}}=-i$

• $z=z'\Leftrightarrow \left\{{Re(z)=Re(z') \atop Im(z)=Im(z')}\right.$

Nombre conjugué

• Si $z=x+iy$ $\scriptstyle (x\in \mathbb {R} \,,\,y\in \mathbb {R} )$, alors on appelle conjugué de $z$ le nombre complexe ${\bar {z}}$ tel que ${\bar {z}}=x-iy$

• $Re(z)={\frac {z+{\bar {z}}}{2}}$
  $Im(z)={\frac {z-{\bar {z}}}{2i}}$

• ${\bar {z+z'}}={\bar {z}}+{\bar {z'}}$
  ${\bar {z-z'}}={\bar {z}}-{\bar {z'}}$
  ${\bar {zz'}}={\bar {z}}\cdot {\bar {z'}}$
  ${\bar {z}}^{n}={\bar {z^{n}}}\scriptstyle (\forall n\in \mathbb {N} )$
  ${\overline {\left({\frac {1}{z}}\right)}}={\frac {1}{\bar {z}}}$
  ${\overline {\left({\frac {z'}{z}}\right)}}={\frac {\bar {z'}}{\bar {z}}}$

Interprétation graphique d'un nombre complexe

• Le nombre $z$ associé au point $M$ est appelé affixe de $M$.

• $z_{\vec {AB}}=(x_{B}+iy_{B})-(x_{A}+iy_{A})=z_{B}-z_{A}$

• $|z|={\sqrt {x^{2}+y^{2}}}=OM$
  $|z|$ se lit module de $z$.

• $|z|=|{\bar {z}}|$
  $|z|^{2}=|{\bar {z}}|^{2}=z{\bar {z}}$

• $|zz'|=|z|\times |z'|$
  $|z^{n}|=|z|^{n}\scriptstyle (\forall n\in \mathbb {N} )$

• $|{\frac {z}{z'}}|={\frac {|z|}{|z'|}}$

• $|z+z'|={\sqrt {(x+x')^{2}+(y+y')^{2}}}$
  $|z|+|z'|={\sqrt {x^{2}+y^{2}}}+{\sqrt {x'^{2}+y'^{2}}}$
  $\Rightarrow |z+z'|\neq |z|+|z'|$

• Si $\scriptstyle A(z_{A})$ et $\scriptstyle B(z_{B})$, alors $|z_{B}-z_{A}|=|z_{A}-z_{B}|=AB$

Résolution d'équations du second degré dans C

• ${\sqrt {-\Delta }}$ a un sens dans $\mathbb {C}$

• Si $z$ et $z'sontsolutions$ : $az^{2}+bz+c=a(z-z')(z-z'')$

• $z'z''={\frac {c}{a}}$
  $z'+z''={\frac {-b}{a}}$

• Si $\alpha$ est racine de $P(z)$, alors $P(z)$ se factorise par $(z-\alpha )$