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Savoirs fondamentaux du programme de terminale scientifique/Mathématiques/Produit scalaire - droites et plans de l'espace

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Produit scalaire dans le plan

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  • u→⋅v→=‖u→‖⋅‖v→‖⋅cos(u→;v→)=12[‖u→+v→‖2−‖u→‖2−‖v→‖2]
  • si u→(xy) et v→(x′y′) alors u→⋅v→=xx′+yy′


  • (u→+v→)2=‖u→‖2+2u→⋅v→+‖v→‖2
    (u→−v→)2=‖u→‖2−2u→⋅v→+‖v→‖2
    (u→+v→)⋅(u→−v→)=‖u→‖2−‖v→‖2


  • Distance entre un point et une droite :
    d(A,𝒟)=|axA+byA+c|a2+b2


Rappels dans l'espace

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  • Gbds(A(α),B(β)) alors G(αxA+βxBα+β,αyA+βyBα+β,αzA+βzBα+β)


  • Si u→(α,β,γ) et v→(α′,β′,γ′) sont colinéaires, alors ∃k∈ℝ tq u→=k⋅v→, c'est-à-dire : {α=k⋅α′β=k⋅β′γ=k⋅γ′


  • u→(α,β,γ),v→(α′,β′,γ′),w→(α″,β″,γ″) coplanaires si et seulement si {(u→,v→) non colinéaires∃(λ,μ) tq w→=λu→+μv→


  • si u→=AB→,v→=AC→,w→=AD→:
    u→,v→,w→ coplanaires ⇔A,B,C et D coplanaires


Orthogonalité dans le plan

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  • Une droite 𝒟 est orthogonale à un plan 𝒫 si elle est orthogonale à deux droites sécantes de ce plan.
  • Deux droites de l'espace sont orthogonales si et seulement si leurs parallèles passant par un point commun sont perpendiculaires.
  • Si une droite 𝒟 est orthogonale à un plan 𝒫, alors 𝒟 est orthogonale à toute droite incluse dans 𝒫.
  • Deux plans de l'espace sont perpendiculaires si et seulement si n→ vecteur orthogonal à 𝒫 et n→′ vecteur orthogonal à 𝒫′ sont orthogonaux.
  • Si n→ vecteur orthogonal à 𝒫:ax+by+cz+d=0, alors ‖n→‖=a2+b2+c2


  • Distance d'un point de l'espace à un plan de l'espace :
    d(A(xA,yA,zA),𝒫:ax+by+cz+d=0)=|axA+byA+czA+d|a2+b2+c2


Sphère dans l'espace

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  • M(x,y,z)∈𝒮(Ω,r)⇔ΩM2=r2
  • La sphère de diamètre [AB] est l'ensemble des points de l'espace tel que AM→⋅BM→=0
  • Tout comme la droite, le cercle n'a pas d'équation cartésienne dans l'espace !
  • Si A∈𝒟 et u→(α,β,γ) dirige 𝒟, alors : {x=xA+kαy=yA+kβz=zA+kγ,k∈ℝ est le système paramétrique de 𝒟=(A,u→)
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