Mathématiques avec Python et Ruby/Nombres entiers en Python

Les nombres entiers dans Python

Ainsi, si on entre

a=3
print(type(a))
b=3.14
print(type(b))
c=int(b)
print(c)

on constate que Python sait que a est entier, que b ne l'est pas, et que c peut être entier bien qu'obtenu à partir de b (qui est réel).

Certains calculs devant donner un résultat entier ne le font pas toujours en Python. Par exemple, alors que ${\sqrt {100}}\in \mathbb {N}$, Python considère ce nombre comme un réel (non entier)!

from math import *
a=sqrt(100)
print(a.is_integer())

Opérations

Addition, soustraction et multiplication

Les trois premières opérations se notent avec les symboles +, - et * comme dans la plupart des langages de programmation. La somme, la différence et le produit de deux entiers (ou plus) sont des entiers (relatifs):

a=5
b=-8
print(a+b)
print(a-b)
print(a*b)

La tortue

On peut représenter l'addition par des mouvements successifs de la tortue. Pour cela il faut bien entendu importer le module turtle. Après ça pour additionner 55 et 34, on peut faire avancer la tortue successivement de 55 pixels puis 34 pixels, et regarder où elle est:

from turtle import *
forward(55)
forward(34)
print(position())

Pour soustraire le deuxième nombre au lieu de l'additionner, il suffit de faire reculer la tortue au lieu de la faire avancer; et ça marche même avec des nombres négatifs:

from turtle import *
forward(55)
backward(34)
print(position())

Divisions

Il y a deux sortes de divisions d'entiers en Python: Le quotient euclidien, qui est un entier, et le quotient exact, qui est une fraction (pour Python, un réel):

Quotients

Dans les anciennes versions de Python, le script suivant

a=3
b=2
print(a/b)

affichait 1 au lieu de 1.5, parce que pour Python, comme a et b sont entiers, leur quotient était logiquement euclidien. Ceci a changé, maintenant le script ci-dessus produit bien 1.5; mais du coup, si par hasard on voulait quand même calculer une division euclidienne avec Python? Et bien dans ce cas il faudrait dédoubler le slash qui code la division:

a=3
b=2
print(a//b)

Ce peut être utile parce que même en divisant 4 par 2, le résultat est un réel non entier, alors que la division euclidienne produit bien le nombre entier 2.

Reste euclidien

Le reste de la division euclidienne de 13 par 8 est 5. Pour le calculer, on utilise l'opérateur infixé %:

a=13
b=8
print(a%b)

Cette opération permet de travailler sur les congruences. Remarque: Si b=0, on a le même message d'erreur que lorsqu'on divise par 0.

Divisibilité

Deux entiers quelconques ont un pgcd. En Python, on l'obtient avec gcd. Mais cette fonction ne se trouve pas par défaut dans Python; elle se trouve dans le fichier fractions.py, dont on peut importer la totalité des objets par from fractions import *:

a=13572468
b=12345678
print(gcd(a,b))

Comme Python est libre, on peut consulter le source de fractions.py, où on trouve ceci:

def gcd(a, b):
    while b:
        a, b = b, a%b
    return a

On reconnaît (d'autant plus aisément que le langage est concis) l'algorithme d'Euclide.

Puissances

Beaucoup de langages de programmation utilisent le chapeau pour représenter les puissances. Pas Python pour qui le chapeau est déjà pris par une autre opération (le ou exclusif bit à bit). Alors c'est l'astérisque de la multiplication qui est utilisé pour les puissances, mais en le dédoublant:

a=4
b=2
print(a**b)
print(b**a)

Remarque: Si l'exposant est négatif ou non entier, le résultat est un réel. En particulier, les deux opérations ci-dessous ont le même effet:

print(100**0.5)


from math import *
print(sqrt(100))

Priorités opératoires

En Python comme en algèbre, on effectue dans l'ordre

1. Les parenthèses
2. Les fonctions (comme l'élévation à une puissance)
3. Les multiplications et divisions
4. Les additions et soustractions.

Ainsi

print(2+3*5)

affiche 17 et non 25: Les opérations ne sont pas effectuées de gauche à droite, mais en suivant les priorités opératoires.

Itérateurs

Un itérateur de Python est une liste d'entiers. Par exemple, la liste 10, 13, 16, 19, 22, 25 (allant de 3 en 3, de 10 jusqu'à 25) s'appelle range(10,26,3). On peut abréger les itérateurs en omettant le troisième argument (par défaut 1) voire le premier (par défaut 0). Ainsi range(5) contient les entiers 0, 1, 2, 3 et 4 (0 compris, 5 non compris, ce sont donc bien les 5 premiers entiers naturels).

Lorsqu'on lance un dé, le résultat obtenu peut être 1, 2, 3, 4, 5 ou 6. Il peut donc être décrit par range(1,7). Pour vérifier que l'évènement "le dé tombe sur 3" est possible alors que l'évènement "le dé tombe sur 7" est impossible, on peut faire

dice=range(1,7)
print(3 in dice)
print(7 in dice)