Approfondissements de lycée/SE Infini et processus infinis

Infini et processus infinis

Ces solutions n'ont pas été écrites par l'auteur du reste de ce livre. Ce sont simplement les réponses que je pense être correctes pendant que je faisais les exercices. J'espère que ces réponses sont utiles pour quelqu'un et que mon travail sera corrigé s'il contient des fautes.

Quel est la taille de l'infini ? exercices

1. Le nombre de nombres pairs est le même que le nombres de nombres naturels parcequ'ils sont tous les deux infinis dénombrables. Vous pouvez voir la bijection. (P veut dire nombres Pairs et N veut dire nombres naturels)

P   N

2   1

4   2

6   3

8   4

2. Le nombre de nombres carrés est aussi égal au nombre de nombres naturels. Ils sont tous les deux infinis dénombrables et peuvent être mis en bijection. (C veut dire nombres Carrés et N veut dire nombres Naturels)

C   N

1   1

4   2

9   3

16   4

3. Le cardinal des nombres pairs inférieurs à 100 n'est pas égal au cardinal des nombres naturels inférieurs à 100. Vous pouvez simplement écrire les deux et compter les nombres. Alors, vous verrez que le cardinal des nombres pairs inférieurs à 100 est 49 et que le cardinal des nombres naturels inférieurs à 100 est 99. Ainsi, l'ensemble des nombres naturels inférieur à 100 est plus grand que l'ensemble des nombres pairs inférieurs à 100. La grande différence entre ensembles finis et infinis est qu'un ensemble fini ne peut pas être mis en bijection avec n'importe lequel de ses sous-ensembles. Alors qu'un ensemble infini peut être mis en bijection avec au moins un de ses sous-ensembles.
4. Each part of the sum is answered below

infinity + 1 = infinity

You can prove this by taking a set with a cardinality of 1, for example a set consisting only of the number 0. You simply add this set in front of the countably infinite set to put the infinite set and the inifinite+1 set into one to one correspondence.

N   N+1

1   0

2   1

3   2

4   3

infinity + A = infinity (where A is a finite set)

You simply add the finite set in front of the infinite set like above, only the finite set doesn't need to have a cardinality of one anymore.

infinity + C = infinity (where C is a countably infinite set)

You take one item of each set (infinity or C) in turns, this will make the new list also countably infinite.

Is the set of rational numbers bigger than N? exercises

1. To change the matrix from Q' to Q the first step you need to take is to remove the multiple entries for the same number. You can do this by leaving an empty space in the table when gcd(topnr,bottomnr)≠1 because when the gcd isn't 1 the fraction can be simplified by dividing the top and bottom number by the gcd. This will leave you with the following table.

${\begin{matrix}{\frac {1}{1}}&{\frac {1}{2}}&{\frac {1}{3}}&\cdots \\&&\\{\frac {2}{1}}&&{\frac {2}{3}}&\cdots \\&&\\{\frac {3}{1}}&{\frac {3}{2}}&&\cdots \\\vdots &\vdots &\vdots &\ddots \end{matrix}}$

Now we only need to add zero to the matrix and we're finished. So we add a vertical row for zero and only write the topmost element in it (0/1) (taking gcd doesn't work here because gcd(0,a)=a) This leaves us with the following table where we have to count all fractions in the diagonal rows to see that Q is countably infinite.

${\begin{matrix}{\frac {0}{1}}&{\frac {1}{1}}&{\frac {1}{2}}&{\frac {1}{3}}&\cdots \\&&\\&{\frac {2}{1}}&&{\frac {2}{3}}&\cdots \\&&\\&{\frac {3}{1}}&{\frac {3}{2}}&&\cdots \\\vdots &\vdots &\vdots &\vdots &\ddots \end{matrix}}$

2. To show that $\infty \times \infty =\infty$ you have to make a table where you put one infinity in the horizontal row and one infinity in the vertical row. Now you can start counting the number of place in the table diagonally just like Q' was counted. This works because a table of size AxB contains A*B places.

Are there even bigger infinities? exercises

1. You have to use a method to map the coordinates in a plain onto a point on the line and the other way around, like the one described in the text. This method shows you that for every number on the line there is a place on the plain and for every place on the plain there is a place on the line. Thus the number of points on the line and the plain are the same.

Limits Infinity got rid of exercises

1. $\lim _{x\to \infty }{\frac {3x^{2}-4}{2x^{2}+x}}=\lim _{x\to \infty }({\frac {3x^{2}}{2x^{2}+x}}-{\frac {4}{2x^{2}+x}})=\lim _{x\to \infty }{\frac {3x^{2}}{2x^{2}+x}}={\frac {3}{2}}$
2. $\lim _{x\to \infty }{\frac {x^{2}-1}{2x^{3}+3}}=0$
3. $\lim _{x\to \infty }{\frac {cosx}{x^{2}}}=\lim _{x\to \infty }{\frac {1}{x^{2}}}cosx=0$
4. $\lim _{x\to \infty }(2x^{2}-x^{4})=\lim _{x\to \infty }x^{2}\times (2-x^{2})=-\infty$