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corrections supplémentaires (ortho, grammaire, quelques précisions)
(corrections supplémentaires (ortho, grammaire, quelques précisions))
==Effectuer des calculs==
 
=== Comprendre la notionsnotion d'ensemble ===
Les ensembles sont des regroupementregroupements de nombres qui ont une caractéristique commune. Pour différencier les différents types de nombres (ouet donc pouvoir les classer dans des ensembles), on a recourtrecours à des définitions.
 
Un '''ensemble''' est défini par une ''règle'' qui permet de dire, lorsque l'on a un nombre en tête, si ce nombre ''appartient'' ou n'''appartient pas'' à cet ensemble. De même, dans l'autre sens, cette règle permet de décrire ''tous'' les nombres qui le composecomposent.
 
Enfin, les mathématiciens, pour gagner du temps lorsqu'ils écrivent leurs équations, ont inventé un système d'écriture spécifique à la désignation des ensembles.
* Enfin, le symbole <math>\mathbb{N}</math> est le symbole qui représente cet ensemble des entiers naturels dans les équations mathématiques.
 
A propos des règles : il est important de comprendre, comme dans cet exemple, que les définitions ont souvent des implications cachées : le terme de ''nombres entiers'' excluexclut donc les nombres à virgule. lL'expression ''positifs obtenus en comptant à partir de 0'' excluexclut donc les nombre négatifs. Une règle des règles est la suivante : '''tout nombre qui n'a pas été ''explicitement'' incluinclus dans l'ensemble ''est donc exclu'' de cet ensemble'''.
 
=== Quelques ensembles à connaître ===
 
==== Pour aller plus loin ====
L'ensemble des réels n'est pas "le plus grand ensemble qui puisse exister". Les mathématiciens ont inventésinventé desde nouveaux types de nombres qui ne ''peuvent plus'' être représenté physiquement. Ce sont par exemple les ''nombres imaginaires'', avec leur notation d'ensemble <math>\mathbb{C}</math>.
 
Ces types de nombrenombres sont uniquement utilisés dans des calculs (très) complexes ou la représentation mathématique des nombres est plus simple avec des nombres imaginaires qu'avec des nombres réels (c'est à dire que les écritures mathématiques sont plus simples en utilisant des nombres provenant de "l'ensemble des nombres imaginaires" qu'en utilisant des nombres provenant de l'"ensemble des nombres réels").
 
D'autre part, en Mathématique, la notion d'ensemble n'est pas d'habitude restreinte à celle d'ensemble de nombres. Les "ensembles" manipulés par les mathématiciens peuvent être des collections d'objets quelconques : ensembles de nombres, mais aussi ensembles de fonctions, ensembles d'ensembles, etc.
 
==== Exercices ====
==== Théorème ====
 
Pour savoir si un entier N est premier, onil testesuffit de tester sa divisibilité par tous les nombres premiers inférieurs dont le carré est inférieur à N (notez que tous ces nombres sont inférieurs à N). Si aucun de ces nombres premiers ne divisentdivise N, alors N est premier, sinon N n'est pas premier.
 
==== Prouver qu'un nombre est premier ====
La fraction a / b est composée d'un numérateur (a) et d'un dénominateur (b).
 
laLa règle d'addition et de soustraction des fractions n'est applicable que si les deux fractions possèdent le même dénominateur. Or, ceci ne sera généralement pas le cas. Il faudra alors réécrire les fractions en fractions équivalentes ayant un dénominateur commun.
 
Pour soustraire des fractions : on les réduit au même dénominateur (1) , puis on retranche le numérateur de la plus petite (2) du numérateur de la plus grande (3) , et on donne au reste (4) pour dénominateur, le dénominateur commun (5).
 
'''Règle de base''' : On ne peut ajouter ou soustraire que des fractions qui ont LE MÊME
'''RAPPEL:'''
 
''UneUn nombre écrit en notation scientifique s'est écrit sous la forme'' : <math>a\times10^p</math> où :<br />
<math>a</math>: entiernombre relatifdécimal compris entre 1-10 inclusexclu et 10 non inclusexclu<br />
<math>p</math>: entier relatif
 
'''ATTENTION !!''' :{{Rouge|'''p''' est l'exposant de 10 et on le lit "10 puissance '''p'''". Ce nombre '''ne doit pas''' admettre de chiffres après la virgule c'est-à-dire le nombre 4.,56 par exemple ! Il doit impérativement être entier (comme 1,2,3,4,5...)}}
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{{Vert|'''METTRE UN NOMBRE QUELCONQUE EN NOTATION SCIENTIFIQUE'''}}
Nous allons mettre un nombre quelconque donné, en notation scientifique. Il n'y a rien de dur :
''On vas mettre le nombre'' '''420 000''' ''en notation scientifique''.
(Il faut connaitre comment marchent les puissances de 10 pour réussir à mettre un nombre en notation scientifique !)
 
Nous allons voir, à partir d'exemples, comment mettre un nombre quelconque donné, en notation scientifique. Il n'y a rien de dur :difficile,
(Ilmais il faut connaitresavoir comment marchent les puissances de 10 pour réussir à mettre un nombre en notationcomprendre scientifiqueces !)exemples.
{{Début cadre|vert}}
Pour mettreécrire le nombre '''<math>420 \,000'''</math> en notation scientifique, il fautsuffit appliquerde latrouver propriété quile <math>a</math> étéet énoncéele juste<math>p</math> aucomme ci-dessus, c'est-à-diretels :que l'''aon Xait 10<supmath>420\,000 = a \times 10^p</sup>'''<br/math>
 
Donc nous devons déjà trouver le '''a''' qui doit etre compris entre 1 et 10. Dans notre cas sa va être le premier chiffre en partant de la gauche c'est-à-dire '''4'''. N'oubliez pas aussi qu'il y a le '''2''' qu'on vas mettre après une virgule.. Donc nous avons pour le '''a''' : '''4,2'''.<br/>
Le <math>a</math> doit être compris entre <math>1</math> et <math>10</math> : ce sera le nombre obtenu en insérant, dans le nombre initial, une virgule immédiatement après le premier chiffre. On obtient <math>a = 4,20000</math>. L'écriture de <math>a</math> peut bien sûr être simplifiée en éliminant tous les zéros à la fin de sa partie décimale : on a <math>a = 4,20000 = 4,2</math>. Reste à trouver <math>p</math> : sa valeur est le nombre de chiffres du nombre initial, moins un. Dans notre exemple, <math>420\,000</math> contient <math>6</math> chiffres, donc <math>p = 5</math>.
Evitez à tout prix de mettre des zéros à la place de '''a''' !
 
Maintenant nous allons mettre la puissance de 10 pour que notre forme convienne au nombre de l'énoncé.<br/>
'''DONC laLa notation scientifique de <math>420 \,000</math> est donc <math>4,2 X\times 10<sup>^5</supmath>'''.
Dans notre cas nous allons faire pas à pas la manière.<br/>
 
Dans le nombre '''420 000''' nous avons déjà donné la valeur de '''a''' qui est : '''4,2'''. Nous allons donc déplacer la virgule en démarrant de '''4,2''' de sorte qu'elle se trouve à l'endroit où nous auront le nombre '''420 000'''.<br/>
On peut vérifier que cette méthode est correcte, c'est-à-dire qu'on a bien <math>420\,000 = 4,2 \times 10^5</math>, par le calcul suivant :
Pour cela nous allons compter le nombre de fois qu'on la déplace et nous allons reporter le chiffre à la place de '''p'''.
 
DANS NOTRE CAS : nous avons déplacé 5 fois la virgule.
<math>4,2 \times 10^5 = (4,2 \times 10) \times 10^4 = 42 \times 10^4 </math>
'''DONC la notation scientifique de 420 000 est 4,2 X 10<sup>5</sup>'''
 
<math>42 \times 10^4 = (42 \times 10) \times 10^3 = 420 \times 10^3</math>
 
<math>420 \times 10^3 = (420 \times 10) \times 10^2 = 4\,200 \times 10^2</math>
 
<math>4\,200 \times 10^2 = (4200 \times 10) \times 10^1 = 42\,000 \times 10^1 = 42\,000 \times 10 = 420\,000 </math>
{{Fin cadre}}
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==== Notion de Chiffres Significatifs ====
 
La notion de chiffres significatifs est liée à la précision concernant des mesures physiques. En effet, lorsque par exemple on mesure expérimentalement une distance à l'aide d'une règle graduée on est capable de donner la distance au millimetremillimètre près mais rarement mieux. On ne peut donc rien affirmer concernant les µm (<math>10^{-6}</math> m) et encore moins les nm (<math>10^{-9}</math> m). Il existe donc une incertitude concernant notre mesure. <br />
La notion de chiffres significatifs permet de mieux coller à la réalité physique de notre monde, c'est pourquoi on l'utilise en physique-chimie. <br />
Le nombre de chiffres que comporte un nombre (excepté les "0" au tout début du nombre) correspond aux nombres de chiffres significatifs de ce nombre.
==== Application à la physique de la Notion de Chiffres Significatifs ====
 
Partons d'un simple cube de 10cm de côté dont on veuxsouhaite vérifiermesurer la bonne côtetaille.
 
En mathématique, un cube de 10 cm de coté est un cube dont le coté mesure exactement 10 cm. C'est un concept, c'est à dire qu'il n'a pas d'existence physique en tant que tel. Donc le cube de 10 cm a bien 10 cm de côté, avec une précision infinie, puisque virtuelle.
 
En physique, c'est autre chose : le cube existe réellement, et il faut le mesurer. Dire d'un cube qu'il fait 10 cm de coté n'a (presque) pas de sens si on ne défini pas ''l'échelle de mesure'', de laquelle on déduit ''les chiffres significatifs''.
 
En mathématique, on peut définir un cube de"idéal" ayant exactement 10 cm de coté. est unCe cube dont le coté mesure exactement 10 cm. C'est un concept, c'est à dire qu'il n'a pas d'existence physique en tant que tel. Donc leUn cube dedéfini comme ayant 10 cm de côté a bien 10 cm de côté, avec une précision infinie, puisque virtuelle.
Imaginons qu'on mesure ce cube avec un microscope électronique (précis au minimum au µm (<math>10^{-6}</math> m)). Si l'on dit, grâce à la mesure au microscope électronique, que le cube fait 10cm de côté, en réalité, on déclare implicitement : "Le cube que nous avons mesuré a une longueur de côté comprise entre 10cm - 0,000001m et 10cm + 0,000001m, c'est à dire entre 9.9999cm et 10.0001cm".
 
En physique, c'est autre chose : le cube existe réellement, et il faut le mesurer. Dire d'unque le cube qu'il fait 10 cm de coté n'a (presque) pas de sens si on ne définidéfinit pas ''l'échelle de mesure'', de laquelle on déduit ''les chiffres significatifs''.
Si l'on mesure ce même cube avec une règle d'écolier, et qu'on déclare "Le cube fait 10cm de côté", on est exact uniquement à l'unité de mesure de notre règle... Donc beaucoup moins précis qu'avec un microscope électronique. On déclare en fait implicitement "Le cube que nous avons mesuré a une longueur de côté comprise entre 10cm - 1mm et 10cm + 1mm, c'est à dire entre 9.9cm et 10.1cm". C'"est déjà nettement moins précis, mais cependant suffisant dans la plupart des cas.
 
SiImaginons que l'on mesure maintenant ce même cube (décidément !) avec uneun vieillemicroscope règleélectronique usée,(précis dontau onminimum n'arriveau plusµm à(<math>10^{-6}</math> lire les petites graduations, mais uniquement les cmm)). Si l'on déclaredit, uneaprès foiscette encoremesure, "Leque le cube fait 10cm de côté", onen estréalité, exact uniquement au cm ! Onon déclare doncimplicitement cette fois implicitement: "Le cube que nous avons mesuré a une longueur de côté comprise entre 10cm - 1cm0,000001m et 10cm + 1cm0,000001m, c'est à dire entre 9 cm.9999cm et 11 cm10.0001cm". Dans ce cas, la précision est à priori insuffisante.
 
Si l'on mesure ce même cube avec une règle d'écolier, et quque l'on déclare "Le cube fait 10cm de côté", on est exact uniquement à l'unité de mesure de notre règle... Donc beaucoup moins précis qu'avec un microscope électronique. On déclare en fait implicitement "Le cube que nous avons mesuré a une longueur de côté comprise entre 10cm - 1mm et 10cm + 1mm, c'est à dire entre 9.9cm et 10.1cm". C'"est déjà nettement moins précis, mais cependant suffisant cependant dans la plupart des cas.
On voit bien à travers cet exemple du cube de 10 cm de côté que définir la longueur théorique (mathématique), la longueur 'aussi précise que possible' (avec le microscope électronique), la longueur 'en pratique' (avec la règle d'écolier) est en réalité intrinsèquement lié au mode de mesure.
 
Si l'on mesure maintenant ce même cube (décidément !) avec une vieille règle usée, dont on n'arrive plus à lire les petites graduations, mais uniquement les cm. Si l'on déclare une fois encore "Le cube fait 10cm de côté", on est exact uniquement au cm près ! On déclare donc cette fois implicitement "Le cube que nous avons mesuré a une longueur de côté comprise entre 10cm - 1cm et 10cm + 1cm, c'est à dire entre 9 cm et 11 cm". Dans ce cas, la précision est à priori insuffisante.
 
On voit bien à travers cetces exempleexemples duque cubela notion de 10longueur cmest en réalité intrinsèquement liée au mode de côtémesure. queOn définirpeu laparler de longueur théorique (mathématique), lade longueur 'aussi précise que possible' (avec le microscope électronique), lade longueur 'en pratique' (avec la règle d'écolier). est en réalité intrinsèquement lié au mode de mesure.
 
==== Application de cet exemple de Notion de Chiffres Significatifs aux calculatrices ====
 
Imaginons que pour calculer cela taille du côté du cube, vous ayez utilisé votre calculatrice. Elle vous affiche le résultat : <code>10.00192</code>. Quelle est la bonne valeur ? "10 cm" ? "10.001 cm" ? "10.00192 cm" ?
 
Aucune de ces trois valeurs n'est ''la bonne valeur'' ! Cela dépend entièrement du contexte dans lequel vous avez fait ce calcul. Mais avec un peu de bon sens, vous pourrez deviner que la longueur d'un cube qui sert de cale pour un meuble dans votre salon pourra être écrite sous la forme "10 cm" (une précision supplémentaire est totalement inutile, et irréalisable), alors qu'une pièce cubique qui est le composant essentiel d'un avion pour transmettre correctement les efforts devra être fabriqué avec une tolérance très faible, donc dans ce cas la ''bonne'' valeur sera "10.00192 cm".
 
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