« Mathématiques niveau seconde/Calculs » : différence entre les versions

Aller à la navigation Aller à la recherche
derniers cas de la mise en notation scientifique
(→‎La notation scientifique : compléments (reste à rédiger le cas -1 < n < 1, et enfin la méthode générale))
(derniers cas de la mise en notation scientifique)
 
Nous allons voir, à partir d'exemples, comment mettre un nombre en notation scientifique. Il n'y a rien de difficile,
mais il faut savoir comment marchent les puissances de 10 pour comprendre cescette exemplesméthode.
{{Début cadre|vert}}
PrenonsLe cas le casplus simple est celui où le nombre està unmettre nombreen entiernotation àscientifique auest moinscompris deuxentre chiffres.-10 Pourexclu écrireet 10 exclu, par exemple le nombre <math>420\7,0000125</math>. enOn notationcherche scientifique,donc ilun suffit denombre trouver ledécimal <math>a</math> compris entre -10 exclu et le10 exclu, et un entier relatif <math>p</math> comme ci-dessus, tels que l'on ait <math>420\7,0000125 = a \times 10^p</math>. Le <math>a</math> cherché n'est rien d'autre que le nombre lui-même, avec <math>p = 0</math>. On a bien :
 
<math>7,0125 \times 10^0= 7,0125 \times 1 = 7,0125</math>
Le <math>a</math> doit être compris entre <math>1</math> et <math>10</math> : ce sera le nombre obtenu en insérant, dans le nombre initial, une virgule immédiatement après le premier chiffre. On obtient <math>a = 4,20000</math>. L'écriture de <math>a</math> peut bien sûr être simplifiée en éliminant tous les zéros à la fin de sa partie décimale : on a <math>a = 4,20000 = 4,2</math>. Reste à trouver <math>p</math> : sa valeur est le nombre de chiffres du nombre initial, moins un. Dans notre exemple, <math>420\,000</math> contient <math>6</math> chiffres, donc <math>p = 5</math>.
 
LaLe nombre <math>7,0125</math> s'écrit donc en notation scientifique de <math>420\7,0000125 \times 10^0</math>, estle doncnombre <math>4-7,20125</math> s'écrit <math>-7,0125 \times 10^50</math>, etc.
{{Fin cadre}}
{{Début cadre|vert}}
Prenons le cas où le nombre de départ est un entier relatif à au moins deux chiffres, par exemple <math>420\,000</math>. On cherche <math>a</math> et <math>p</math> comme ci-dessus, tels que <math>420\,000 = a \times 10^p</math>
 
Le <math>a</math> doit être compris entre <math>1-10</math> exclu et <math>10</math> exclu : ce sera le nombre obtenu en insérant, dans le nombre initial, une virgule immédiatement après leson premier chiffre. On obtient <math>a = 4,20000</math>. L'écriture de <math>a</math> peut bien sûr être simplifiée en éliminant tous les zéros àqui la fin determinent sa partie décimale : on a <math>a = 4,20000 = 4,2</math>. Reste à trouver <math>p</math> : sa valeur est le nombre de chiffres du nombre initial, moins un. Dans notre exemple, <math>420\,000</math> contient <math>6</math> chiffres, donc <math>p = 5</math>.
 
Le nombre <math>420\,000</math> s'écrit donc, en notation scientfique, <math>4,2 \times 10^5</math>.
 
On peut vérifier que cette méthode est correcte, c'est-à-dire qu'on a bien <math>420\,000 = 4,2 \times 10^5</math>, par le calcul suivant :
<math>4\,200 \times 10^2 = (4200 \times 10) \times 10^1 = 42\,000 \times 10^1 = 42\,000 \times 10 = 420\,000 </math>
 
Dans le cas où le nombre entierde à traiterdépart est un entier négatif, il n'y a rien de plus à faire : le signe moins est simplement reporté dans <math>a</math> : <math>-420\,000 = -4,2 \times 10^5</math>.
{{Fin cadre}}
{{Début cadre|vert}}
Prenons à présent le cas où le nombre est un nombre décimal plus grand que 10 ou plus petit que -10, par exemple <math>420,125</math>. Là encore, on cherche <math>a</math> et <math>p</math> tels que <math>420,125 = a \times 10^p</math>
 
Le <math>a</math> sera cette fois le nombre obtenu en déplaçant la virgule du nombre vers la gauche, en la plaçant immédiatement après son premier chiffre. On obtient <math>a = 4,20125</math>. La valeur de <math>p</math> est alors le nombre de chiffres entre la nouvelle position de la virgule et l'ancienne. Dans notre exemple, on passe de <math>420,125</math> à <math>4,20125</math> en déplaçant la virgule de deux chiffres vers la gauche, donc <math>p = 2</math>.
 
En notation scientifique, <math>420,125</math> s'écrit donc <math>4,20125 \times 10^2</math>.
 
La encore, on peut vérifier que cette méthode est correcte, c'est-à-dire qu'on a bien <math>420,009125 = 4,2000920125 \times 10^2</math>, par le calcul suivant :
 
<math>4,20125 \times 10^2 = (4,20125 \times 10) \times 10^1 = 42,0125 \times 10^1 </math>
 
<math>42,0125 \times 10^1 = 42,0125 \times 10 = 420,125</math>
 
Dans le cas où le nombre à traiter est négatif, le signe moins est encoreà nouveau reporté dans <math>a</math> : <math>-420,009125 = -4,2000920125 \times 10^2</math>. Noter que cette méthode peut être adaptée au cas précédentd'un nombre entier : pour écrire par exemple <math>420\,000</math> en notation scientifique, il suffit de l'appliquer à <math>420\,000,0</math>. On obtient <math>a = 4,200000</math>, <math>p = 5</math>, et l'écriture de <math>a</math> se simplifie en <math>4,2</math>
{{Fin cadre}}
{{Début cadre|vert}}
PrenonsLe ledernier cas possible est celui où le nombre de départ est un nombre décimal pluscompris grandentre que-1 10et 1 exclus, par exemple <math>4200,00900125</math>. On encore,cherche onà doit trouvernouveau <math>a</math> et le <math>p</math> tels que <math>4200,00900125 = a \times 10^p</math>
 
Le <math>a</math> sera cette fois le nombre obtenu en déplaçant la virgule du nombre de départ vers la gauche''droite'', en la plaçant immédiatement après le premier chiffre différent de zéro, et en oubliant tous les zéros qui précèdent ce chiffre. On obtient <math>a = 41,2000925</math>. La valeur de <math>p</math> est alors le''l'opposé'' du nombre de chiffres entre la nouvelle position de la virgule et l'ancienne (le même nombre, mais précédé d'un signe moins). Dans notre exemple, on passe de <math>4200,00900125</math> à <math>41,2000925</math>, c'est-à-dire en déplaçant la virgule de deuxtrois chiffres vers la gauchedroite, donc <math>p = 2-3</math>.
 
LaEn notation scientifique de, <math>4200,00900125</math> ests'écrit donc <math>41,2000925 \times 10^2{-3}</math>. On a bien <math>0,00125 = 1,25 \times 10^{-3}</math>, comme le montre le calcul suivant :
 
<math>1,25 \times 10^{-3} = (1,25 \times 10^{-1}) \times 10^{-2} = 0,125 \times 10^{-2} </math>
La encore, on peut vérifier que cette méthode est correcte, c'est-à-dire qu'on a bien <math>420,009 = 4,20009 \times 10^2</math>, par le calcul suivant :
 
<math>40,20009125 \times 10^{-2} = (40,20009125 \times 10^{-1}) \times 10^{-1} = 420,00090125 \times 10^{-1 }</math>
 
<math>420,00090125 \times 10^{-1} = 420,0009 \times 10 = 420,000900125</math>
 
Si le nombre à traiter est négatif, son signe moins est reporté dans <math>a</math>.
Dans le cas où le nombre à traiter est négatif, le signe moins est encore reporté dans <math>a</math> : <math>-420,009 = -4,20009 \times 10^2</math>. Noter que cette méthode peut être adaptée au cas précédent : pour écrire par exemple <math>420\,000</math> en notation scientifique, il suffit de l'appliquer à <math>420\,000,0</math>. On obtient <math>a = 4,200000</math>, <math>p = 5</math>, et l'écriture de <math>a</math> se simplifie en <math>4,2</math>
{{Fin cadre}}
----
Utilisateur anonyme

Menu de navigation