« Électrocinétique » : différence entre les versions

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On shunte AD par une électrode , de même BC : la résistance R entre les deux électrodes est évidemment : R = (2n+1)r /(2n+1) = r .
On shunte AD par une électrode , de même BC : la résistance R entre les deux électrodes est évidemment : R = (2n+1)r /(2n+1) = r .
On supprime la résistance horizontale centrale : la résistance augmente évidemment ; de combien ?
On supprime la résistance horizontale centrale : la résistance augmente évidemment ; de combien ?
[Commencer modestement par n=1 : ; Puis par n très grand (méthode de perturbation):r(1 + 2/n²)]
[Commencer modestement par n=1 : ; Puis par n très grand (méthode de perturbation):r(1 + 2/n²) ; indication dans le chapitre "dualité"]


==Problème des n petits carrés en ligne(** assez difficile)==
==Problème des n petits carrés en ligne(** assez difficile)==

Version du 25 septembre 2009 à 08:34

Introduction

Notations utilisées

Sauf précisions, on utilisera les notations conventionnelles suivantes :

  • Minuscules : u, i, p, … ou , , , ... : grandeurs fonctions du temps, en remplacement de u(t), i(t), p(t), …
  • MAJUSCULES : U, I, Umoy, … ou , , , ...: grandeurs indépendantes du temps.
  • Caractères soulignés : U, I, Z, … ou , , , ... grandeurs complexes associées à des grandeurs sinusoïdales.
  • Caractères fléchés : , , ... grandeurs vectorielles.

Définitions

Courant.

Définition.

Un courant électrique est une circulation de porteurs de charges électriques. L'intensité du courant électrique est la grandeur qui quantifie le débit de charge en un point du circuit.

(I-1)

L'orientation du circuit en ce point fait que l'intensité est une grandeur algébrique (avec un signe). C'est une variable de flux.

Loi des intensités (loi des nœuds).

La somme de toutes les intensités des courants entrant dans une portion de circuit est nulle.

A.R.Q.S.

La loi qui précède ne peut être considérée comme exacte que dans le cadre de l'approximation des régimes quasi stationnaires (ARQS) : c'est-à-dire dans les cas où le produit de la dimension du circuit par la fréquence des intensités considérées est très inférieur à la célérité (vitesse) de la lumière.

Exemples

  • Pour des fréquences de l'ordre de 1 MHz la dimension du circuit doit être très inférieure à 300 m soit quelques mètres.
  • Pour la fréquence de 50 Hz la dimension du circuit doit être très inférieure à 6000 km. Pour l'étude des lignes on se limite à une centaine de kilomètres.

Tension ou d.d.p.

Définition.

C'est une variable d'effort. Pour obtenir une circulation de courant dans un circuit, il faut qu'au moins deux points de ce circuit soient à un instant donné à des potentiels différents. C'est une grandeur algébrique. Conventionnellement, on représente la tension entre les points A et B du circuit par une flèche dirigée vers le point A (la première des deux lettres A et B).


Loi des tensions (loi des mailles).

La somme des tensions effectuée en parcourant une maille est nulle.

Dipôles

Définition.

C'est un élément d'un circuit électrique comportant deux bornes. Il impose une relation entre la tension à ses bornes et l'intensité du courant qui le traverse.

La fonction liant à  : imposée par le dipôle est appelée caractéristique du dipôle. Par extension ce terme désigne aussi la représentation graphique de cette fonction.

Conventions de fléchage.

  • Convention récepteur : Le courant et la tension sont fléchés en sens inverse. Cela permet d'obtenir deux grandeurs positives pour des dipôles s'opposant à la circulation du courant.
  • Convention générateur : Le courant et la tension sont fléchés dans le même sens. Cela permet d'obtenir deux grandeurs positives pour des dipôles favorisant la circulation du courant.

Remarque : ces deux conventions existent du fait de la répugnance des anciens électriciens à utiliser les nombres négatifs.

Puissance électrique.

La puissance instantanée mise en jeu par un dipôle est :

(I-2)

Cette puissance correspond

  • à la puissance consommée lorsque et sont fléchés selon la convention récepteur
  • à la puissance fournie lorsqu'ils sont fléchés avec la convention générateur.


Vocabulaire.

  • Conducteur : partie du circuit
  • Nœuds : connexion de plusieurs conducteurs

Les définitions suivantes sont extraites du décret du 14 novembre 1988 (88-1056), section I article 2,

  • Circuit : ensemble de conducteurs et de matériels alimentés à partir de la même origine et protégés contre les surintensités par le ou les mêmes dispositifs de protection.
  • Masse : partie conductrice d'un matériel électrique susceptible d'être touchée par une personne, qui pas normalement sous tension mais peut le devenir en cas de défaut d'isolement des parties actives de ce matériel.
  • Point froid ou potentiel de référence : potentiel par rapport auquel on va mesurer les diverses tensions du circuit.
  • Terre : masse conductrice de la terre, dont le potentiel électrique en chaque point est considéré comme égal à zéro.

Remarque : fréquemment les générateurs basse-fréquence qui alimentent les montages ont leur point froid relié à la masse elle-même reliée à la terre, d’où les confusions faites sur ces différents termes.

Dipôles Linéaires

Ce sont des dipôles pour lesquels la fonction , telle que , est une fonction différentielle à coefficients constants. Exemples :

Résistances ou conducteur ohmiques

Le problème du nommage est historique : le terme résistance est utilisé pour désigner indifféremment :

  • Un dipôle utilisé pour produire de la chaleur. On utilise parfois le terme de résistance chauffante
  • Un conducteur respectant idéalement la loi d'Ohm (voir ci après).
  • La valeur du rapport de la tension par le courant pour les dipôle ci-dessus.

Dans ce cours, le mot résistance désignera un conducteur respectant parfaitement la loi d'Ohm

Équation caractéristique.

Pour une résistance , on a :

 : loi d'Ohm (I-3)

Au cours du temps, tension et courant sont homothétiques (de même forme).

Puissance consommée

(I-4)

On constate que cette puissance est à chaque instant positive : la résistance est un élément dissipatif.

Précaution d'emploi

En régime établi, la résistance ne doit pas dissiper une puissance supérieure à dont la valeur est en général prescrite par le constructeur. On en déduit les valeurs maximales du courant et de la tension à ne pas dépasser à l'aide de la formule (I-4).

La puissance dissipée l'est sous forme de chaleur, et c'est souvent l'augmentation de température qui est responsable de la destruction du composant. Pour des durées limitées, il est parfois possible de dépasser , mais cela dépend de l'inertie thermique de la résistance. En l'absence d'indication du constructeur, il est hasardeux de tenter sa chance !

Lois d'association

  • En série : (I-5)
  • En parallèle: (I-6)

La conductance

La conductance d'une "résistance" est la grandeur telle que : (I-7)

La relation (I-6) peut alors s’écrire :

Aspect microscopique, résistivité

Condensateurs

Équation caractéristique

Pour un condensateur on a :

, d'où (I-9)
(I-10)

L'équation (I-10) implique que la tension aux bornes du condensateur ne peut pas subir de discontinuité, cela correspondrait en effet à un courant d'intensité infinie, donc à une puissance infinie.

Puissance consommée.

L'équation (I-10) conduit à :

En utilisant la relation mathématique suivante :

(I-11)

on obtient la relation :

(I-12)

La puissance instantanée consommée par un condensateur est liée à la variation du carré de la tension à ses bornes : si celui ci augmente, le condensateur consomme de la puissance. Mais si le carré de la tension à ses bornes diminue alors le condensateur fourni de la puissance au reste du circuit.

L'énergie échangée entre 2 instants et vaut :

(I-13)

Précaution d'emploi.

Il ne faut pas dépasser en valeur instantanée la valeur maximale de la tension prescrite par le constructeur. En cas de dépassement, même très bref, on risque de provoquer un claquage entraînant la destruction du composant. D'autre part les condensateurs électrochimiques sont polarisés : une tension inverse à leurs bornes provoque un dégagement gazeux qui peut conduire à une explosion.

Lois d'association

  • En parallèle : (I-14)
  • En série: (I-15)

Inductances

Méthodes d'études des circuits

On utilise dans l'étude d'un réseau de conducteurs, générateurs ou récepteurs les méthodes suivantes:
  • Les lois de Kirchhoff:
# Loi des nœuds.
# Loi des mailles.
  • L'équivalence dite de Thevenin ou de Norton d'un dipôle linéaire.
  • L'étude des potentiels et des intensités dans chaque partie du réseau électrique.
  • La manipulation des fils électriques.

Puissance électrique

Sécurité électrique

Introduction

Effets de l'électricité sur l'homme

Facteurs importants

Symptômes

Traitements

Mesures de sécurité

Réseau électrique

Pour les bâtiments

Pour l'homme

Quelques exercices de calculs de résistances

Ces exercices sont tous tirés d'examens ou concours posés en Bac +1. Ils n'ont aucune prétention d'originalité ; mais ils peuvent servir un élève auto-didacte.

Jeu des résistances

le CNDP propose (http://www.cndp.fr/archivage/valid/36320/36320-7044-7011.pdf )de trouver, avec 5 résistances égales à 10 ohms, l'ensemble des valeurs possibles de la résistance équivalente et donne comme valeur maximale : 50 (en série),valeur minimale 2 (en parallèle). Trouver les autres valeurs possibles : 40, 30 , 20 et 10 sont évidentes ainsi que 10/2 , 10/3 10/4 et donc 10/5 = 2 mais il y en a bien d'autres : exemple :3 en série + 2 en parallèle donne : 35. A vous de "jouer" [conseil : procéder avec 2, puis 3 , etc. pour ne pas oublier des montages !]

Solution : 1R = 10 2R = 20 et 5 3R = 30 et 10/3 , et 15 ; et 20/3 4R = rajouter en série ou en parallèle sur les 4 précédents : 40 et 30/4 ; 10 + 10/3 et 10/4 ; 10+15=25 et 10//15 = 6 , et 10 + 10/3(déjà vu, donc non compté) et 5+5=10; 10+20/3 et 10/4 et 5//20 = 4

5R = procéder de même, en étant plus attentif : sans cycle : 50 , 35 , 10/3+20 , 10/4 + 10 , 2*10/2 +10 , 10/3 + 10/2 ; avec cycle : cycle de 3 : 20 + 10//20 ; 10//10 + 10//20 ; 10 + 5//20 et 10 + 10//15 ; et les 5 dans le triangle : (2*5)//10 = 5 ou 5//15 = 15/4 et 10/3 //20 ou 10 // ( 10+10/3)

cycle de 4 : 10 + 20//20 ; 5//30 , 15//20 , 10 // 25 et enfin ne pas oublier le carré ABCD et sa diagonale AC  : R(AC)=10 // 20 //20 puis R(AB)= 10// ( 10 + 10//20) et ne pas oublier R(BD) qui donne un résultat simple grâce à l'antisymétrie électrique ( Va = Vc donc aucun courant Iac=0 )et donc R(BD) = 20//20

Il y a donc un doublet de valeur 5 ; une triplette de valeur 10 ; un doublet de valeur 20. Et les 30 autres valeurs singulets.

On conçoit qu'avec 6 résistances, l'exercice devient plus délicat ( ne pas oublier la configuration tétraèdrique ! ).

le rectangle et sa diagonale

Un rectangle ABCD et sa diagonale AC de résistance c , le grand côté AB de résistance b et le petit côté AD de résistance a . La résistance R(AC) vaut bien sûr : c // [(a+b)/2]. Trouver R(BD) = f(a,b,c) et regarder la pertinence du résultat.

Solution :

résultat pertinent: a et b jouent des rôles identiques; puis en fonction de c : fonction homographique croissante qui pour c=0 est pertinente, ainsi que pour c = infini remarque : réciproquement, le fait de savoir que R(BD) était une fonction homographique de c , ET la symétrie du montage, ET les deux remarques précédentes donnent cet unique résultat !

correction : il convient d'utiliser l'antisymétrie par rapport au point O , centre du rectangle ; cela donne comme courants : i sur chaque petit côté et j sur chaque grand , et i-j sur la diagonale ; en suivant deux chemins : U = V(B)-V(D) = 2a i + c (i-j) = b j + a i . On résout en i et j en fonction de U ; puis I = i + j donne U/R d'où R.

Une solution plus rapide (mais plus élaborée) est de trouver par la loi des noeuds-Millman que : puis écrire que , ce qui donne G = 1/R.[On réfléchira à la superbe dualité du problème et donc du résultat ! ]

Le problème du carré divisé en 4 carrés identiques

chaque petit côté a une résistance identique, r . On appelle les points

A1 A2 A3

B1 B2 B3

C1 C2 C3

On demande toutes les valeurs possibles des résistances entre ces C(9,2)= 36 choix de bi-points. (Conseil : on utilisera la méthode de superposition, en remarquant que 2 cas suffisent à tout exprimer : le diagramme électrique de R(A1B2) et celui de R (A2B2).

Solution :

Le rectangle de 6 carrés identiques

Cette fois, on a :

A1 A2 A3 A4

B1 B2 B3 B4

C1 C2 C3 C4

On demande la résistance R(A1C4) = r * 121/(37+32) , en précisant, pour aider, que U(A1A2)= 37 V et que U(A1B1)= 32 V

solution :

Problème des 9 carrés

Cette fois on demande la résistance entre A1 et D4 pour 9 petits carrés ; on prendra bien garde à la réponse fausse : (1 + 1//3 + 1 )*2/2 = 11/4 (dire pourquoi c'est faux !). Et avec 16 carrés ?

solution :

Le treillis de 4 triangles

Cette fois on demande R(AF)= r* 15/11 :

A   B   C
  D   E   F

solution : immédiate par antisymétrie, car : loi des noeuds_Millman en D donne : Vd*3 = Va*1 + Vb*1 +Ve*1 or Ve=-Vb donc Vd= Va/3 On démontre de même que Vb = Va/5 D'où I = Va ( 1-1/3) + Va(1-1/5) = 2Va ( 11/15), cqfd.

Problème de 2n(2n+1)carrés (***difficile)

un rectangle ABCD séparé en 2n-1 barres verticales et 2n-2 horizontales, formant donc 2n(2n+1) petits carreaux On shunte AD par une électrode , de même BC : la résistance R entre les deux électrodes est évidemment : R = (2n+1)r /(2n+1) = r . On supprime la résistance horizontale centrale : la résistance augmente évidemment ; de combien ? [Commencer modestement par n=1 : ; Puis par n très grand (méthode de perturbation):r(1 + 2/n²) ; indication dans le chapitre "dualité"]

Problème des n petits carrés en ligne(** assez difficile)

A1 A2 A3 A4 ...

B1 B2 B3 B4 ...

on demande R(A1Bn)

Problème du "pont de Wheatstone"

6 resistances forment un tétraèdre ABCD ; on place un générateur E dans la branche AB , on demande le courant dans la branche CD : la réponse est très simple à retenir : , où S16 == les 16 triplets des six résistances ( C(6,3) = 20 ) sauf les 4 triplets_cutsets qui se rencontrent en chacun des 4 sommets_noeuds du tétraèdre.Il s'agit là d'une "transadmittance".

Faire-part

juste pour potache (il faut bien sourire un peu !) :

  • Vous êtes prié de venir assister aux obsèques de ce bon ohm d'Ampère, décédé ce matin. Un cheval(-vapeur) étalon ( 735 W quand même) , effrayé par un arbre (de transmission), l'a jeté dans un champ (magnétique) alors qu'il faisait du vélo sur un cycle ( d'hystérésis),les freins ( de Prony) ont lâché, et le cadre mobile s'est pris dans les rayons (cathodiques).
  • Transporté dans sa chambre (de Faraday), il est mort en aimant et ampère : ses dernières paroles furent pour sa f.e.m et ses gauss ;
  • L'enterrement aura lieu demain à Laplace indiquée sur le plan ( d'épreuve) ; on ne pourra ampèremètre l'entrée qu'aux potaches munis d'une carte ( d'isogones). Pour éviter tout point critique, le convoi fera un court-circuit par le pont de Wheatstone.
  • Vous pourrez serrer la pince ( de Mohr (sic!)) à sa f.e.m et ses gauss et vous charger (d'âme) afin d'envoyer le potentiel.