Mathématiques avec Python et Ruby/Suites en Ruby

Une suite de nombres (éventuellement complexes) ne peut se représenter en machine parce qu'elle comprend une infinité de termes. Alors on n'en représente qu'une partie sous forme de liste de nombres. Et Ruby manipule très bien ce genre d'objets.

Définition de suites

Par fonction

Une suite est une fonction de $\mathbb {N}$ dans $\mathbb {R}$ (ou $\mathbb {C}$...). On peut donc facilement calculer les premiers termes de celle-ci en utilisant la méthode collect d'une liste d'entiers (approximation finie de $\mathbb {N}$). Par exemple pour vérifier que la suite $u_{n}={\frac {1}{n}}$ tend vers 0, on peut essayer

(1..50).collect{|n| puts(1/n.to_f)}

Suites récurrentes

Pour une suite récurrente, chaque terme est défini à partir du précédent.

Suite logistique

La suite logistique $u_{n+1}=4u_{n}\left(1-u_{n}\right)$ est chaotique sur [0;1]. Pour le vérifier, on peut faire

u=0.1
50.times do
    u=4*u*(1-u)
    puts(u)
end

En constatant que $u_{0}=0,1={\frac {1}{10}}\in \mathbb {Q}$, on peut vérifier que, quoique chaotique, cette suite est formée de fractions:

require 'mathn'
u=1/10
10.times do
    u=4*u*(1-u)
    puts(u)
end

Quoique chaotique, cette suite ne fait pas un bon générateur pseudo-aléatoire, parce que les nombres proches de 0 et 1 sont trop souvent visités. Pour le vérifier graphiquement, on peut dessiner un histogramme des 4000 premières valeurs de la suite, avec l'algorithme suivant:

1. On fait comme ci-dessus, mais au lieu d'afficher u, on incrémente l'entrée d'un tableau des effectifs indexée par sa troncature. C'est ce tableau qui va être représenté graphiquement.
2. Ensuite, on représente chaque effectif par un rectangle de largeur 4 pixels et de hauteur l'effectif correspondant. Les rectangles sont bleus, remplis de vert.

Le tout est fait en écrivant les instructions dans le langage svg, engendrées par Ruby, dans un fichier HistogramRuby1.svg visible ci-dessous. Voici le script au complet:

figure=File.open("HistogramRuby1.svg","w")
figure.puts('<?xml version="1.0" encoding="utf-8"?>')
figure.puts('<!DOCTYPE svg PUBLIC "-//W3C//DTD SVG 1.1//EN"')
figure.puts('"http://www.w3.org/Graphics/SVG/1.1/DTD/svg11.dtd">')
figure.puts('<svg xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" width="500" height="360">')

effectifs=[0]*100
u=0.1

4000.times do
    u=4*u*(1-u)
    effectifs[(100*u).to_i]+=1
end

(0..99).collect{|n| figure.puts('<rect x="'+(4*n+50).to_s+'" y="'+(320-effectifs[n]).to_s+'" width="4" height="'+effectifs[n].to_s+'" fill="green" stroke="blue" stroke-width="1" />')}

figure.puts('</svg>')
figure.close

Et voici le fichier produit par le script: