« Cristallographie géométrique/Calculs dans les réseaux » : différence entre les versions

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direction -> rangée, terme plus utilisé en français
m (→‎Équation d'un plan : précision)
(direction -> rangée, terme plus utilisé en français)
:<math>\mathbf{t}_1 \cdot (\mathbf{t}_2 \wedge \mathbf{t}_3) = \sqrt{ \left| \begin{array}{ccc} \mathbf{t}_1 \cdot \mathbf{t}_1 & \mathbf{t}_1 \cdot \mathbf{t}_2 & \mathbf{t}_1 \cdot \mathbf{t}_3 \\ \mathbf{t}_1 \cdot \mathbf{t}_2 & \mathbf{t}_2 \cdot \mathbf{t}_2 & \mathbf{t}_2 \cdot \mathbf{t}_3 \\ \mathbf{t}_1 \cdot \mathbf{t}_3 & \mathbf{t}_2 \cdot \mathbf{t}_3 & \mathbf{t}_3 \cdot \mathbf{t}_3 \end{array} \right| }.</math>
 
== DirectionsRangées ==
{{définition|définition=Une directionrangée ou rangéedirection d'un réseau représente un ensemble de droites parallèles qui passent chacune par au moins deux nœuds du réseau.}}
Elle est définie par un vecteur primitif '''t''' tel que
:<math>\mathbf{t} = u\mathbf{a} + v\mathbf{b} + w\mathbf{c}</math>
où ''u'', ''v'' et ''w'' sont des nombres entiers premiers entre eux : comme une directionrangée contient au moins deux nœuds, son vecteur primitif est un vecteur du réseau. Ce vecteur ne définit pas une seule droite dans le réseau mais une infinité de droites parallèles et équivalentes par translations du réseau.
 
Une directionrangée dans un cristal est notée par les composantes de son vecteur primitif entre crochets : [''uvw'']. Si une composante est négative, elle est notée avec un trait au-dessus : <math>\bar{2}</math> par exemple.
 
Deux directionsrangées [''u{{ind|1}} v{{ind|1}} w{{ind|1}}''] et [''u{{ind|2}} v{{ind|2}} w{{ind|2}}''] sont orthogonales si le produit scalaire de leurs vecteurs primitifs, notés '''t'''{{ind|1}} et '''t'''{{ind|2}}, est nul : '''t'''{{ind|1}}<math>\cdot</math>'''t'''{{ind|2}}=0. D'autre part, les directionsrangées <math>[u\,v\,w]</math> et <math>[\bar{u}\,\bar{v}\,\bar{w}]</math> sont identiques.
[[Image:Indices miller direction exemples.png|thumb|upright=1.8|center|Exemples de directionsrangées.]]
 
Plusieurs directionsrangées non parallèles entre elles peuvent être équivalentes à cause de la symétrie du réseau. Elles forment alors une famille de directionsrangées équivalentes, notée <''uvw''>. Par exemple, la famille <100> désigne les directionsrangées :
* [100] et [010] dans le système tétragonal (directions ''a'' et ''b'') ;
* [100], [010] et [001] dans le système cubique (directions ''a'', ''b'' et ''c'').
Un plan réticulaire P est défini par son intersection avec les axes du système de coordonnées. Les coordonnées des points d'intersections sont (''x{{ind|P}}'',0,0), (0,''y{{ind|P}}'',0) et (0,0,''z{{ind|P}}''). Comme le plan P contient des nœuds du réseau, les coordonnées ''x{{ind|P}}'', ''y{{ind|P}}'' et ''z{{ind|P}}'' sont des [[Algèbre/Nombres rationnels|nombres rationnels]]. Dans l'exemple de la figure ci-contre, ''x{{ind|P}}''=1, ''y{{ind|P}}''=2 et ''z{{ind|P}}''=3. Si un plan est parallèle à un axe du système de coordonnées, son intersection avec cet axe a lieu à l'infini : la coordonnée correspondante est <math>\infty</math>.
 
Un plan réticulaire est noté par des indices ''h'', ''k'' et ''l'' entre parenthèses : (''hkl''). Il ne s'agit pas directement des coordonnées ''x{{ind|P}}'', ''y{{ind|P}}'' et ''z{{ind|P}}'' des points d'intersection du plan avec les axes : ''h'', ''k'' et ''l'' sont des nombres entiers. Comme pour les directionsrangées, si un indice est négatif, il est écrit avec un trait au-dessus.
 
Les indices ''h'', ''k'' et ''l'' sont appelés « indices de Miller » ou « indices de Laue ». La différence entre les deux est expliquée dans les sections suivantes.
L'indice ''i'' est défini par ''i''=−(''h''+''k'').
 
Dans le système hexagonal, il existe trois directionsrangées équivalentes par symétrie, les directionsrangées <math>[1\,0\,0],</math> <math>[0\,1\,0]</math> et <math>[\bar{1}\,\bar{1}\,0]</math>. Les vecteurs primitifs de ces trois directionsrangées sont les vecteurs '''a'''{{ind|1}}='''a''', '''a'''{{ind|2}}='''b''' et '''a'''{{ind|3}}=−('''a'''+'''b'''), respectivement. À vecteur '''c''' égal, il existe trois possibilités équivalentes pour choisir les vecteurs de base de la maille conventionnelle : {'''a'''{{ind|1}}, '''a'''{{ind|2}}, '''c'''}, {'''a'''{{ind|2}}, '''a'''{{ind|3}}, '''c'''} et {'''a'''{{ind|3}}, '''a'''{{ind|1}}, '''c'''}.
[[Image:Indices miller bravais.png|thumb|center|Indices de Miller-Bravais.]]
 
Les directionsrangées <math>[1\,0\,0],</math> <math>[0\,1\,0]</math> et <math>[\bar{1}\,\bar{1}\,0]</math> étant équivalentes, les plans qui leur sont perpendiculaires, par exemple, sont aussi équivalents. Ces plans ont pour indices de Miller <math>(2\,\bar{1}\,0),</math> <math>(\bar{1}\,2\,0)</math> et <math>(\bar{1}\,\bar{1}\,0)</math>.
 
Les indices de Miller-Bravais permettent de retrouver simplement par permutations circulaires dans le plan ('''a''', '''b''') les indices des plans équivalents :
* le plan <math>(2\,\bar{1}\,\bar{1}\,0)</math> est perpendiculaire à la directionrangée <math>[1\,0\,0]</math> ;
* le plan <math>(\bar{1}\,2\,\bar{1}\,0)</math> est perpendiculaire à la directionrangée <math>[0\,1\,0]</math> ;
* le plan <math>(\bar{1}\,\bar{1}\,2\,0)</math> est perpendiculaire à la directionrangée <math>[\bar{1}\,\bar{1}\,0].</math>
 
=== DirectionRangée perpendiculaire à un plan ===
Un plan (''hkl'') coupe les directions ''a'', ''b'' et ''c'' aux points A, B et C de coordonnées (1/''h'',0,0), (0,1/''k'',0) et (0,0,1/''l''), respectivement. Soient '''t'''{{ind|1}}='''AB''' et '''t'''{{ind|2}}='''AC''' deux vecteurs contenus dans ce plan :
:<math>\begin{array}{lcr}\mathbf{t}_1 = \displaystyle{ -\frac{1}{h} \mathbf{a} + \frac{1}{k} \mathbf{b},} & & \mathbf{t}_2 = \displaystyle{ -\frac{1}{h} \mathbf{a} + \frac{1}{l} \mathbf{c}.}\end{array}</math>
En multipliant les deux membres de l'égalité par <math>hkl/V</math>, on obtient l'expression d'un vecteur du réseau réciproque, noté '''H''' :
:<math>\mathbf{H} = h \mathbf{a}^* + k \mathbf{b}^* + l \mathbf{c}^*.</math>
Le vecteur '''H''' de composantes (''h'',''k'',''l'') du réseau réciproque définit la directionrangée perpendiculaire au plan (''hkl''). Les composantes de '''H''' ainsi calculées sont des nombres entiers qui ne sont pas forcément premiers entre eux.
 
Exemples :
* dans le système hexagonal, la directionrangée perpendiculaire au plan (100) est la directionrangée [100]{{exp|*}} du réseau réciproque, de vecteur primitif '''a{{exp|*}}''' : il s'agit de la directionrangée [210] dans le réseau direct. Le plan (100) n'est donc pas perpendiculaire à la directionrangée [100] du réseau direct dans le système hexagonal ;
* dans le système cubique, la directionrangée perpendiculaire au plan (100) est également parallèle à '''a{{exp|*}}''' dans le réseau réciproque, qui est parallèle à '''a''' : il s'agit de la directionrangée [100] dans le réseau direct. Ici, le plan (100) est perpendiculaire à la directionrangée [100] du réseau direct.
 
Réciproquement, un plan du réseau réciproque est noté (''uvw''){{exp|*}} et a pour directionrangée perpendiculaire la directionrangée [''uvw''] du réseau direct.
 
=== Équation d'un plan ===
Une directionrangée [''uvw''] de vecteur primitif '''t''' est parallèle au plan (''hkl'') si elle est perpendiculaire au vecteur '''H''' déterminé dans la section précédente. Cette condition se traduit par :
:<math> \mathbf{t} \cdot \mathbf{H} = (u \mathbf{a} + v \mathbf{b} + w \mathbf{c}) \cdot (h \mathbf{a}^* + k \mathbf{b}^* + l \mathbf{c}^*) = 0</math>
soit, puisque <math>\mathbf{e}_i \cdot \mathbf{e}_j^* = \delta_{ij}</math> :
:<math>\theta = \cos^{-1}{\frac{\mathbf{H}_1 \cdot \mathbf{H}_2}{|\mathbf{H}_1| \, |\mathbf{H}_2|}}.</math>
 
Dans le système cubique par exemple, les directionsrangées perpendiculaires aux plans (100) et (111) sont [100]{{exp|*}} et [111]{{exp|*}}. Le tenseur métrique du réseau réciproque est '''G'''{{exp|*}}=''a''{{exp|*2}}×'''I''' où '''I''' est la [[Algèbre linéaire/Matrices#Matrice identité|matrice identité]] de rang 3. On a donc
:<math>\begin{array}{ccc} |\mathbf{H}_1| = a^*, & |\mathbf{H}_2| = a^* \sqrt{3}, & \mathbf{H}_1 \cdot \mathbf{H}_2 = a^{*2} \end{array}</math>
et l'angle θ entre les plans (100) et (111) vaut

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