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Cristallographie géométrique/Calculs dans les réseaux (modifier)

Version du 18 décembre 2011 à 19:58

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{{en travaux}}
{{Cristallographie géométrique}}
Ce chapitre donne les bases nécessaires pour effectuer des calculs en cristallographie. Il est écrit pour un espace à trois dimensions. Les calculs pour un espace bidimensionnel s'en déduisent aisément.
 
Par exemple, dans tout système cristallin, les plans (100), (010), (110) et (210), entre autres, sont parallèles à la rangée [001], qui est l'axe de zone de ces plans. Les plans (''hk''0) sont des plans tautozonaux. Leurs normales sont parallèles au plan zonal (001){{exp|*}}.
 
== Changement de base ==
{{définition|définition=Un changement de base est une opération qui permet de passer d'un système de coordonnées à un autre.}}
[[Image:Basis transformation.png|thumb|Changement de base dans l'espace bidimensionnel.]]
Il est souvent utile de changer de système de coordonnées. Lors d'une [[Cristallographie géométrique/Transitions de phase|transition de phase]] par exemple, la maille et/ou le [[Cristallographie géométrique/Groupes d'espace|groupe d'espace]] d'un cristal peut changer. La comparaison des deux structures du cristal avant et après la transition de phase est facilitée si on utilise le système de coordonnées de la structure de plus basse symétrie pour les deux structures. D'autre part, les propriétés physiques d'un cristal sont souvent décrites par un tenseur symmétrique rapporté à une base orthonormale. C'est le cas de la [[:w:dilatation thermique|dilatation thermique]] qui s'écrit dans le cas général comme un tenseur symétrique de rang 2. En cristallographie, la dilatation thermique est souvent calculée à partir de la variation thermique des paramètres de maille, c'est-à-dire dans la base de la maille conventionnelle qui n'est pas orthonormale.
 
Un changement de base peut s'effectuer entre deux bases de même origine ou d'origines différentes. Les vecteurs de base, les coordonnées des points, les indices de directions et de plans ainsi que les tenseurs ne se transforment pas tous de la même façon lors d'un changement de base.
 
=== Bases d'origine commune ===
==== Matrice de passage ====
Un changement de la base {'''a'''{{ind|1}}, '''b'''{{ind|1}}, '''c'''{{ind|1}}} vers la base {'''a'''{{ind|2}}, '''b'''{{ind|2}}, '''c'''{{ind|2}}} s'effectue à l'aide de la [[:w:Matrice de passage|matrice de passage]] '''M''', définie de la façon suivante :
:<math>\begin{bmatrix} \mathbf{a}_2 \\ \mathbf{b}_2 \\ \mathbf{c}_2 \end{bmatrix} = \mathbf{M} \begin{bmatrix} \mathbf{a}_1 \\ \mathbf{b}_1 \\ \mathbf{c}_1 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} \mathbf{M}_{11} & \mathbf{M}_{12} & \mathbf{M}_{13} \\ \mathbf{M}_{21} & \mathbf{M}_{22} & \mathbf{M}_{23} \\ \mathbf{M}_{31} & \mathbf{M}_{32} & \mathbf{M}_{33} \end{bmatrix} \begin{bmatrix} \mathbf{a}_1 \\ \mathbf{b}_1 \\ \mathbf{c}_1 \end{bmatrix}.</math>
 
La matrice de passage '''M''' contient dans chaque ligne les composantes des vecteurs de la nouvelle base 2 exprimées dans l'ancienne base 1 :
:<math>\begin{array}{rcl}
\mathbf{a}_2 & = & \mathbf{M}_{11} \mathbf{a}_1 + \mathbf{M}_{12} \mathbf{b}_1 + \mathbf{M}_{13} \mathbf{c}_1, \\
\mathbf{b}_2 & = & \mathbf{M}_{21} \mathbf{a}_1 + \mathbf{M}_{22} \mathbf{b}_1 + \mathbf{M}_{23} \mathbf{c}_1, \\
\mathbf{c}_2 & = & \mathbf{M}_{31} \mathbf{a}_1 + \mathbf{M}_{32} \mathbf{b}_1 + \mathbf{M}_{33} \mathbf{c}_1.
\end{array}</math>
'''M''' est donc la matrice de passage de l'ancienne base vers la nouvelle base. Le changement de base inverse s'écrit à l'aide de la matrice de passage inverse '''M'''{{exp|−1}} :
:<math>\begin{bmatrix} \mathbf{a}_1 \\ \mathbf{b}_1 \\ \mathbf{c}_1 \end{bmatrix} = \mathbf{M}^{-1} \begin{bmatrix} \mathbf{a}_2 \\ \mathbf{b}_2 \\ \mathbf{c}_2 \end{bmatrix}.</math>
 
==== Tenseur métrique direct et réciproque ====
Le tenseur métrique direct de la base 2 est
:<math>\mathbf{G}_2 = \begin{bmatrix} \mathbf{a}_2 \cdot \mathbf{a}_2 & \mathbf{a}_2 \cdot \mathbf{b}_2 & \mathbf{a}_2 \cdot \mathbf{c}_2 \\ \mathbf{a}_2 \cdot \mathbf{b}_2 & \mathbf{b}_2 \cdot \mathbf{b}_2 & \mathbf{b}_2 \cdot \mathbf{c}_2 \\ \mathbf{a}_2 \cdot \mathbf{c}_2 & \mathbf{b}_2 \cdot \mathbf{c}_2 & \mathbf{c}_2 \cdot \mathbf{c}_2 \end{bmatrix}.</math>
En posant '''e'''{{ind|1,1}}='''a'''{{ind|1}}, '''e'''{{ind|1,2}}='''b'''{{ind|1}}, '''e'''{{ind|1,3}}='''c'''{{ind|1}}, '''e'''{{ind|2,1}}='''a'''{{ind|2}}, '''e'''{{ind|2,2}}='''b'''{{ind|2}} et '''e'''{{ind|2,3}}='''c'''{{ind|2}}, une composante '''G'''{{ind|2,''ij''}} de '''G'''{{ind|2}} s'écrit en fonction des vecteurs de l'ancienne base 1 comme :
:<math>\begin{array}{rcl}
\mathbf{G}_{2,ij} & = & \displaystyle{\mathbf{e}_{2,i} \cdot \mathbf{e}_{2,j} = \left( \sum_{k=1}^3 \mathbf{M}_{ki} \mathbf{e}_{1,i} \right) \cdot \left( \sum_{l=1}^3 \mathbf{M}_{lj} \mathbf{e}_{1,j} \right)} \\[3ex]
& = & \displaystyle{\sum_{k=1}^3 \sum_{l=1}^3 \mathbf{M}_{ki} \mathbf{e}_{1,i} \cdot \mathbf{e}_{1,j} \mathbf{M}_{lj} = \sum_{k=1}^3 \sum_{l=1}^3 \mathbf{M}_{ki} G_{1,ij} \mathbf{M}_{lj} = \sum_{k=1}^3 \sum_{l=1}^3 \mathbf{M}_{ki} G_{1,ij} {}^t\mathbf{M}_{jl}}
\end{array}</math>
La transformation du tenseur métrique direct par le changement de base est donc
:<math>\mathbf{G}_2 = \mathbf{M} \mathbf{G}_1 {}^t\mathbf{M}.</math>
Le même raisonnement en partant de '''G'''{{ind|1}} conduit à
:<math>\mathbf{G}_1 = \mathbf{M}^{-1} \mathbf{G}_2 ({}^t\mathbf{M})^{-1}.</math>
 
Le tenseur métrique réciproque de la base 2 est
:<math>\mathbf{G}_2^* = \mathbf{G}_2^{-1} = (\mathbf{M} \mathbf{G}_1 {}^t\mathbf{M})^{-1} = ({}^t\mathbf{M})^{-1} \mathbf{G}_1^{-1} \mathbf{M}^{-1} = ({}^t\mathbf{M})^{-1} \mathbf{G}_1^* \mathbf{M}^{-1}</math>
et celui de la base 1 est
:<math>\mathbf{G}_1^* = {}^t\mathbf{M} \mathbf{G}_2^* \mathbf{M}.</math>
 
Les tenseurs métriques direct et réciproque ne se transforment pas de la même façon lors d'un changement de base. De même, les variables qui leur sont associées se comportent différemment.
{{définition|définition=Une variable « contravariante » est une variable exprimée dans la base du réseau direct.<br/>Une variable « covariante » est une variable exprimée dans la base du réseau réciproque.}}
 
==== Variables contravariantes ====
Soit un point X de coordonnées (''x''{{ind|1}},''y''{{ind|1}},''z''{{ind|1}}) dans la base directe 1 et (''x''{{ind|2}},''y''{{ind|2}},''z''{{ind|2}}) dans la base directe 2. Son vecteur position '''r''' s'écrit dans les deux bases :
:<math>\begin{array}{ccc}
\mathbf{r} = \begin{bmatrix} x_1 & y_1 & z_1 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} \mathbf{a}_1 \\ \mathbf{b}_1 \\ \mathbf{c}_1 \end{bmatrix} = {}^t\mathbf{X}_1 \begin{bmatrix} \mathbf{a}_1 \\ \mathbf{b}_1 \\ \mathbf{c}_1 \end{bmatrix}, & & \mathbf{r} = \begin{bmatrix} x_2 & y_2 & z_2 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} \mathbf{a}_2 \\ \mathbf{b}_2 \\ \mathbf{c}_2 \end{bmatrix} = {}^t\mathbf{X}_2 \begin{bmatrix} \mathbf{a}_2 \\ \mathbf{b}_2 \\ \mathbf{c}_2 \end{bmatrix}
\end{array}</math>
où '''X''' est le vecteur des coordonnées :
:<math>\mathbf{X} = \begin{bmatrix} x \\ y \\ z \end{bmatrix}.</math>
'''X''' est une variable contravariante puisqu'elle s'exprime dans la base de l'espace direct.
 
En utilisant la matrice de passage '''M''', on peut écrire
:<math>\mathbf{r} = {}^t\mathbf{X}_2 \mathbf{M} \begin{bmatrix} \mathbf{a}_1 \\ \mathbf{b}_1 \\ \mathbf{c}_1 \end{bmatrix} = {}^t\mathbf{X}_1 \begin{bmatrix} \mathbf{a}_1 \\ \mathbf{b}_1 \\ \mathbf{c}_1 \end{bmatrix},</math>
soit
:<math>{}^t\mathbf{X}_2 \mathbf{M} = {}^t\mathbf{X}_1.</math>
En appliquant '''M'''{{exp|−1}} à droite des deux membres de l'égalité, on obtient finalement
:<math>{}^t\mathbf{X}_2 = {}^t\mathbf{X}_1 \mathbf{M}^{-1}.</math>
Les indices d'une rangée et les composantes d'un vecteur se transforment comme les coordonnées :
:<math>\begin{bmatrix} u_2 & v_2 & w_2 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} u_1 & v_1 & w_1 \end{bmatrix} \mathbf{M}^{-1}.</math>
 
Lorsque les coordonnées sont écrites en colonnes plutôt qu'en lignes, on obtient
:<math>\mathbf{X}_2 = ({}^t\textbf{M})^{-1} \mathbf{X}_1.</math>
 
{{Cadre définition|titre=Généralisation|contenu=Toute variable contravariante se transforme par l'application de ({{exp|''t''}}'''M'''){{exp|−1}}.|cbord=#B00922|cfondtitre=#FDC8D0|cfondtexte=#FBF0F2}}
 
==== Variables covariantes ====
D'après la transformation des tenseurs métriques réciproques par changement de base, on voit que les vecteurs de base réciproques des bases 1 et 2 sont reliés par
:<math>\begin{array}{ccc}
\begin{bmatrix} \mathbf{a}_2^* \\ \mathbf{b}_2^* \\ \mathbf{c}_2^* \end{bmatrix} = ({}^t\mathbf{M})^{-1} \begin{bmatrix} \mathbf{a}_1^* \\ \mathbf{b}_1^* \\ \mathbf{c}_1^* \end{bmatrix}, & & \begin{bmatrix} \mathbf{a}_1^* \\ \mathbf{b}_1^* \\ \mathbf{c}_1^* \end{bmatrix} = {}^t\mathbf{M} \begin{bmatrix} \mathbf{a}_2^* \\ \mathbf{b}_2^* \\ \mathbf{c}_2^* \end{bmatrix}.
\end{array}</math>
Le vecteur position '''r'''{{exp|*}} d'un point X{{exp|*}} de l'espace réciproque s'écrit dans les deux bases réciproques
:<math>\begin{array}{ccc}
\mathbf{r}^* = \begin{bmatrix} x_1^* & y_1^* & z_1^* \end{bmatrix} \begin{bmatrix} \mathbf{a}_1^* \\ \mathbf{b}_1^* \\ \mathbf{c}_1^* \end{bmatrix} = {}^t\mathbf{X}_1^* \begin{bmatrix} \mathbf{a}_1^* \\ \mathbf{b}_1^* \\ \mathbf{c}_1^* \end{bmatrix}, & & \mathbf{r}^* = \begin{bmatrix} x_2^* & y_2^* & z_2^* \end{bmatrix} \begin{bmatrix} \mathbf{a}_2^* \\ \mathbf{b}_2^* \\ \mathbf{c}_2^* \end{bmatrix} = {}^t\mathbf{X}_2^* \begin{bmatrix} \mathbf{a}_2^* \\ \mathbf{b}_2^* \\ \mathbf{c}_2^* \end{bmatrix}.
\end{array}</math>
'''X'''{{exp|*}} est une variable covariante puisqu'elle s'exprime dans la base de l'espace réciproque.
 
En utilisant l'expression des vecteurs de base réciproques de la base 2 en fonction de ceux de la base 1, on peut écrire
:<math>\mathbf{r}^* = {}^t\mathbf{X}_2^* ({}^t\mathbf{M})^{-1} \begin{bmatrix} \mathbf{a}_1^* \\ \mathbf{b}_1^* \\ \mathbf{c}_1^* \end{bmatrix} = {}^t\mathbf{X}_1^* \begin{bmatrix} \mathbf{a}_1^* \\ \mathbf{b}_1^* \\ \mathbf{c}_1^* \end{bmatrix}</math>
soit
:<math>{}^t\mathbf{X}_2^* ({}^t\mathbf{M})^{-1} = {}^t\mathbf{X}_1^*.</math>
En appliquant {{exp|''t''}}'''M''' à droite des deux membres de l'égalité, on obtient finalement
:<math>\begin{array}{ccc} {}^t\mathbf{X}_2^* = {}^t\mathbf{X}_1^* {}^t\mathbf{M}, & & \mathbf{X}_2^* = \mathbf{M} \mathbf{X}_1^*. \end{array}</math>
 
{{Cadre définition|titre=Généralisation|contenu=Toute variable covariante se transforme par l'application de '''M'''.|cbord=#B00922|cfondtitre=#FDC8D0|cfondtexte=#FBF0F2}}
En particulier, le vecteur primitif de la rangée réciproque [''hkl'']{{exp|*}} normale à un plan direct (''hkl'') étant une variable covariante, les indices d'un plan réticulaire se transforment par l'application de la matrice de passage '''M'''.
 
==== Applications linéaires : matrices ====
Soit une application linéaire ''f'' de l'espace tridimensionnel direct qui associe à tout point X repéré par le vecteur '''X''', un point X' repéré par le vecteur '''X'''<nowiki>'</nowiki>. Cette application peut par exemple être une opération de symétrie. Elle est représentée par la matrice '''A''' dans la base 1. La matrice de ''f'' dans la base 2 est notée '''B'''. Les coordonnées du point X' s'obtiennent dans les deux bases par les relations matricielles suivantes :
:<math>\begin{array}{ccc} \mathbf{X}'_1 = \textbf{A} \mathbf{X}_1, & & \mathbf{X}'_2 = \textbf{B} \mathbf{X}_2. \end{array}</math>
Connaissant la transformation des coordonnées par le changement de base de 1 vers 2, on peut écrire
:<math>\mathbf{X}'_2 = ({}^t\mathbf{M})^{-1} \mathbf{X}'_1 = ({}^t\mathbf{M})^{-1} \mathbf{A} \mathbf{X}_1 = \mathbf{B} ({}^t\mathbf{M})^{-1} \mathbf{X}_1.</math>
En applicant {{exp|''t''}}'''M''' à gauche de chaque membre de l'égalité :
:<math>\mathbf{A} \mathbf{X}_1 = {}^t\mathbf{M} \mathbf{B} ({}^t\mathbf{M})^{-1} \mathbf{X}_1</math>
d'où
:<math>\mathbf{A} = {}^t\mathbf{M} \mathbf{B} ({}^t\mathbf{M})^{-1}</math>
et
:<math>\mathbf{B} = ({}^t\mathbf{M})^{-1} \mathbf{A} {}^t\mathbf{M}.</math>
 
=== Changement d'origine ===
{{...}}
 
=== Matrice augmentée ===
{{...}}
Lorsqu'un changement de base conduit à une base de vecteurs et d'origine différents de la base de départ, il est possible d'écrire la transformation sous forme matricielle en utilisant une « matrice augmentée ».
 
{{DEFAULTSORT:Calculs dans les reseaux}}
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