« Approfondissements de lycée/Démonstrations » : différence entre les versions

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Comme exemple, nous démontrerons l'irrationalité de <math>\sqrt{2}</math>, i.e. <math>\sqrt{2}</math> n'est pas un nombre rationnel. Rappelons-nous qu'un nombre rationnel est un nombre qui peut être exprimé sous la forme p/q, où p et q sont des nombres entiers et q est différent de 0 (voir la section 'catégories de nombres' [[AL Nombres complexes|ici]]).
 
DTout d'abord, supposons que <math>\sqrt{2}</math> est ''rationnel'' :<br>
:<math>
\sqrt{2} = \frac{a}{b}
</math>
 
Nous avons maintenant trouvé que ''a<sup>2</sup>'' est un certain entier multiplié par 2. Par conséquent, ''a<sup>2</sup>'' doit être divisible par 2.; Siautrement ''a<sup>2</sup>'' est pairdit, alorsil ''a'' doit être aussiest pair,. pourComme un nombre impair aule carré, d'un nombre impair. Maintenantest quelui-même nous savons queimpair, ''a'' estdoit être pair, nouslui aussi. Nous pouvons maintenant écrivonsécrire que ''a = 2c'', où ''c'' est un autre entier.
 
:<math>
</math>
 
Nous avons découvert que ''b<sup>2</sup>'' est aussi un entier multiplié par 2. En suivant le raisonnement précédent, ''b'' doit être un entier pair. Ici, nous avons une contradiction.: Lesles deux nombres entiers ''a'' et ''b'' sont pairpairs. En d'autres termes, lesnous venons de démontrer que ces deux nombres ont un facteur commun: 2. Mais nous avons déjà ditsupposé que ces deux nombres n''a/b''avaient estpas sousde formefacteur irréductible.commun! Puisqu'une telle contradiction a été établie, nous '''devons''' conclure que notre supposition d'origine était fausse. Par conséquent, on ne peut trouver deux entiers ''a'' et ''b'' premiers entre eux tels qu'on puisse écrire <math>\sqrt{2}</math> sour la forme ''a/b'', c'est-à-dire que <math>\sqrt{2}</math> est irrationel.
 
===Infinité de nombres premiers===
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