« Cosmologie/Le spectre de puissance des perturbations » : différence entre les versions

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: <math>\epsilon(d) \approx k \cdot d^{- \gamma}</math>, avec <math>\gamma \approx 1,8</math>.
 
==Le spectre de puissance==
 
Une autre manière équivalente de décrire le champ de densité est d'utiliser son '''spectre de puissance'''. Pour rappel, le terme <math>\delta(x,t)</math> est une fonction qui associe une perturbation de densité à tout endroit de l'espace et à chaque instant. On dit aussi que cette fonction décrit un champ de densité. Or, il existe un théorème qui nous dit que tout champ peut être décomposée en champs périodiques semblables à des cosinus ou sinus. Ces champs périodiques sont des formellement des ondes de forme cosinusoïdales ou sinusoïdales. Dans notre cas, la forme de ces ondes est l'équivalent en trois dimension d'un sinus/cosinus. En additionnant un certain nombre (potentiellement infini) de ces ondes de base, pondérées par un coefficient, on peut obtenir n'importe quelle champ résultant. C'est ce qu'on appelle la '''transformée de Fourier''' des fonctions continues. Le champ de densité ne fait pas exception et on peut utiliser ce théorème pour décomposer le champ de densité en une somme d'ondes.
 
[[File:Fig 07b.png|centre|vignette|upright=2.0|Illustration des séries de Fourier.]]
 
Si on note chaque onde élémentaire <math>\overline{\delta}(x,t)</math>, le théorème de Fourier nous donne l'équation suivante :
 
: <math>\delta(x,t) = \frac{1}{(2 \pi)^3} \int \overline{\delta}(\vec k) \cdot e^{- i (\vec k \cdot \vec x)} d \vec k</math>, avec <math>\vec k</math> le vecteur d'onde, un vecteur de norme <math>k = \frac{2 \pi}{\lambda}</math>.
 
On peut injecter l'équation précédente dans l'équation. Le résultat, très difficile à obtenir, est pourtant surprenamment simple :
 
: <math>\frac{\partial^2 \overline{\delta}(k)}{\partial^2 t} + 2 H \frac{\partial \overline{\delta}(k)}{\partial t} - \frac{1}{a^2} \left[ c_s^2 k^2 + 4 \pi G \rho_m \right] \overline{\delta}(k) = 0</math>
 
<noinclude>
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