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Ce chapitre donne les bases nécessaires pour effectuer des calculs en cristallographie. Il est écrit pour un espace à trois dimensions. Les calculs pour un espace bidimensionnel s'en déduisent aisément.
Ce chapitre donne les bases nécessaires pour effectuer des calculs en cristallographie. Il est écrit pour un espace à trois dimensions. Les calculs pour un espace bidimensionnel s'en déduisent aisément.

==Le système de coordonnées dans un cristal==

[[Image:Rovinna afinni soustava souradnic.svg|vignette|Lecture des coordonnées d'un point dans un système non orthogonal.]]

Le système de coordonnées d'un réseau est défini par les vecteurs de base '''a''', '''b''' et '''c''' de sa maille conventionnelle. L'utilisation d'un système de coordonnées lié aux vecteurs de la maille conventionnelle du réseau plutôt que d'un système orthonormé permet de mieux rendre compte de la symétrie du réseau. En particulier, l'écriture des [[Algèbre linéaire/Matrices|matrices]] représentatrices des opérations de symétrie dans le cristal est facilitée (voir le chapitre sur la [[Cristallographie géométrique/Symétrie ponctuelle|symétrie ponctuelle]]).

Les vecteurs de base sont toujours choisis de façon à former un trièdre direct. Dans le cas général, les vecteurs de base peuvent être de longueurs différentes et former des angles non égaux à 90°. Le système de cordonnées du réseau est orthogonal seulement dans les systèmes cristallins orthorhombique, tétragonal et cubique. Dans un système de coordonnées non orthogonal, une coordonnée d'un point se lit sur l'axe correspondant en y projetant le point parallèlement aux autres axes.

La position d'un point A quelconque dans un cristal est définie par son vecteur position '''r'''{{ind|''A''}} :

: <math>\mathbf{r}_A = x_A\mathbf{a} + y_A\mathbf{b} + z_A\mathbf{c}</math>, où les coordonnées ''x''{{ind|''A''}}, ''y''{{ind|''A''}} et ''z''{{ind|''A''}} du point A sont des nombres réels.

Tout vecteur '''t''' s'écrit comme une combinaison linéaire des vecteurs de base du réseau :
:<math>\mathbf{t} = u\mathbf{a} + v\mathbf{b} + w\mathbf{c} = \begin{bmatrix} u & v & w \end{bmatrix} \begin{bmatrix} \mathbf{a} \\ \mathbf{b} \\ \mathbf{c} \end{bmatrix}.</math>
Si '''t''' est un vecteur du réseau, ses composantes ''u'', ''v'' et ''w'' sont des nombres entiers.


==Opérations sur les vecteurs==
==Opérations sur les vecteurs==

Version du 24 mars 2022 à 23:14

Cristallographie géométrique
Table des matières
  1. Introduction
  2. Translations de réseau
  3. Calculs dans les réseaux
  4. Changement de base
  5. Projection stéréographique
  6. Symétrie ponctuelle
  7. Groupes ponctuels de symétrie
  8. Symétrie de corps simples et molécules
  9. Morphologie des cristaux
  10. Symétrie translatoire
  11. Réseaux de Bravais
  12. Groupes d'espace
  13. Propriétés physiques des cristaux
  14. Cristallochimie
  15. Transitions de phase

Ce chapitre donne les bases nécessaires pour effectuer des calculs en cristallographie. Il est écrit pour un espace à trois dimensions. Les calculs pour un espace bidimensionnel s'en déduisent aisément.

Opérations sur les vecteurs

Produit scalaire

Le produit scalaire entre deux vecteurs t1 et t2 exprimés dans une base non orthogonale {a, b, c} est définit par :

où θ est l'angle entre t1 et t2 et |t| représente la norme (ou longueur) d'un vecteur, donnée par :

Le produit scalaire permet de calculer l'angle θ entre deux vecteurs :

Le produit scalaire est commutatif : t2t1=t1t2.

Produit vectoriel

Produit vectoriel.

Le produit vectoriel entre deux vecteurs t1 et t2 de normes non nulles est noté t1t2. Son résultat est un troisième vecteur t3 tel que :

  • t3 est perpendiculaire au plan formé par t1 et t2 : les produits scalaires t1t3 et t2t3 sont nuls ;
  • la norme de t3 vaut |t1| |t2| sin θ, où θ est l'angle entre t1 et t2 ;
  • les vecteurs t1, t2 et t3 forment un trièdre direct.

Le produit vectoriel n'est pas commutatif. La permutation de t1 et t2 change le signe du produit vectoriel : t2t1=−(t1t2).

On remarque d'après la norme de t3 que :

  • si |t3| est nul, les deux vecteurs t1 et t2 sont parallèles : θ=0° ;
  • si |t3|=|t1| |t2|, les deux vecteurs t1 et t2 sont perpendiculaires : θ=90°.

Produit mixte

Le produit mixte de trois vecteurs t1, t2 et t3 est le produit scalaire d'un des vecteurs par le produit vectoriel des deux autres. Si t1, t2 et t3 forment un trièdre direct, le produit mixte des trois vecteurs est positif et est égal au volume V de la maille définie par ces vecteurs :

Le tenseur métrique d'une maille

Le tenseur métrique G est utilisé pour les calculs dans les réseaux. Il n'est pas nécessaire de l'utiliser mais il facilite grandement les calculs dans les cas où les vecteurs de base ne forment pas un système orthogonal.

La définition du tenseur métrique

Le tenseur métrique est défini par les paramètres de la maille. Les composantes du tenseur métrique sont les produits scalaires des vecteurs de base de la maille.

Dans ce qui suite, on note le produit scalaire.

Dans l'espace bidimensionnel, le tenseur métrique s'écrit comme une matrice symétrique de rang 2 :

Le tenseur métrique s'écrit comme une matrice symétrique de rang 3 dans l'espace tridimensionnel :

Le tenseur métrique est un très bon outil de calcul

Le tenseur métrique est un très bon outil pour les calculs. Par exemple, il peut servir à calculer le produit scalaire entre deux vecteurs dans une base non-orthogonale :

tt1 désigne la transposée du vecteur t1. Dans un système orthogonal, on retrouve la formule simple

De même, le produit mixte est la racine carrée du déterminant du tenseur métrique défini par les vecteurs de bases t1, t2 et t3 :

Le réseau réciproque

Définitions, propriétés

Le « réseau réciproque » d'un réseau est son réseau dual. Le réseau lui-même, dans lequel est décrit le cristal, est appelé « réseau direct ».

Par définition, si r est un vecteur du réseau direct, le vecteur r* appartient au réseau réciproque si son produit scalaire avec r est un nombre entier relatif :

Les vecteurs du réseau réciproque sont notés avec une étoile en exposant. Le réseau réciproque est, comme le réseau direct, invariant par translation.

Les vecteurs de base du réseau réciproque se calculent à partir de leurs produits scalaires avec les vecteurs de base ei du réseau direct :

où δij est le symbole de Kronecker. Le vecteur est ainsi orthogonal aux vecteurs ej tels que ji. L'origine du réseau réciproque est choisie identique à celle du réseau direct. Si les longueurs des vecteurs de base du réseau direct sont exprimées en Å, celles des vecteurs de base du réseau réciproque sont exprimées en Å−1. D'après cette définition, on voit que le réseau dual du réseau réciproque est le réseau direct.

Dans l'espace à trois dimensions, les vecteurs de translation τ* sont des combinaisons linéaires des vecteurs de base a*, b* et c* :

h, k et l sont des nombres entiers. Les vecteurs de base a*, b* et c* peuvent être exprimés de la façon suivante :

Le triplet des vecteurs de base {a*, b*, c*} définit une maille du réseau réciproque. À cette base est rattaché un tenseur métrique réciproque G* :

Le tenseur métrique réciproque est l'inverse du tenseur métrique direct : G*=G−1. Connaissant le tenseur métrique direct, le calcul de son inverse permet de retrouver les paramètres de maille réciproques (cette méthode est surtout utile dans le cas du système cristallin triclinique). En particulier, le volume de la maille réciproque est l'inverse du volume de la maille directe :

Si les vecteurs de base du réseau réciproque sont connus, ceux du réseau direct sont donnés par

Le concept de réseau réciproque est très utilisé dans la théorie de la diffraction par un cristal. Il n'est pas nécessaire de l'utiliser en cristallographie géométrique mais il facilite beaucoup de calculs, particulièrement dans les systèmes cristallins de basse symétrie.

Classification des réseaux réciproques

Comme les réseaux directs, les réseaux réciproques peuvent être classés en six famille cristallines, sept systèmes cristallins et sept systèmes réticulaires. Il existe une correspondance de symétrie entre réseau direct et réseau réciproque : un réseau direct et son réseau réciproque appartiennent au même système cristallin.

Paramètres de maille des réseaux direct et réciproque
Système réticulaire Réseau direct Réseau réciproque
Triclinique
Paramètres calculables par G*=G−1
Monoclinique
Orthorhombique
Tétragonal
Rhomboédrique
Hexagonal
Cubique

Dans le système réticulaire hexagonal, l'angle γ* entre les vecteurs a* et b* du réseau réciproque ne vaut pas 120° mais 60°. Le réseau réciproque appartient quand même au système hexagonal : le changement de base a*'=−a* et b*'=−b* conduit à γ*'=120°.

Rangées réticulaires

Définition

Une rangée réticulaire ou direction d'un réseau représente un ensemble de droites parallèles qui passent chacune par au moins deux nœuds du réseau.

Elle est définie par un vecteur primitif t tel que

où les indices de la rangée u, v et w sont des nombres entiers premiers entre eux : comme une rangée contient au moins deux nœuds, son vecteur primitif est un vecteur du réseau. Ce vecteur ne définit pas une seule droite dans le réseau mais une infinité de droites parallèles et équivalentes par translations du réseau.

Une rangée dans un cristal s'écrit avec ses indices entre crochets : [uvw]. Si une composante est négative, elle est notée avec un trait au-dessus : par exemple.

Deux rangées [u1 v1 w1] et [u2 v2 w2] sont orthogonales si le produit scalaire de leurs vecteurs primitifs, notés t1 et t2, est nul : t1t2=0. D'autre part, les rangées et sont identiques.

Exemples de rangées.

Plusieurs rangées non parallèles entre elles peuvent être équivalentes à cause de la symétrie du réseau. Elles forment alors une famille de rangées équivalentes, notée <uvw>. Par exemple, la famille <100> désigne les rangées :

  • [100] et [010] dans le système tétragonal (directions a et b) ;
  • [100], [010] et [001] dans le système cubique (directions a, b et c).

Plans réticulaires

Définition

Un plan réticulaire est un plan qui passe par au moins trois nœuds du réseau.

Plan (632).

Un plan réticulaire P est défini par son intersection avec les axes du système de coordonnées. Les coordonnées des points d'intersections sont (xP,0,0), (0,yP,0) et (0,0,zP). Comme le plan P contient des nœuds du réseau, les coordonnées xP, yP et zP sont des nombres rationnels. Dans l'exemple de la figure ci-contre, xP=1, yP=2 et zP=3. Si un plan est parallèle à un axe du système de coordonnées, son intersection avec cet axe a lieu à l'infini : la coordonnée correspondante est .

Les indices de Miller et Laue

En cristallographie, l'utilisation des coordonnées d'intersection n'est pas la seule méthode pour définir un plan d’intersection. Il existe deux autres notations pour définir un plan, qui n'utilisent pas directement les coordonnées xP, yP et zP des points d'intersection du plan avec les axes. Elles s'appellent respectivement les indices de « indices de Miller » ou « indices de Laue ». La différence entre les deux est expliquée dans les sections suivantes.

Dans les deux cas, un plan réticulaire est noté par trois indices qui sont des nombres entiers. Les trois indices sont notés h, k et l et sont écrit entre parenthèses : (hkl). Comme pour les rangées, si un indice est négatif, il est écrit avec un trait au-dessus. Le contexte d'utilisation des indices h, k et l permet de distinguer entre indice de Miller et indice de Laue.

Les indices de Miller

Les indices de Miller d'un plan P sont des nombres entiers premiers entre eux. Ils sont définis à partir des coordonnées xP, yP et zP des points d'intersection du plan avec les axes du système de coordonnées. La procédure pour calculer ces indices est la suivante :

  • La première étape pour obtenir les indices de Miller consiste à inverser les coordonnées des points d'intersection : 1/xP, 1/yP et 1/zP. Si le plan est parallèle à un axe, l'indice correspondant est égal à 0.
  • Ensuite, pour obtenir des indices h, k et l entiers, il suffit de multiplier les inverses des coordonnées par le produit de leurs dénominateurs.
  • Si les indices obtenus ne sont pas premiers entre eux, il faut ensuite les diviser par leur plus grand diviseur commun.

Dans l'exemple de la figure, les inverses des coordonnées sont donnés par 1/xP=1/1=1, 1/yP=1/2 et 1/zP=1/3. Leur produit vaut 6 : on obtient h=6, k=3 et l=2. Ils sont premiers entre eux, ce qui fait qu'on n'a pas à faire de manipulations en plus. Le plan P est donc le plan (632).

Du fait de la périodicité du réseau, (hkl) désigne en réalité une infinité de plans parallèles entre eux, dont un passe toujours par l'origine.

Plusieurs plans d'indices de Miller différents peuvent être équivalents par symétrie. Ils forment alors une famille de plans équivalents, notée avec des accolades : {hkl}. Par exemple, la famille {100} désigne les plans :

  • et dans le système orthorhombique ;
  • et dans la famille tétragonale.

Les indices de Laue

Les indices de Laue sont utilisés pour la diffraction par les cristaux et pour la description des formes cristallines. Alors que les indices de Miller d'un plan sont forcément premiers entre eux, ce n'est pas le cas pour les indices de Laue.

Par exemple, les faces délimitant un cristal de symétrie et de morphologie cubique sont les faces et  : on utilise ici les indices de Laue pour distinguer les faces opposées du cristal. Les faces et sont des faces parallèles mais différentes du cristal, alors que les plans réticulaires et sont identiques et sont notés avec les indices de Miller.

Notation de Miller-Bravais

Dans le système réticulaire hexagonal, on utilise parfois quatre indices pour désigner un plan : (hkil). L'introduction du quatrième indice i n'est pas nécessaire puisque trois indices suffisent pour désigner un plan, mais elle est utile pour trouver facilement les plans équivalents entre eux par symétrie.

L'indice i est défini par i=−(h+k).

Dans le système hexagonal, il existe trois rangées équivalentes par symétrie, les rangées et . Les vecteurs primitifs de ces trois rangées sont les vecteurs a1=a, a2=b et a3=−(a+b), respectivement. À vecteur c égal, il existe trois possibilités équivalentes pour choisir les vecteurs de base de la maille conventionnelle : {a1, a2, c}, {a2, a3, c} et {a3, a1, c}.

Indices de Miller-Bravais.

Les rangées et étant équivalentes, les plans qui leur sont perpendiculaires, par exemple, sont aussi équivalents. Ces plans ont pour indices de Miller et .

Les indices de Miller-Bravais permettent de retrouver simplement par permutations circulaires dans le plan (a, b) les indices des plans équivalents :

  • le plan est perpendiculaire à la rangée  ;
  • le plan est perpendiculaire à la rangée  ;
  • le plan est perpendiculaire à la rangée

Rangée perpendiculaire à un plan

Un plan (hkl) coupe les directions a, b et c aux points A, B et C de coordonnées (1/h,0,0), (0,1/k,0) et (0,0,1/l), respectivement. Soient t1=AB et t2=AC deux vecteurs contenus dans ce plan :

Par définition, le produit vectoriel t1t2 est perpendiculaire aux vecteurs t1 et t2, donc au plan (hkl). Ce produit vectoriel s'écrit :

puisque aa est nul et le produit vectoriel est anticommutatif. Le vecteur t1t2 n'est pas un vecteur de réseau car ses composantes ne sont généralement pas des nombres entiers. On reconnaît dans son expression les vecteurs de base a*, b* et c* du réseau réciproque :

En multipliant les deux membres de l'égalité par , on obtient l'expression d'un vecteur du réseau réciproque, noté H :

Le vecteur H de composantes (h,k,l) du réseau réciproque définit la rangée perpendiculaire au plan (hkl). Les composantes de H ainsi calculées sont des nombres entiers qui ne sont pas forcément premiers entre eux.

Exemples :

  • dans le système hexagonal, la rangée perpendiculaire au plan (100) est la rangée [100]* du réseau réciproque, de vecteur primitif a* : il s'agit de la rangée [210] dans le réseau direct. Le plan (100) n'est donc pas perpendiculaire à la rangée [100] du réseau direct dans le système hexagonal ;
  • dans le système cubique, la rangée perpendiculaire au plan (100) est également parallèle à a* dans le réseau réciproque, qui est parallèle à a : il s'agit de la rangée [100] dans le réseau direct. Ici, le plan (100) est perpendiculaire à la rangée [100] du réseau direct.

Réciproquement, un plan du réseau réciproque est noté (uvw)* et a pour rangée perpendiculaire la rangée [uvw] du réseau direct.

Équation d'un plan

Une rangée [uvw] de vecteur primitif t est parallèle au plan (hkl) si elle est perpendiculaire au vecteur H déterminé dans la section précédente. Cette condition se traduit par :

soit, puisque  :

Cette équation est l'équation du plan (hkl) passant par l'origine. Tout nœud du réseau direct de coordonnées (u,v,w) appartient à ce plan réticulaire si il satisfait à cette équation.

Le plan le plus proche de l'origine parmi l'ensemble des plans parallèles (hkl) a pour équation

Il coupe les directions a, b et c en 1/h, 1/k et 1/l respectivement.

De façon générale, l'équation d'un plan s'écrit

n est un nombre entier représentant l'ordre du plan dans la famille de plans réticulaires considérée.

Distance interréticulaire

Définition

La distance interréticulaire dhkl est la plus courte distance qui sépare deux plans réticulaires d'une même famille {hkl}.

Elle est égale à l'inverse de la norme du vecteur H perpendiculaire aux plans (hkl) :

Dans le cas général du système cristallin triclinique, on obtient

ou, en fonction des paramètres de maille du réseau direct

Plus les indices h, k et l d'un plan sont petits, plus la distance dhkl entre les plans de la famille {hkl} est grande.

La distance interréticulaire est souvent donnée sous sa « forme quadratique » :

Angle entre deux plans

L'angle θ entre deux plans (h1k1l1) et (h2k2l2) est égal à l'angle entre les vecteurs H1 et H2 qui leur sont perpendiculaires.

Dans le système cubique par exemple, les rangées perpendiculaires aux plans (100) et (111) sont [100]* et [111]*. Le tenseur métrique du réseau réciproque est G*=a*2×II est la matrice identité de rang 3. On a donc

et l'angle θ entre les plans (100) et (111) vaut

Zones

Définition

Une zone est une rangée réticulaire commune à au moins deux plans réticulaires.

D'après l'équation d'un plan, une zone [uvw] appartient aux plans (h1k1l1) et (h2k2l2) si elle remplit simultanément les conditions :

Les composantes de la rangée [uvw] sont des nombres entiers premiers entre eux qui satisfont les relations

La rangée [uvw] est appelée dans ce cas « axe de zone ». Les plans ayant un axe de zone en commun sont des « plans tautozonaux » ou « plans en zone ». Les normales à ces plans sont toutes parallèles au plan orthogonal à l'axe de zone, qui est le « plan zonal ».

Trois plans d'indices de Miller (h1k1l1), (h2k2l2) et (h3k3l3) sont tautozonaux si le déterminant de la matrice formée par leurs indices est nul.

Par exemple, dans tout système cristallin, les plans (100), (010), (110) et (210), entre autres, sont parallèles à la rangée [001], qui est l'axe de zone de ces plans. Les plans (hk0) sont des plans tautozonaux. Leurs normales sont parallèles au plan zonal (001)*.

Le volume d'une maille

Dans l'espace à deux dimensions, le volume de la maille est donné par la norme du produit vectoriel des deux vecteurs de base :

, où le symbole représente le produit vectoriel.

Dans l'espace à trois dimensions, le volume de la maille est le produit mixte des vecteurs de base, en respectant l'ordre des vecteurs du trièdre direct :

Ou encore :

Le choix de former un trièdre direct avec les vecteurs de base se comprend par cette définition du volume de la maille : un volume est toujours positif.

Le volume d'une maille est aussi égal à la racine carrée du déterminant du tenseur métrique. Dans le cas à trois dimensions, cela donne :

Dans l'espace à deux dimensions, cela donne :

Le volume d'une maille multiple

Pour un même réseau, une maille contenant N nœuds a un volume N fois plus grand que celui de la maille primitive. Cela peut se comprendre intuitivement en comparant les aires des triangles formés dans la figure précédente. Une démonstration plus rigoureuse consiste à calculer les volumes des deux mailles. Dans l'exemple de la maille bidimensionnelle centrée, soient Vp et Vc les volumes des mailles primitive et double, respectivement :

Les vecteurs de base ac et bc de la maille double peuvent être exprimés en fonction des vecteurs de base ap et bp de la maille primitive :

Le volume de la maille double s'écrit donc :


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