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===Exercices sur les séries de puissances===
=== Exercices sur les séries de puissances ===
1.
1.
:(a) <math> S = 1 - z + z^2 - z^3 + z^4 - z^5 + ... </math>
:(a) <math> S = 1 - z + z^2 - z^3 + z^4 - z^5 + ... </math>
Ligne 45 :
Ligne 45 :
:(c)<math>\frac{z^2 - 1}{1 + 3z^3} </math>
:(c)<math>\frac{z^2 - 1}{1 + 3z^3} </math>
====Exercices sur les relations de récurrence linéaire====
==== Exercices sur les relations de récurrence linéaire ====
<blockquote style="padding: 1em; border: 2px dotted purple;">
<blockquote style="padding: 1em; border: 2px dotted purple;">
Cette partie contient seulement des réponses imcomplètes.
Cette partie contient seulement des réponses imcomplètes.
Ligne 101 :
Ligne 101 :
:<math>x_n = \frac{\Phi^{n+1} - (-\varphi)^{n+1}}{\sqrt{5}}</math>
:<math>x_n = \frac{\Phi^{n+1} - (-\varphi)^{n+1}}{\sqrt{5}}</math>
===Exercices sur le dénombrement avancé===
=== Exercices sur le dénombrement avancé ===
1.
1.
Nous savons que
Nous savons que
Ligne 115 :
Ligne 115 :
:<math>T_k = {i+2 \choose i}</math>
:<math>T_k = {i+2 \choose i}</math>
===Exercices sur la *dérivation*===
=== Exercices sur la *dérivation* ===
1.
1.
:<math>f'(z) = \lim_{h \to 0}\frac{1} {(1 - (z + h))^2}-\frac{1} {(1 - z)^2} =</math>
:<math>f'(z) = \lim_{h \to 0}\frac{1} {(1 - (z + h))^2}-\frac{1} {(1 - z)^2} =</math>
Version du 17 novembre 2006 à 09:47
Ces solutions n'ont pas été écrites par l'auteur du reste du livre. Elles sont simplement les réponses que je pense être correctes alors que je faisais les exercices. J'espère que ces réponses sont utiles pour quelqu'un et que mon travail sera corrigé si j'ai fait une faute
Exercices sur les séries de puissances
1.
(a)
S
=
1
−
z
+
z
2
−
z
3
+
z
4
−
z
5
+
.
.
.
{\displaystyle S=1-z+z^{2}-z^{3}+z^{4}-z^{5}+...}
z
S
=
z
−
z
2
+
z
3
−
z
4
+
z
5
−
.
.
.
{\displaystyle zS=z-z^{2}+z^{3}-z^{4}+z^{5}-...}
(
1
+
z
)
S
=
1
{\displaystyle (1+z)S=1}
S
=
1
1
+
z
{\displaystyle S={\frac {1}{1+z}}}
(b)
S
=
1
+
2
z
+
4
z
2
+
8
z
3
+
16
z
4
+
32
z
5
+
.
.
.
{\displaystyle S=1+2z+4z^{2}+8z^{3}+16z^{4}+32z^{5}+...}
2
z
S
=
2
z
+
4
z
2
+
8
z
3
+
16
z
4
+
32
z
5
+
.
.
.
{\displaystyle 2zS=2z+4z^{2}+8z^{3}+16z^{4}+32z^{5}+...}
(
1
−
2
z
)
S
=
1
{\displaystyle (1-2z)S=1}
S
=
1
1
−
2
z
{\displaystyle S={\frac {1}{1-2z}}}
(c)
S
=
z
+
z
2
+
z
3
+
z
4
+
z
5
+
.
.
.
{\displaystyle S=z+z^{2}+z^{3}+z^{4}+z^{5}+...}
z
S
=
z
2
+
z
3
+
z
4
+
z
5
+
.
.
.
{\displaystyle zS=z^{2}+z^{3}+z^{4}+z^{5}+...}
(
1
−
z
)
S
=
z
{\displaystyle (1-z)S=z}
S
=
z
1
−
z
{\displaystyle S={\frac {z}{1-z}}}
(d)
S
=
3
−
4
z
+
4
z
2
−
4
z
3
+
4
z
4
−
4
z
5
+
.
.
.
{\displaystyle S=3-4z+4z^{2}-4z^{3}+4z^{4}-4z^{5}+...}
z
(
S
+
1
)
=
4
z
−
4
z
2
+
4
z
3
−
4
z
4
+
4
z
5
−
.
.
.
{\displaystyle z(S+1)=4z-4z^{2}+4z^{3}-4z^{4}+4z^{5}-...}
S
+
z
(
S
+
1
)
=
3
{\displaystyle S+z(S+1)=3}
S
+
z
S
+
z
=
3
{\displaystyle S+zS+z=3}
(
1
+
z
)
S
=
3
−
z
{\displaystyle (1+z)S=3-z}
S
=
3
−
z
1
+
z
{\displaystyle S={\frac {3-z}{1+z}}}
2.
(a)
S
=
1
1
+
z
{\displaystyle S={\frac {1}{1+z}}}
S
=
1
1
−
−
z
{\displaystyle S={\frac {1}{1--z}}}
S
=
1
−
x
+
x
2
−
x
3
+
x
4
−
x
5
+
.
.
.
{\displaystyle S=1-x+x^{2}-x^{3}+x^{4}-x^{5}+...}
f
(
n
)
=
(
−
1
)
n
{\displaystyle f(n)=(-1)^{n}}
(b)
S
=
z
3
1
−
z
2
{\displaystyle S={\frac {z^{3}}{1-z^{2}}}}
(
1
−
z
2
)
S
=
z
3
{\displaystyle (1-z^{2})S=z^{3}}
S
=
z
3
+
z
5
+
z
7
+
z
9
+
.
.
.
{\displaystyle S=z^{3}+z^{5}+z^{7}+z^{9}+...}
f
(
n
)
=
1
;
pour n
≥
2
et pair
{\displaystyle f(n)=1;{\mbox{pour n}}\geq 2{\mbox{ et pair}}}
f
(
n
)
=
0
;
pour n impair
{\displaystyle f(n)=0;{\mbox{pour n impair}}}
2c contient seulement l'exercice et non la réponse pour le moment
(c)
z
2
−
1
1
+
3
z
3
{\displaystyle {\frac {z^{2}-1}{1+3z^{3}}}}
Exercices sur les relations de récurrence linéaire
Cette partie contient seulement des réponses imcomplètes.
1.
x
n
=
2
x
n
−
1
−
1
;
pour n
≥
1
x
0
=
1
{\displaystyle {\begin{matrix}x_{n}&=&2x_{n-1}&-&1;\ {\mbox{pour n}}\geq 1\\x_{0}&=&1\end{matrix}}}
Soit G(z) la série de puissances de la suite décrite ci-dessus.
G
(
z
)
=
x
0
+
x
1
z
+
x
2
z
2
+
.
.
.
{\displaystyle G(z)=x_{0}+x_{1}z+x_{2}z^{2}+...}
(
1
−
2
z
)
G
(
z
)
=
x
0
+
(
x
1
−
2
x
0
)
z
+
(
x
2
−
2
x
1
)
z
2
+
.
.
.
{\displaystyle (1-2z)G(z)=x_{0}+(x_{1}-2x_{0})z+(x_{2}-2x_{1})z^{2}+...}
(
1
−
2
z
)
G
(
z
)
=
1
−
z
−
z
2
−
z
3
−
z
4
−
.
.
.
{\displaystyle (1-2z)G(z)=1-z-z^{2}-z^{3}-z^{4}-...}
(
1
−
2
z
)
G
(
z
)
=
1
−
z
(
1
+
z
+
z
2
+
.
.
.
)
{\displaystyle (1-2z)G(z)=1-z(1+z+z^{2}+...)}
(
1
−
2
z
)
G
(
z
)
=
1
−
z
1
−
z
{\displaystyle (1-2z)G(z)=1-{\frac {z}{1-z}}}
(
1
−
2
z
)
G
(
z
)
=
1
−
2
z
1
−
z
{\displaystyle (1-2z)G(z)={\frac {1-2z}{1-z}}}
G
(
z
)
=
1
1
−
z
{\displaystyle G(z)={\frac {1}{1-z}}}
x
n
=
1
{\displaystyle x_{n}=1}
2.
3
x
n
=
−
4
x
n
−
1
+
x
n
−
2
;
pour n
≥
2
x
0
=
1
x
1
=
1
{\displaystyle {\begin{matrix}3x_{n}&=&-4x_{n-1}&+&x_{n-2};\ {\mbox{pour n}}\geq 2\\x_{0}&=&1\\x_{1}&=&1\\\end{matrix}}}
Soit G(z) la série de puissances de la suite décrite ci-dessus.
G
(
z
)
=
x
0
+
x
1
z
+
x
2
z
2
+
.
.
.
{\displaystyle G(z)=x_{0}+x_{1}z+x_{2}z^{2}+...}
(
3
+
4
z
−
z
2
)
G
(
z
)
=
3
x
0
+
(
3
x
1
+
4
x
0
)
z
+
(
3
x
2
+
4
x
1
−
x
0
)
z
2
+
(
3
x
3
+
4
x
2
−
x
1
)
z
3
+
.
.
.
{\displaystyle (3+4z-z^{2})G(z)=3x_{0}+(3x_{1}+4x_{0})z+(3x_{2}+4x_{1}-x_{0})z^{2}+(3x_{3}+4x_{2}-x_{1})z^{3}+...}
(
3
+
4
z
−
z
2
)
G
(
z
)
=
3
x
0
+
(
3
x
1
+
4
x
0
)
z
{\displaystyle (3+4z-z^{2})G(z)=3x_{0}+(3x_{1}+4x_{0})z}
(
3
+
4
z
−
z
2
)
G
(
z
)
=
3
+
7
z
{\displaystyle (3+4z-z^{2})G(z)=3+7z}
G
(
z
)
=
3
+
7
z
−
z
2
+
4
z
+
3
{\displaystyle G(z)={\frac {3+7z}{-z^{2}+4z+3}}}
3. Soit G(z) la série de puissances de la suite décrite ci-dessus.
G
(
z
)
=
x
0
+
x
1
z
+
x
2
z
2
+
.
.
.
{\displaystyle G(z)=x_{0}+x_{1}z+x_{2}z^{2}+...}
(
1
−
z
−
z
2
)
G
(
z
)
=
x
0
+
(
x
1
−
x
0
)
z
+
(
x
2
−
x
1
−
x
0
)
z
2
+
(
x
3
−
x
2
−
x
1
)
z
2
+
.
.
.
{\displaystyle (1-z-z^{2})G(z)=x_{0}+(x_{1}-x_{0})z+(x_{2}-x_{1}-x_{0})z^{2}+(x_{3}-x_{2}-x_{1})z^{2}+...}
(
1
−
z
−
z
2
)
G
(
z
)
=
1
{\displaystyle (1-z-z^{2})G(z)=1}
G
(
z
)
=
1
1
−
z
−
z
2
{\displaystyle G(z)={\frac {1}{1-z-z^{2}}}}
G
(
z
)
=
−
1
z
2
+
z
−
1
{\displaystyle G(z)={\frac {-1}{z^{2}+z-1}}}
Nous voulons factoriser
f
(
z
)
=
z
2
+
z
−
1
{\displaystyle f(z)=z^{2}+z-1}
en
(
z
−
α
)
(
z
−
β
)
{\displaystyle (z-\alpha )(z-\beta )}
, si (z - p) est un facteur de f(z), f(p)=0.
Ainsi,
α
{\displaystyle \alpha \,}
et
β
{\displaystyle \beta \,}
sont les racines de l'équation quadratique
z
2
+
z
−
1
=
0
{\displaystyle z^{2}+z-1=0}
En utilisant la formule quadratique pour trouver les racines :
α
=
5
−
1
2
,
β
=
−
5
+
1
2
{\displaystyle \alpha ={\frac {{\sqrt {5}}-1}{2}},\beta =-{\frac {{\sqrt {5}}+1}{2}}}
En fait, ces deux nombres sont le célèbre nombre d'or et pour rendre les choses simples, nous utilisons les symboles grecs pour le nombres d'or à partir de maintenant.
Note :
5
−
1
2
{\displaystyle {\frac {{\sqrt {5}}-1}{2}}}
est noté
φ
{\displaystyle \varphi \,}
et
5
+
1
2
{\displaystyle {\frac {{\sqrt {5}}+1}{2}}}
est noté
Φ
{\displaystyle \Phi }
G
(
z
)
=
−
1
(
z
−
φ
)
(
z
+
Φ
)
{\displaystyle G(z)={\frac {-1}{(z-\varphi )(z+\Phi )}}}
Par la méthode des fractions partielles :
G
(
z
)
=
1
5
(
z
+
Φ
)
−
1
5
(
z
−
φ
)
{\displaystyle G(z)={\frac {1}{{\sqrt {5}}(z+\Phi )}}-{\frac {1}{{\sqrt {5}}(z-\varphi )}}}
G
(
z
)
=
1
Φ
5
(
z
Φ
+
1
)
−
1
φ
5
(
z
φ
−
1
)
{\displaystyle G(z)={\frac {1}{\Phi {\sqrt {5}}({\frac {z}{\Phi }}+1)}}-{\frac {1}{\varphi {\sqrt {5}}({\frac {z}{\varphi }}-1)}}}
G
(
z
)
=
1
Φ
5
(
1
−
−
φ
z
)
+
1
φ
5
(
1
−
Φ
z
)
{\displaystyle G(z)={\frac {1}{\Phi {\sqrt {5}}(1--\varphi z)}}+{\frac {1}{\varphi {\sqrt {5}}(1-\Phi z)}}}
x
n
=
φ
5
×
(
−
φ
)
n
+
Φ
5
×
Φ
n
{\displaystyle x_{n}={\frac {\varphi }{\sqrt {5}}}\times (-\varphi )^{n}+{\frac {\Phi }{\sqrt {5}}}\times \Phi ^{n}}
x
n
=
Φ
n
+
1
−
(
−
φ
)
n
+
1
5
{\displaystyle x_{n}={\frac {\Phi ^{n+1}-(-\varphi )^{n+1}}{\sqrt {5}}}}
Exercices sur le dénombrement avancé
1.
Nous savons que
T
(
z
)
=
1
(
1
−
z
)
2
=
∑
i
=
0
∞
(
i
+
1
i
)
z
i
=
∑
i
=
0
∞
(
i
+
1
)
z
i
{\displaystyle T(z)={\frac {1}{(1-z)^{2}}}=\sum _{i=0}^{\infty }{i+1 \choose i}z^{i}=\sum _{i=0}^{\infty }(i+1)z^{i}}
Par conséquent
T
(
z
)
=
1
(
1
+
z
)
2
=
∑
i
=
0
∞
(
i
+
1
)
(
−
1
)
i
z
i
{\displaystyle T(z)={\frac {1}{(1+z)^{2}}}=\sum _{i=0}^{\infty }(i+1)(-1)^{i}z^{i}}
Ainsi
T
k
=
(
−
1
)
k
(
k
+
1
)
{\displaystyle T_{k}=(-1)^{k}(k+1)}
2.
a
+
b
+
c
=
m
{\displaystyle a+b+c=m}
T
(
z
)
=
1
(
1
−
z
)
3
=
∑
i
=
0
∞
(
i
+
2
i
)
z
i
{\displaystyle T(z)={\frac {1}{(1-z)^{3}}}=\sum _{i=0}^{\infty }{i+2 \choose i}z^{i}}
Ainsi
T
k
=
(
i
+
2
i
)
{\displaystyle T_{k}={i+2 \choose i}}
Exercices sur la *dérivation*
1.
f
′
(
z
)
=
lim
h
→
0
1
(
1
−
(
z
+
h
)
)
2
−
1
(
1
−
z
)
2
=
{\displaystyle f'(z)=\lim _{h\to 0}{\frac {1}{(1-(z+h))^{2}}}-{\frac {1}{(1-z)^{2}}}=}
lim
h
→
0
1
h
(
1
−
z
)
2
−
(
1
−
(
z
+
h
)
)
2
(
1
−
z
−
h
)
2
(
1
−
z
)
2
=
{\displaystyle \lim _{h\to 0}{\frac {1}{h}}{\frac {(1-z)^{2}-(1-(z+h))^{2}}{(1-z-h)^{2}(1-z)^{2}}}=}
lim
h
→
0
1
h
z
2
−
2
z
+
1
−
(
z
+
h
)
2
+
2
(
z
+
h
)
−
1
(
1
−
z
−
h
)
2
(
1
−
z
)
2
=
{\displaystyle \lim _{h\to 0}{\frac {1}{h}}{\frac {z^{2}-2z+1-(z+h)^{2}+2(z+h)-1}{(1-z-h)^{2}(1-z)^{2}}}=}
lim
h
→
0
1
h
z
2
−
2
z
+
1
−
z
2
−
h
2
−
2
z
h
+
2
z
+
2
h
−
1
(
1
−
z
−
h
)
2
(
1
−
z
)
2
=
{\displaystyle \lim _{h\to 0}{\frac {1}{h}}{\frac {z^{2}-2z+1-z^{2}-h^{2}-2zh+2z+2h-1}{(1-z-h)^{2}(1-z)^{2}}}=}
lim
h
→
0
1
h
−
h
2
−
2
z
h
+
2
h
(
1
−
z
−
h
)
2
(
1
−
z
)
2
=
{\displaystyle \lim _{h\to 0}{\frac {1}{h}}{\frac {-h^{2}-2zh+2h}{(1-z-h)^{2}(1-z)^{2}}}=}
lim
h
→
0
−
h
−
2
z
+
2
(
1
−
z
−
h
)
2
(
1
−
z
)
2
=
{\displaystyle \lim _{h\to 0}{\frac {-h-2z+2}{(1-z-h)^{2}(1-z)^{2}}}=}
−
2
z
+
2
(
1
−
z
)
4
=
{\displaystyle {\frac {-2z+2}{(1-z)^{4}}}=}
−
2
(
1
−
z
)
3
{\displaystyle {\frac {-2}{(1-z)^{3}}}}