« Approfondissements de lycée/SE Infini et processus infinis » : différence entre les versions

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=== Quel est la taille de l'infini ? exercices ===
#Le nombre de nombres pairs est le même que le nombres de nombres naturels parcequ'ils sont tous les deux infinis dénombrables. Vous pouvez voir la bijection. (P veut dire nombres Pairs et N veut dire nombres naturels)
:'''P''' &nbsp; '''N'''
:<math>\infty + C = \infty\,</math> (où C est un ensemble dénombrable infini)
:Vous prenez un article de chaque ensemble (infini ou C) alternativement, ceci fera une nouvelle liste infinie dénombrable également.
=== L'ensemble des nombres rationnels est-il plus grand que N ? exercices ===
1. Pour changer la matrice de Q' vers Q, la première étape dont vous avez besoin est d'enlever les entrées multiples d'un même nombre. Vous pouvez faire ceci en laissant un espace vide dans la table lorsque pgcd(nbhaut,nbbas)&ne;1≠1 parceque lorsque le pgcd n'est pas 1, la fraction peut être simplifiée en divisant le nombre du haut et du bas par le pgcd. Ceci vous donnera la table suivante.
:<math>\begin{matrix}\frac{1}{1} & \frac{1}{2} & \frac{1}{3} & \cdots\\ & & \\\frac{2}{1} & & \frac{2}{3} & \cdots\\ & & \\\frac{3}{1} & \frac{3}{2} & & \cdots\\\vdots & \vdots & \vdots & \ddots\end{matrix}</math>
Maintenant, nous avons seulement besoin d'ajouter zéro à la matrice et nous aurons terminé. Donc, nous ajoutons une ligne verticale pour zéro et nous écrivons l'élément le plus haut (0/1) (prendre le pgcd ne marche pas ici parceque pgcd(0,a)=a). Ceci nous donne la table suivante où nous avons compté toutes les fractions dans la ligne diagonale pour voir que <math>\mathbb{Q}\,</math> est infini dénombrable.
2. Pour montrer que <math> \infty \times \infty = \infty </math>, vous devez faire une table où vous mettez un infini dans la ligne horizontale et un infini dans la ligne verticale. Maintenant, vous pouvez commencer le dénombrement des places dans la table de manière diagonale comme nous l'avons fait pour <math>\mathbb{Q'}\,</math>. Ceci marche parcequ'une table de taille AxB contient A*B places.
 
=== Exercices sur les limites ===
#<math>\lim_{x \to \infty}\frac{3x^2 -4}{2x^2 +x} = \lim_{x \to \infty}(\frac{3x^2}{2x^2 +x} - \frac{4}{2x^2 +x}) = \lim_{x \to \infty}\frac{3x^2}{2x^2 +x} = \frac{3}{2}</math>
#<math>\lim_{x \to \infty}\frac{x^2 -1}{2x^3 +3} = 0</math>
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