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Il existe 13 carreaux dans un jeu de 32 cartes. Donc, il existe <math>13 \choose 5</math> manières.
Il existe 13 carreaux dans un jeu de 32 cartes. Donc, il existe <math>13 \choose 5</math> manières.
:<math> {13 \choose 5} = \frac{13!}{8!5!} = \frac{13\times 12\times 11\times 10 \times 9}{120} = 1287 </math>
:<math> {13 \choose 5} = \frac{13!}{8!5!} = \frac{13\times 12\times 11\times 10 \times 9}{120} = 1287 </math>

[[Catégorie:Livre:Approfondissements de lycée]]

Version du 26 novembre 2006 à 16:45

Approfondissements de lycée

Dénombrement

Nous savons comment compter de manière séquentielle, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 ... Donc, lorsque nous demandons une question comme :

x1 + x2 + x3 = 8
où xn est zéro ou un nombre entier positif. Combien de solutions différentes existe-t'il ?

La réponse naturelle serait d'écrire chaque solution unique et compter combien il en existe. Cette méthode marchera éventuellement mais elle est lente et fastidieuse. Existe-t'il une meilleure méthode plus efficiente ? La réponse est naturellement oui. Avant d'aller plus avant, revenons aux bases d'abord.

Sélection ordonnée

Supposons qu'il y a 20 chansons dans votre collection de Mp3. Vous demandez à votre micro de sélectionner aléatoirement 10 chansons et de les jouer dans l'ordre où elles sont sélectionnées, combien de manières y-a-t'il de sélectionner les 10 chansons ? Ce type de problèmes est appelé dénombrement de sélection ordonnée, puisque l'ordre dans lequel les choses sont sélectionnées est important. C.a.d. si une sélection est

1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 et 10

alors

2, 1, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 et 10

est considérée comme un sélection différente.

Il y a 20 manières de choisir la première chanson puisqu'il y a 20 chansons, puis il y a 19 manières de choisir la deuxième chanson et 18 manières de choisir la troisième... et ainsi de suite. Par conséquent, le nombre total de manière peut être calculé en considérant le produit suivant :

ou noté de manière plus compacte :

Ici, nous utilisons la fonction factorielle, définie par et . (En d'autres mots, )

En général, le nombre de sélections ordonnées de m articles sur n articles est :

L'idée est que nous annulons les annulons tous, sauf les m premiers facteurs du produit n !.

Sélection non-ordonnée

Sur 15 personnes de votre classe de mathématiques, cinq ont été choisies pour représenter la classe dans une compétition de mathématiques. Combien y a-t'il de manières de choisir les cinq étudiants ? Ce problème est appelé un problème de sélection non-ordonnée, i.e. l'ordre dans lequel vous sélectionnez les étudiants n'est pas important. C.a.d. si une sélection est

Jean, Luc, Sylvie, Barbara, Jacques

une autre sélection est

Luc, Jean, Sylvie, Jacques, Barbara

les deux sélections sont considérées équivalentes.

Il existe

manières de choisir les 5 candidats dans une sélection ordonnée, mais il existe 5! permutations des mêmes cinq candidats. (C'est à dire, 5! permutations différentes sont les mêmes combinaisons). Par conséquent, il y a

manières de choisir 5 étudiants pour représenter votre classe.

En général, pour choisir (sélection non-ordonnée) m candidats à partir de n, il existe

manières. Nous avons donné la formule pour les sélections ordonnées de m candidats à partir de n, puis, nous avons divisé par m! parceque chaque sélection non-ordonnée était comptée comme m! sélections ordonnées.

Exemples

Exemple 1 De combien de manières différentes les lettres du mot BOOK peuvent-elles être arrangées ?

Solution 1 4! manières si les lettres sont toutes distinctes. Puisque O est répétée deux fois, il existe 2! permutations. Par conséquent, il existe 4!/2! = 12 manières.

Exemple 2 Combien existe-t'il de manières de choisir 5 carreaux d'un jeu de 32 cartes ?

Solution 2 Il existe 13 carreaux dans un jeu de 32 cartes. Donc, il existe manières.