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==== Les rationnels ====
==== Les rationnels ====
L'ensemble de toutes les fractions du type <math>\frac{a}{b}</math> où a et b sont des entiers relatifs, b étant non nul s'appelle l'ensemble des nombres rationnels. Il est noté <math>\mathbb{Q}</math>.
L'ensemble de toutes les fractions du type <math>\frac{a}{b}</math> où <math>a</math> et <math>b</math> sont des entiers relatifs, b étant non nul s'appelle l'ensemble des nombres rationnels. Il est noté <math>\mathbb{Q}</math>.


Par exemple 4/3, 10/3 et -8/11 sont des éléments de <math>\mathbb{Q}</math>.
Par exemple 4/3, 10/3 et -8/11 sont des éléments de <math>\mathbb{Q}</math>.

Version du 25 juin 2007 à 14:08

Effectuer des calculs

Comprendre la notions d'ensemble

Les ensembles sont des regroupement de nombres qui ont une caractéristique commune. Pour différencier les différents types de nombres (ou donc pouvoir les classer dans des ensembles), on a recourt à des définitions.

Un ensemble est défini par une règle qui permet de dire, lorsque l'on a un nombre en tête, si ce nombre appartient ou n'appartient pas à cet ensemble. De même, dans l'autre sens, cette règle permet de décrire tous les nombres qui le compose.

Enfin, les mathématiciens, pour gagner du temps lorsqu'ils écrivent leurs équations, ont inventés un système d'écriture spécifique à la désignation des ensembles.

Exemple : l'ensemble des "entiers naturels" . Qu'est ce qu'un "entier naturel" ? Et qu'est que ?

  • Le terme ensemble des entiers naturels est le nom de l'ensemble.
  • Cet ensemble est décrit par la règle suivante : Les nombres entiers positifs obtenus en comptant à partir de 0 forment un ensemble appelé ensemble des entiers naturels. Cela signifie que tous les nombres entiers (un nombre entier est un nombre qui n'a pas de virgule) positifs, ou nuls (mais pas négatifs) sont inclus dans cet ensemble.
  • Enfin, le symbole est le symbole qui représente cet ensemble des entiers naturels dans les équations mathématiques.

A propos des règles : il est important de comprendre, comme dans cet exemple, que les définitions ont souvent des implications cachées : le terme de nombres entiers exclu donc les nombres à virgule. l'expression positifs obtenus en comptant à partir de 0 exclu donc les nombre négatifs. Une règle des règles est la suivante : tout nombre qui n'a pas été explicitement inclu dans l'ensemble est donc exclu de cet ensemble.

Quelques ensembles à connaître

Les entiers naturels

Les nombres entiers positifs obtenus en comptant à partir de 0 forment un ensemble appelé ensemble des entiers naturels. Il est noté .

= {0 , 1 , 2 , 3 ,...}

Les entiers relatifs

Lorsqu'on rajoute à les entiers négatifs, on obtient l'ensemble de tous les entiers, positifs, nul et négatifs. Ce nouvel ensemble est appelé ensemble des entiers relatifs et est noté .

={..., -4, -3, -2, -1, 0 , 1, 2, 3, 4,...}

Les décimaux

L'ensemble des décimaux est l'ensemble des nombres ayant un nombre fini de chiffres après la virgule. Il est noté .

Par exemple 1.567, -6.78 et 789.654 sont des éléments de l'ensemble .

Tous les décimaux peuvent s'écrire sous la forme , les entiers n et p étant des entiers relatifs.

Les rationnels

L'ensemble de toutes les fractions du type et sont des entiers relatifs, b étant non nul s'appelle l'ensemble des nombres rationnels. Il est noté .

Par exemple 4/3, 10/3 et -8/11 sont des éléments de .

Remarque: Les nombres rationnels sont parfois des décimaux commme 2/5=0.4 mais parfois les décimales ne s'arrêtent jamais comme 1/3=0.333333333333........

Les réels

Un nombre peut très bien avoir un nombre infini de chiffres après la virgule. Par exemple le célèbre nombre pi qui vaut 3.1415926....... ne s'arrête jamais. L'ensemble de tous les nombres, postifs ou négatifs avec un nombre quelconque de chiffres après la virgule s'appelle l'ensemble des réels. Il est noté .

Le symbole "appartient à"

Lorsqu'une valeur x appartient à un ensemble quelconque A, on écrit qui se lit "x appartient à A".

Au contraire si x n'appartient pas à A, on écrira

Exemple : l'entier 17 appartient à l'ensemble donc on peut écrire .

Remarque sur l'imbrication des ensembles entre eux

On voit que l'ensemble est composé de l'ensemble , auquel on a rajouté l'ensemble des nombres entiers négatifs. Si on voulait écrire une équation mathématique de cette fabrication, on pourrait écrire :

= + {-1 , -2 , -3, -4, ...}

Donc on voit bien que l'ensemble des nombres entiers positifs, , est inclu dans . On peut donc écrire : .

En revanche, l'ensemble des nombres entiers relatifs comprend bien les nombres entiers positifs, mais aussi d'autres nombres qui ne sont pas inclus dans . On peut donc écrire : Échec de l’analyse (SVG (MathML peut être activé via une extension du navigateur) : réponse non valide(« Math extension cannot connect to Restbase. ») du serveur « http://localhost:6011/fr.wikibooks.org/v1/ » :): {\displaystyle \mathbb{Z} \notin \mathbb{N}} .

Cette remarque est valable pour tous les ensembles :

  • ,
  • ,
  • ,
  • .
  • ,
  • Échec de l’analyse (SVG (MathML peut être activé via une extension du navigateur) : réponse non valide(« Math extension cannot connect to Restbase. ») du serveur « http://localhost:6011/fr.wikibooks.org/v1/ » :): {\displaystyle \mathbb{Z}\in \mathbb{Q}} ,
  • ,
  • etc.

Et dans l'autre sens :

  • ,
  • ,
  • ,
  • .
  • ,
  • ,
  • .
  • etc.

Enfin, une dernière remarque : un ensemble peut être inclus dans lui même : ils sont strictement identiques, donc l'équation n'est pas fausse :

  • ,
  • ,
  • etc.

Pour aller plus loin

L'ensemble des réels n'est pas "le plus grand ensemble qui puisse exister". Les mathématiciens ont inventés des nombres qui ne peuvent plus être représenté physiquement. Ce sont les nombres imaginaires, avec leur notation d'ensemble .

Ces types de nombre sont uniquement utilisés dans des calculs (très) complexes ou la représentation mathématique des nombres est plus simple avec des nombres imaginaires qu'avec des nombres réels (c'est à dire que les écritures mathématiques sont plus simples en utilisant des nombres provenant de "l'ensemble des nombres imaginaires" qu'en utilisant des nombres provenant de l'"ensemble des nombres réels").

Exercices

Pour les valeurs suivantes, indiquez si elles appartiennent ou non à , à , à , à et à .

  • 56
  • -98
  • 6.87
  • 1/3

Calculs sur les entiers

Calculs sans parenthèses

Calculs avec parenthèses

Exercices

Les nombres premiers

Définition

Un nombre premier est un entier naturel n'admettant que deux diviseurs distincts : 1 et lui même. 0 et 1 ne sont pas premiers.

Exemple

13 n'est divisible que par 1 et par lui même (13/1 = 13, 13/13 = 1). On dit que 13 est un nombre premier.

A l'inverse, 12 est divisible par 1, 2, 4, 6 et lui même (12/1 = 12, 12/2 = 2, 12/4 = 3, 12/6 = 2 12/12 = 1). 12 n'est donc pas un nombre premier.

2 - 3 - 5 - 7 - 11 - 13 - 17 - 19 - 23 - 29 - 31 - 37 - 41 sont des nombres premiers.

Théorème

Pour savoir si un entier N est premier, on teste sa divisibilité par tous les nombres premiers inférieurs dont le carré est inférieur à N. Si aucun de ces nombres premiers ne divisent N, alors N est premier, sinon N n'est pas premier.

Prouver qu'un nombre est premier

Exercices

Calculs sur les fractions

Fraction irréductible

Somme de fraction

Soustraction de fraction

Multiplication de fraction

Division de fraction

Calculs en tout genre

Comparaison de fractions

Exercices

Les réels

Les pourcentages

La notation scientifique

En général, on utilise le plus souvent la notation scientifique en Sciences Physiques et Chimie pour une histoire de grands nombres...

RAPPEL:

Une notation scientifique s'écrit sous la forme : où :
: entier relatif compris entre 1 inclus et 10 non inclus
: entier relatif

ATTENTION !! :p est l'exposant de 10 et on le lit "10 puissance p". Ce nombre ne doit pas admettre de chiffres après la virgule c'est-à-dire le nombre 4.56 par exemple ! Il doit impérativement être entier (comme 1,2,3,4,5...)


METTRE UN NOMBRE QUELCONQUE EN NOTATION SCIENTIFIQUE Nous allons mettre un nombre quelconque donné, en notation scientifique. Il n'y a rien de dur : On vas mettre le nombre 420 000 en notation scientifique. (Il faut connaitre comment marchent les puissances de 10 pour réussir à mettre un nombre en notation scientifique !)

Pour mettre le nombre 420 000 en notation scientifique il faut appliquer la propriété qui a été énoncée juste au dessus c'est-à-dire : a X 10p
Donc nous devons déjà trouver le a qui doit etre compris entre 1 et 10. Dans notre cas sa va être le premier chiffre en partant de la gauche c'est-à-dire 4. N'oubliez pas aussi qu'il y a le 2 qu'on vas mettre après une virgule.. Donc nous avons pour le a : 4,2.
Evitez à tout prix de mettre des zéros à la place de a ! Maintenant nous allons mettre la puissance de 10 pour que notre forme convienne au nombre de l'énoncé.
Dans notre cas nous allons faire pas à pas la manière.
Dans le nombre 420 000 nous avons déjà donné la valeur de a qui est : 4,2. Nous allons donc déplacer la virgule en démarrant de 4,2 de sorte qu'elle se trouve à l'endroit où nous auront le nombre 420 000.
Pour cela nous allons compter le nombre de fois qu'on la déplace et nous allons reporter le chiffre à la place de p. DANS NOTRE CAS : nous avons déplacé 5 fois la virgule. DONC la notation scientifique de 420 000 est 4,2 X 105


Les racines carrées

Usage de calculatrices

Les calculatrices sont des outils puissants mais il faut prêter une attention particulière au nombre de chiffres significatifs.

Notion de Chiffres Significatifs

La notion de chiffres significatifs est liée à la précision concernant des mesures physiques. En effet, lorsque par exemple on mesure expérimentalement une distance à l'aide d'une règle graduée on est capable de donner la distance au millimetre près mais rarement mieux. On ne peut donc rien affirmer concernant les µm ( m) et encore moins les nm ( m). Il existe donc une incertitude concernant notre mesure.
La notion de chiffres significatifs permet de mieux coller à la réalité physique de notre monde, c'est pourquoi on l'utilise en physique-chimie.
Le nombre de chiffres que comporte un nombre (excepté les "0" au tout début du nombre) correspond aux nombres de chiffres significatifs de ce nombre.

Exemples:

  • 12,96 possède 4 chiffres significatifs.
  • 012,96 et 0,1296 possèdent aussi 4 chiffres significatifs car un "0" au début du nombre n'est pas un chiffre significatif.
  • 1,9 possède 2 chiffres significatifs.

Application à la physique de la Notion de Chiffres Significatifs

Partons d'un simple cube de 10cm de côté dont on veux vérifier la bonne côte.

En mathématique, un cube de 10 cm de coté est un cube dont le coté mesure exactement 10 cm. C'est un concept, c'est à dire qu'il n'a pas d'existence physique en tant que tel. Donc le cube de 10 cm a bien 10 cm de côté, avec une précision infinie, puisque virtuelle.

En physique, c'est autre chose : le cube existe réellement, et il faut le mesurer. Dire d'un cube qu'il fait 10 cm de coté n'a (presque) pas de sens si on ne défini pas l'échelle de mesure, de laquelle on déduit les chiffres significatifs.

Imaginons qu'on mesure ce cube avec un microscope électronique (précis au minimum au µm ( m)). Si l'on dit, grâce à la mesure au microscope électronique, que le cube fait 10cm de côté, en réalité, on déclare implicitement : "Le cube que nous avons mesuré a une longueur de côté comprise entre 10cm - 0,000001m et 10cm + 0,000001m, c'est à dire entre 9.9999cm et 10.0001cm".

Si l'on mesure ce même cube avec une règle d'écolier, et qu'on déclare "Le cube fait 10cm de côté", on est exact uniquement à l'unité de mesure de notre règle... Donc beaucoup moins précis qu'avec un microscope électronique. On déclare en fait implicitement "Le cube que nous avons mesuré a une longueur de côté comprise entre 10cm - 1mm et 10cm + 1mm, c'est à dire entre 9.9cm et 10.1cm". C'"est déjà nettement moins précis, mais cependant suffisant dans la plupart des cas.

Si l'on mesure maintenant ce même cube (décidément !) avec une vieille règle usée, dont on n'arrive plus à lire les petites graduations, mais uniquement les cm. Si l'on déclare une fois encore "Le cube fait 10cm de côté", on est exact uniquement au cm ! On déclare donc cette fois implicitement "Le cube que nous avons mesuré a une longueur de côté comprise entre 10cm - 1cm et 10cm + 1cm, c'est à dire entre 9 cm et 11 cm". Dans ce cas, la précision est à priori insuffisante.

On voit bien à travers cet exemple du cube de 10 cm de côté que définir la longueur théorique (mathématique), la longueur 'aussi précise que possible' (avec le microscope électronique), la longueur 'en pratique' (avec la règle d'écolier) est en réalité intrinsèquement lié au mode de mesure.


Application de cet exemple de Notion de Chiffres Significatifs aux calculatrices

Imaginons que pour calculer ce côté, vous ayez utilisé votre calculatrice. Elle vous affiche le résultat : 10.00192. Quelle est la bonne valeur ? "10 cm" ? "10.001 cm" ? "10.00192 cm" ?

Aucune de ces trois valeurs n'est la bonne valeur ! Cela dépend entièrement du contexte dans lequel vous avez fait ce calcul. Mais avec un peu de bon sens, vous pourrez deviner que la longueur d'un cube qui sert de cale pour un meuble dans votre salon pourra être écrite sous la forme "10 cm" (une précision supplémentaire est totalement inutile, et irréalisable), alors qu'une pièce cubique qui est le composant essentiel d'un avion pour transmettre correctement les efforts devra être fabriqué avec une tolérance très faible, donc dans ce cas la bonne valeur sera "10.00192 cm".