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(issu de la page [[Savoirs fondamentaux du programme de MPSI/Mathématiques/Nombres complexes et trigonométrie]]) |
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(version originale de la page sur [[Savoirs fondamentaux du programme de MPSI/Mathématiques/Nombres complexes et trigonométrie]]) |
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== Rappels sur les nombres complexes == |
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== Version 1 == |
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* <math>\forall z \in \C, Re(z) = \frac{z+\bar z}2 \text{ et } Im(z) = \frac{z-\bar z}{2i}</math> |
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* <math>\forall z \in \C, Re(z) = \frac{z+\bar z}2 \text{ et } Im(z) = \frac{z-\bar z}{2i}</math> |
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* <math>\mathbf{In\acute{e}galit\acute{e}~triangulaire~:~} |z+z'| \leqslant |z|+|z'|</math> |
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* <math>\mathbf{In\acute{e}galit\acute{e}~triangulaire~:~} |z+z'| \leqslant |z|+|z'|</math> |
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* <math>\mathrm{Pour~tous~r\acute{e}els~} a,b \mathrm{~v\acute{e}rifiant~} a^2+b^2=1 \mathrm{,~il~existe~un~r\acute{e}el~} \theta \mathrm{~tel~que~:~} a = \cos \theta \mathrm{~et~} b = \sin \theta</math> |
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* <math>\mathrm{Pour~tous~r\acute{e}els~} a,b \mathrm{~v\acute{e}rifiant~} a^2+b^2=1 \mathrm{,~il~existe~un~r\acute{e}el~} \theta \mathrm{~tel~que~:~} a = \cos \theta \mathrm{~et~} b = \sin \theta</math> |
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== Rappels sur la trigonométrie == |
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== Version 2 == |
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=== Dérivée des fonctions usuelles === |
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* <math>\forall z \in \C, Re(z) = \frac{z+\bar z}2 \text{ et } Im(z) = \frac{z-\bar z}{2i}</math> |
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* '''Inégalité triangulaire''' : <math>|z+z'| \leqslant |z|+|z'|</math> |
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* <math>\cos'(x) = -\sin(x)</math> |
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* <math>\sin'(x) = \cos(x)</math> |
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* Pour tous réels <math>a,b</math> vérifiant <math>a^2+b^2=1</math>, il existe un réel <math>\theta</math> tel que : <math>a = \cos \theta</math> et <math>b = \sin \theta</math> |
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* <math>\tan'(x) = \frac1{\cos^2(x)} = 1 + \tan^2(x)</math> |
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=== Cosinus, sinus et tangente d'une somme === |
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* <math>\cos(a+b) = \cos(a)\cos(b)-\sin(a)\sin(b)</math> |
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* <math>\cos(a-b) = \cos(a)\cos(b)+\sin(a)\sin(b)</math> |
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* <math>\sin(a+b) = \sin(a)\cos(b)+\cos(a)\sin(b)</math> |
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* <math>\sin(a-b) = \sin(a)\cos(b)-\cos(a)\sin(b)</math> |
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* <math>\tan(a+b) = \frac{\tan(a)+\tan(b)}{1-\tan(a)\tan(b)}</math> |
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* <math>\tan(a-b) = \frac{\tan(a)-\tan(b)}{1+\tan(a)\tan(b)}</math> |
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=== Produit de cosinus, sinus ou tangente === |
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* <math>\cos(a)\cos(b) = \frac12 (\cos(a-b)+\cos(a+b))</math> |
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* <math>\sin(a)\sin(b) = \frac12 (\cos(a-b)-\cos(a+b))</math> |
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* <math>\sin(a)\cos(b) = \frac12 (\sin(a+b)+\sin(a-b))</math> |
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* <math>\cos(a)\sin(b) = \frac12 (\sin(a+b)-\sin(a-b))</math> |
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=== Somme de cosinus, sinus ou tangente === |
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* <math>\sin(p)+\sin(q) = 2 \sin(\frac{p+q}2)\cos(\frac{p-q}2)</math> |
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* <math>\sin(p)-\sin(q) = 2 \cos(\frac{p+q}2)\sin(\frac{p-q}2)</math> |
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* <math>\cos(p)+\cos(q) = 2 coq(\frac{p+q}2)\cos(\frac{p-q}2)</math> |
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* <math>\cos(p)-\cos(q) = -2 \sin(\frac{p+q}2)\sin(\frac{p-q}2)</math> |
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=== Formules de duplication === |
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* <math>\cos(2x) = \cos^2(x)-\sin^2(x) = 2\cos^2(x)-1 = 1-2\sin^2(x)</math> |
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* <math>\sin(2x) = 2\sin(x)\cos(x)</math> |
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* <math>\tan(2x) = \frac{2 \tan(x)}{1-\tan^2(x)}</math> |
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=== Formules de linérisation === |
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* <math>\cos^2(x) = \frac{1+\cos(2x)}2</math> |
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* <math>\sin^2(x) = \frac{1-\cos(2x)}2</math> |
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=== Substitution de la tangente === |
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<math>\mathrm{On~pose~} t = \tan(\frac{x}2)</math> |
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* <math>\sin(x) = \frac{2t}{1+t^2}</math> |
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* <math>\cos(x) = \frac{1-t^2}{1+t^2}</math> |
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* <math>\tan(x) = \frac{2t}{1-t^2}</math> |
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== Formules avancées == |
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=== Formule d'Euler === |
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* <math>\textstyle \cos(x) = Re(e^{i\theta}) = \frac{e^{i\theta}+e^{-i\theta}}2</math> |
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* <math>\textstyle \sin(x) = Im(e^{i\theta}) = \frac{e^{i\theta}-e^{-i\theta}}{2i}</math> |
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* <math>\mathbf{Remarque~:} \mathrm{~On~utilisera~ces~deux~formules~pour~lin\acute{e}ariser~des~expressions~de~la~forme~} \cos^p(\theta)+\sin^n(\theta)</math> |
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=== Formule de Moivre === |
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* <math>\mathrm{Soient~} \theta \in \R \mathrm{~et~} n \in \N \mathrm{,~alors~:}</math><br /><math>\cos(n\theta)+i\sin(n\theta) = e^{in\theta} = (e^{i\theta})^n = (\cos\theta+i\sin\theta)^n</math> |
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=== Binôme de Newton === |
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* <math>\mathrm{Rappel~:~} \binom{n}{k} = \frac{n!}{k!(n-k)!}</math> |
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* <math>\mathrm{Soient~} a, b \mathrm{~des~nombres~r\acute{e}els~ou~complexes~et~} n \mathrm{~un~entier~naturel}</math><br /><math>(a+b)^n = \sum_{k=0}^n \binom{n}{k} a^k b^{n-k} = \sum_{k=0}^n \binom{n}{k} a^{n-k} b^k</math> |
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=== Application du binôme === |
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* <math>\mathrm{Soient~} \theta \in \R \mathrm{~et~} n \in \N \mathrm{,~alors~:}</math><br /><math>\cos(n\theta) = \sum_\overset{k=0}{\text{k pair}}^\overset{{\color{White}n}}{n} \binom{n}{k} \cos^{n-k}(\theta) i^k \sin^k(\theta)</math> <br /><math>\sin(n\theta) = \frac12 \sum_\overset{k=0}{\text{k impair}}^\overset{{\color{White}n}}{n} \binom{n}{k} \cos^{n-k}(\theta) i^k \sin^k(\theta)</math> |
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== Racines n{{ième}} d'un nombre complexe d'équations du second degré == |
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Rappels sur les nombres complexes
Rappels sur la trigonométrie
Dérivée des fonctions usuelles
Cosinus, sinus et tangente d'une somme
Produit de cosinus, sinus ou tangente
Somme de cosinus, sinus ou tangente
Formules de duplication
Formules de linérisation
Substitution de la tangente
Formules avancées
Formule d'Euler
Formule de Moivre
Binôme de Newton
Application du binôme
Racines nième d'un nombre complexe d'équations du second degré