« Savoirs fondamentaux du programme de MPSI/Mathématiques/Fonctions usuelles » : différence entre les versions
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=== Dérivabilité === |
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==== Définition ==== |
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* On dit que <math>f</math> est dérivable en <math>\scriptstyle a \in I</math> si <math>\scriptstyle \lim_{h \to 0} \frac{f(a+h)-f(a)}h</math> existe. <br />Dans ce cas, on note <math>f'(a)</math> ce nombre réel appelé ''le nombre dérivé de <math>f</math> en <math>a</math>''. |
* On dit que <math>f</math> est dérivable en <math>\scriptstyle a \in I</math> si <math>\scriptstyle \lim_{h \to 0} \frac{f(a+h)-f(a)}h</math> existe. <br />Dans ce cas, on note <math>f'(a)</math> ce nombre réel appelé ''le nombre dérivé de <math>f</math> en <math>a</math>''. |
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* On dit que <math>f</math> est dérivable sur un intervalle <math>I</math> si <math>f</math> est dérivable en tout point de <math>I</math>. <br />Dans ce cas, on appelle ''dérivée de <math>f</math>'' la fonction <math>f' : \begin{array}{llll} _{I \rightarrow \R} \\ ^{x \rightarrow f'(x)} \end{array}</math>. |
* On dit que <math>f</math> est dérivable sur un intervalle <math>I</math> si <math>f</math> est dérivable en tout point de <math>I</math>. <br />Dans ce cas, on appelle ''dérivée de <math>f</math>'' la fonction <math>f' : \begin{array}{llll} _{I \rightarrow \R} \\ ^{x \rightarrow f'(x)} \end{array}</math>. |
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==== Propriété sur la composition de fonctions ==== |
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* Soit <math>\scriptstyle g : J \rightarrow \R</math> une fonction où <math>J</math> est un intervalle tel que <math>\scriptstyle f(I) \subset J</math>. |
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* Si <math>f</math> est dérivable sur <math>I</math> et <math>g</math> dérivable sur <math>J</math>, alors : <br /><math>g \circ f : \begin{array}{llll} _{I \rightarrow \R} \\ ^{x \rightarrow g[f(x)]} \end{array}</math> est dérivable sur <math>I</math> et <math>\scriptstyle (g \circ f)' = (g' \circ f) \cdot f'</math> |
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==== Propriété sur l'inverse d'une fonction ==== |
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* Soit <math>\scriptstyle f : I \rightarrow \R</math> une fonction continue strictement monotone. |
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*# Si <math>f</math> est dérivable en <math>\scriptstyle a \in I</math>, <math>f^{-1}</math> est dérivable au point <math>f(a)</math> si et seulement si <math>\scriptstyle f'(a) \neq 0</math>, et on a alors : <math>f^{-1}'(f(a)) = \frac1{f'(a)}</math> |
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=== Propriétés utiles sur les variations === |
=== Propriétés utiles sur les variations === |
Version du 29 décembre 2010 à 14:22
Généralités
Notions d'injection, de surjection et de bijection
Définitions
- On dit que la fonction est injective si :
- On dit que la fonction est surjective si :
- On dit que la fonction est dite bijective si elle est à la fois injective et surjective, donc si :
Bijection réciproque
- Si est bijective, on appelle bijection réciproque de l'application
où est l'unique antécédent de par .
Continuité
- Soit et une fonction. On dit que est continue en si
- De manière équivalente, est continue en si et seulement si, pour toute suite qui converge, la suite converge vers .
Dérivabilité
Définition
- On dit que est dérivable en si existe.
Dans ce cas, on note ce nombre réel appelé le nombre dérivé de en . - On dit que est dérivable sur un intervalle si est dérivable en tout point de .
Dans ce cas, on appelle dérivée de la fonction .
Propriété sur la composition de fonctions
- Soit une fonction où est un intervalle tel que .
- Si est dérivable sur et dérivable sur , alors :
est dérivable sur et
Propriété sur l'inverse d'une fonction
- Soit une fonction continue strictement monotone.
- Si est dérivable en , est dérivable au point si et seulement si , et on a alors : Échec de l’analyse (Erreur de conversion. Le serveur (« https://wikimedia.org/api/rest_ ») a indiqué : « Cannot get mml. TeX parse error: Prime causes double exponent: use braces to clarify »): {\displaystyle f^{-1}'(f(a))={\frac {1}{f'(a)}}}
Propriétés utiles sur les variations
Variations de fonctions
- On dit que est croissante si :
- On dit que est strictement croissante si :
- On dit que est décroissante si :
- On dit que est strictement décroissante si :
Cas de stricte monotonie
- Si est strictement monotone, alors est injective.
- En particulier, si elle est continue, est bijective.
- De plus, est strictement monotone de même sens que .
Théorème
- Soit une fonction continue strictement monotone. Alors :
- est un intervalle,
- est une bijection de sur ,
- est continue et strictement monotone de même sens que .