« Cristallographie géométrique/Symétrie de corps simples et molécules » : différence entre les versions

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== Tétraèdre ==
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Un exemple de molécule de symétrie tétraédrique est la molécule de [[Chimie organique/Alcanes Cycloalcanes/Méthane|méthane]] CH{{ind|4}}, représentée dans les figures b) et c) ci-dessous. L'atome de carbone est situé au centre de la molécule et les atomes d'hydrogène forment les sommets d'un tétraèdre autour du carbone.
Un exemple de molécule de symétrie tétraédrique est la molécule de [[Chimie organique/Alcanes Cycloalcanes/Méthane|méthane]] CH{{ind|4}}, représentée dans les figures b) et c) ci-dessous. L'atome de [[w:Carbone|carbone]] est situé au centre de la molécule et les atomes d'[[w:Hydrogène|hydrogène]] forment les sommets d'un tétraèdre autour du carbone.
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== Octaèdre ==
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Un exemple d'anion de symétrie octaédrique est l'anion ferricyanide [Fe(CN){{ind|6}}]{{exp|3−}}, représenté dans la figure c) ci-dessous. L'atome de fer est situé au centre de l'anion.
Un exemple d'anion de symétrie octaédrique est l'anion ferricyanide [Fe(CN){{ind|6}}]{{exp|3−}}, représenté dans la figure c) ci-dessous. L'atome de [[w:Fer|fer]] est situé au centre de l'anion.
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== Éthane {{fchim|C|2|H|6}} ==
== Éthane {{fchim|C|2|H|6}} ==
La molécule d'[[Chimie organique/Alcanes Cycloalcanes/Éthane|éthane]] {{fchim|C|2|H|6}} possède deux atomes de carbone liés par une liaison simple et six atomes d'hydrogène, trois par atome de carbone. Les longueurs de liaison sont {{unité|1.54|Å}} pour la liaison C—C et {{unité|1.09|Å}} pour la liaison C—H<ref>{{en}} J.L. Duncan, D.C. McKean et A.J. Bruce, « Infrared spectroscopic studies of partially deuterated ethanes and the r{{ind|0}}, r{{ind|z}}, and r{{ind|e}} structures », dans ''Journal of Molecular Spectroscopy'', {{vol.}}74, {{numéro}}3, 1979, {{p.}}361–374 [http://dx.doi.org/10.1016%2F0022-2852%2879%2990160-7 lien DOI]</ref>. L'angle entre les liaisons d'un atome de carbone est 109,5°, proche de l'angle central du tétraèdre. La molécule peut se trouver dans plusieurs configurations géométriques possibles, qui se distinguent par leurs énergies.
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Nous nous intéressons ici à la configuration de plus basse énergie, donc la plus stable, pour laquelle les atomes d'hydrogène d'un carbone sont placés de façon à minimiser les interactions électrostatiques répulsives avec les atomes d'hydrogène de l'autre carbone. Dans la vue le long de la liaison C—C de la figure b) ci-dessous, les atomes d'hydrogène d'un carbone sont situés entre ceux de l'autre carbone. La molécule possède un seul élément de symétrie, un axe de roto-inversion d'ordre 3 parallèle à la liaison C—C, et est donc centrosymétrique. Elle appartient ainsi au système trigonal.

Le groupe ponctuel de symétrie de la molécule d'éthane est <math>\bar{3}</math>, représenté dans la figure d).

À température ambiante, l'énergie thermique est bien supérieure à l'énergie de torsion de la molécule et permet aux atomes d'hydrogène de tourner librement autour de la liaison C—C, changeant la configuration et la symétrie de la molécule d'éthane.
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Le symbole de Hermann-Mauguin du groupe ponctuel de symétrie de la sphère s'écrit à l'aide de trois directions arbitraires formant un trièdre direct :
Le symbole de Hermann-Mauguin du groupe ponctuel de symétrie de la sphère s'écrit à l'aide de trois directions arbitraires formant un trièdre direct :
:<math>\frac{\infty}{m}\frac{\infty}{m}\frac{\infty}{m}.</math>
:<math>\frac{\infty}{m}\frac{\infty}{m}\frac{\infty}{m}.</math>

== Références ==
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Version du 27 février 2012 à 08:49

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Cristallographie géométrique
Table des matières
  1. Introduction
  2. Translations de réseau
  3. Calculs dans les réseaux
  4. Changement de base
  5. Projection stéréographique
  6. Symétrie ponctuelle
  7. Groupes ponctuels de symétrie
  8. Symétrie de corps simples et molécules
  9. Morphologie des cristaux
  10. Symétrie translatoire
  11. Réseaux de Bravais
  12. Groupes d'espace
  13. Propriétés physiques des cristaux
  14. Cristallochimie
  15. Transitions de phase

Les groupes ponctuels de symétrie introduits dans le chapitre précédent permettent de décrire la symétrie des objets finis comme les polyèdres, que nous reverrons dans le chapitre sur la morphologie des cristaux, et les molécules. Ce chapitre présente de façon non exhaustive les propriétés de symétrie quelques polyèdres et molécules.

Pour déterminer le groupe ponctuel de symétrie d'un objet, il est conseillé d'utiliser un modèle, afin de pouvoir l'observer sous toutes les directions possibles. Si l'objet ne possède que des éléments de symétrie cristallographiques, la présence de certains éléments permet de rattacher un système de coordonnées cristallin à l'objet et facilite ainsi la recherche d'éléments de symétrie supplémentaires, dans les directions de symétrie connues du système cristallin.

La symétrie des polyèdres sera résumée pour chaque forme cristalline dans le chapitre sur la morphologie des cristaux. Certaines molécules sont aussi étudiées qui pourront être revues dans le chapitre de cristallochimie. Les deux derniers exemples du cylindre droit et de la sphère ne seront pas utilisés par la suite.

Parallélépipède

Parallélépipède.

Les faces d'un parallélépipède quelconque sont des parallélogrammes parallèles deux à deux. Les arêtes du parallélépipède ne forment pas d'angles droits ; seules les arêtes parallèles d'une face sont de longueur égale.

Le seul élément de symétrie présent est le centre d'inversion : la présence d'axes de rotation ou de roto-inversion impliquerait des angles non quelconques entre les arêtes. Le groupe de symétrie ponctuel du parallélépipède est donc .

La maille conventionnelle d'un cristal triclinique est un parallélépipède.

Pavé droit

Pavé droit.

Les faces d'un pavé droit sont des rectangles.

Le pavé droit possède trois axes de rotation d'ordre 2 perpendiculaires entre eux, passant chacun par le centre de deux faces opposées. Ces axes de rotation s'intersectent au centre du pavé droit, qui est un centre d'inversion. Le pavé droit possède également trois plans miroirs perpendiculaires entre eux, passant chacun par le centre des arêtes de quatre faces tautozonales à un axe de rotation et par le centre d'inversion.

Il n'existe pas d'autre élément de symétrie : le pavé droit est de symétrie orthorhombique et les directions de symétrie pour déterminer le symbole de Hermann-Mauguin sont [100], [010] et [001]. Ces directions sont choisies parallèles aux axes de rotation d'ordre 2.

Le groupe ponctuel de symétrie du pavé droit est 2/m 2/m 2/m.

La maille conventionnelle d'un cristal orthorhombique est un pavé droit.

Pyramide à base carrée

La pyramide à base carrée possède cinq faces. Sa base est un carré, ses quatre autres faces sont des triangles isocèles. L'angle entre les faces de la pyramide est quelconque. Le sommet opposé à la base carrée est l'« apex » de la pyramide.

Il existe un seul axe de rotation d'ordre 4, passant par le centre de la base carrée et par l'apex. La pyramide à base carrée appartient donc au système tétragonal. En choisissant les directions <110> parallèles aux diagonales de la base, on trouve quatre plans miroirs perpendiculaires à la base : deux sont perpendiculaires aux directions <100> et deux sont perpendiculaires aux directions <110>. Il n'existe pas d'axe de rotation d'ordre 2 perpendiculaire à la direction [001], car sinon il existerait un sommet opposé à l'apex de l'autre côté de la base carrée. De même, la pyramide à base carrée n'est pas centrosymétrique.

Le groupe ponctuel de symétrie de la pyramide à base carrée est 4mm.

La pyramide à base carrée est un polyèdre de coordination rencontré fréquemment dans les composés du vanadium.

Prisme hexagonal

Tétraèdre

Un exemple de molécule de symétrie tétraédrique est la molécule de méthane CH4, représentée dans les figures b) et c) ci-dessous. L'atome de carbone est situé au centre de la molécule et les atomes d'hydrogène forment les sommets d'un tétraèdre autour du carbone.

Cube

Octaèdre

Un exemple d'anion de symétrie octaédrique est l'anion ferricyanide [Fe(CN)6]3−, représenté dans la figure c) ci-dessous. L'atome de fer est situé au centre de l'anion.

Cuboctaèdre

Anticuboctaèdre

Molécule d'eau H2O

Éthane C2H6

La molécule d'éthane C2H6 possède deux atomes de carbone liés par une liaison simple et six atomes d'hydrogène, trois par atome de carbone. Les longueurs de liaison sont 1,54 Å pour la liaison C—C et 1,09 Å pour la liaison C—H[1]. L'angle entre les liaisons d'un atome de carbone est 109,5°, proche de l'angle central du tétraèdre. La molécule peut se trouver dans plusieurs configurations géométriques possibles, qui se distinguent par leurs énergies.

Nous nous intéressons ici à la configuration de plus basse énergie, donc la plus stable, pour laquelle les atomes d'hydrogène d'un carbone sont placés de façon à minimiser les interactions électrostatiques répulsives avec les atomes d'hydrogène de l'autre carbone. Dans la vue le long de la liaison C—C de la figure b) ci-dessous, les atomes d'hydrogène d'un carbone sont situés entre ceux de l'autre carbone. La molécule possède un seul élément de symétrie, un axe de roto-inversion d'ordre 3 parallèle à la liaison C—C, et est donc centrosymétrique. Elle appartient ainsi au système trigonal.

Le groupe ponctuel de symétrie de la molécule d'éthane est , représenté dans la figure d).

À température ambiante, l'énergie thermique est bien supérieure à l'énergie de torsion de la molécule et permet aux atomes d'hydrogène de tourner librement autour de la liaison C—C, changeant la configuration et la symétrie de la molécule d'éthane.

Fullerène C60

Molécule de fullerène.

Cylindre droit

Cylindre droit.

Un cyclindre droit de dimension finie est terminé par deux bases circulaires. Il possède un axe de rotation passant par le centre de ces deux cercles. Toute rotation d'angle quelconque, même infinitésimal, autour de cet axe laisse le cylindre invariant. L'ordre des rotations est donc infini et le cylindre possède des éléments de symétrie non cristallographiques. Perpendiculairement à l'axe de rotation, il existe un plan miroir passant par le centre du cylindre. D'autre part, le cylindre possède une infinité de plans miroirs contenant l'axe de rotation. Le centre du cylindre est également son centre d'inversion. Enfin, le cylindre droit possède une infinité d'axes de rotation d'ordre 2 dans le plan miroir perpendiculaire à l'axe de rotation d'ordre infini ; ces axes de rotation d'ordre 2 passent tous par le centre d'inversion.

Un cylindre droit de longueur infinie possède une infinité de centres d'inversion répartis le long de son axe de rotation.

La première direction de symétrie utilisée pour le symbole de Hermann-Mauguin du groupe ponctuel de symétrie du cylindre est celle de l'axe de rotation d'ordre infini. Les deux autres directions de symétrie sont des directions arbitraires perpendiculaires à cet axe. Le groupe ponctuel de symétrie du cylindre droit, fini ou infini, s'écrit :

Sphère

Sphère.

Tous les points d'une sphère sont situés à la même distance par rapport à son centre.

La sphère possède comme éléments de symétrie un centre d'inversion, situé au centre de la sphère, une infinité de plans miroirs passant par son centre et une infinité d'axes de rotation passant également par son centre. Toute rotation d'angle quelconque, même infinitésimal, autour d'un diamètre de la sphère laisse celle-ci invariante. L'ordre des rotations est donc infini et la sphère possède des éléments de symétrie non cristallographiques.

Le symbole de Hermann-Mauguin du groupe ponctuel de symétrie de la sphère s'écrit à l'aide de trois directions arbitraires formant un trièdre direct :

Références

  1. anglais J.L. Duncan, D.C. McKean et A.J. Bruce, « Infrared spectroscopic studies of partially deuterated ethanes and the r0, rz, and re structures », dans Journal of Molecular Spectroscopy, vol. 74, no 3, 1979, p. 361–374 lien DOI


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