Physique quantique

La mécanique quantique constitue le pilier d'un ensemble de théories physiques qu'on regroupe sous l'appellation générale de physique quantique. Cette dénomination s'oppose à celle de physique classique, celle-ci échouant dans sa description du monde microscopique (atomes et particules) ainsi que dans celle de certaines propriétés du rayonnement électromagnétique.

Introduction

En mécanique quantique, une particule n'est pas décrite par sa position et sa vitesse mais par une fonction de l'espace et du temps à valeur dans les complexes dont le module carré a une interprétation de densité de probablilité.

Pour en comprendre l'origine, il faut s'intéresser à la structure hamiltonienne des équations classiques qui est préservée en mécanique quantique. Une formulation mathématique du passage d'une théorie classique à une théorie quantique (« principe de correspondance »), est morphisme de C*-algèbre.

Signification : l'algèbre en question est censée être l'algèbre des observables : dans l'évolution d'un système symétrique sous l'action des rotations, le théorème de Noether permet de définir une quantité conservée qui est le moment cinétique (pour un système lagrangien). Les trois générateurs du groupe de rotation sont les opérateurs spin à un coefficient $\hbar$ près, ce sont trois vecteurs d'une algèbre de Lie. Cependant, même si le système n'était pas symétrique par rotation, il semble intuitif de pouvoir définir un vecteur moment cinétique, d'où cette histoire de C*-algèbre.

Le spin

Le spin est une observable prenant des valeurs demi-entières positives. 2s+1, où s est la valeur du spin, est la dimension de la représentation du groupe de rotation SO(3).

L'Equation de Schrödinger

$\mathbf {\hat {H}} \left|\Psi (t)\right\rangle =i\hbar {d \over dt}\left|\Psi (t)\right\rangle ={\frac {{\hat {\vec {\mathbf {p} }}}^{2}}{2m}}\left|\Psi (t)\right\rangle +V({\hat {\vec {\mathbf {r} }}},t)\left|\Psi (t)\right\rangle$

L'Equation de Klein Gordon

$\left(\Box +{\frac {m^{2}c^{2}}{\hbar ^{2}}}\right)\Psi ({\vec {r}},t)=0$

L'Equation de Dirac

L'équation de Dirac est une équation formulée par Paul Dirac en 1928 dans le cadre de sa mécanique quantique relativiste de l'électron. Il s'agit au départ d'une tentative pour incorporer la relativité restreinte à des modèles quantiques, avec une écriture linéaire en la masse et l'impulsion.

$i\hbar {\frac {\partial \psi }{\partial t}}(\mathbf {x} ,t)=\left(mc^{2}\alpha _{0}-i\hbar c\sum _{j=1}^{3}\alpha _{j}{\frac {\partial }{\partial x_{j}}}\,\right)\psi (\mathbf {x} ,t)$

Références

Quantum mechanics for mathematicians, Leon A. Takhtajan. Livre tres original qui insiste sur les structures mathématiques de la physique quantique, et dont les premiers chapitres sont accessibles http://www.math.sunysb.edu/~leontak/570-S06/ChapterI-II.pdf ou directement sur le site de AMS.