« Physique quantique » : différence entre les versions

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Pour en comprendre l'origine, il faut s'intéresser à la structure hamiltonienne des équations classiques qui est préservée en mécanique quantique. Une formulation mathématique du passage d'une théorie classique à une théorie quantique (« principe de correspondance »), est morphisme de [[:w:C*-algèbre|C*-algèbre]].
Pour en comprendre l'origine, il faut s'intéresser à la structure hamiltonienne des équations classiques qui est préservée en mécanique quantique. Une formulation mathématique du passage d'une théorie classique à une théorie quantique (« principe de correspondance »), est morphisme de [[:w:C*-algèbre|C*-algèbre]].


L´idée de morphisme (cf. homomorphisme) exprime la ressemblance entre deux ensembles. Dans notre cas, l'algèbre en question est l'algèbre des observables, c´est de manière très génerale les quantités qui peuvent être mesurées. Dans le cadre de systèmes dynamiques hamiltoniens ces observables sont l´algèbre de fonctions (à valeur réelles) de l´espace de phase.
Signification : l'algèbre en question est censée être l'algèbre des observables : dans l'évolution d'un système symétrique sous l'action des rotations, le [[:w:Théorème de Noether (physique)|théorème de Noether]] permet de définir une quantité conservée qui est le moment cinétique (pour un système lagrangien). Les trois générateurs du groupe de rotation sont les opérateurs spin à un coefficient <math>\hbar</math> près, ce sont trois vecteurs d'une [[:w:Algèbre de Lie|algèbre de Lie]]. Cependant, même si le système n'était pas symétrique par rotation, il semble intuitif de pouvoir définir un vecteur moment cinétique, d'où cette histoire de C*-algèbre.

On peut par ailleurs aussi motiver l´introduction de la structure d´algèbre, en considérant un système symétrique sous l'action des rotations (cf. symmetries), le [[:w:Théorème de Noether (physique)|théorème de Noether]] (cf. système dynamique lagrangien) permet de définir une quantité conservée, le moment cinétique . Les trois générateurs du groupe de rotation sont les opérateurs spin à un coefficient <math>\hbar</math> près, ce sont trois vecteurs d'une [[:w:Algèbre de Lie|algèbre de Lie]]. Cette structure d´algèbre de Lie se définit bien sur indépendament de la physique, mais ce qu´il faut remarquer c´est que le groupe de symmetrie ne correspond pas à quelque chose de mesurable physiquement mais ce sont les vecteurs de l´algèbre de Lie. Cet exemple relie symetrie à une structure particulière d´algèbre (cf. algèbre associative, algèbre non associative), qui cependant n´est valable que si la symétrie est vérifiée. Dirac a introduit l´idée de quantification parfaite autour de la structure d´algèbre de Poisson.


= Le comportement quantique =
= Le comportement quantique =

Version du 6 mai 2012 à 14:07

La mécanique quantique constitue le pilier d'un ensemble de théories physiques qu'on regroupe sous l'appellation générale de physique quantique. Cette dénomination s'oppose à celle de physique classique, celle-ci échouant dans sa description du monde microscopique (atomes et particules) ainsi que dans celle de certaines propriétés du rayonnement électromagnétique.


Introduction

En mécanique quantique, une particule n'est pas décrite par sa position et sa vitesse mais par une fonction de l'espace et du temps à valeur dans les complexes dont le module carré a une interprétation de densité de probablilité.

Pour en comprendre l'origine, il faut s'intéresser à la structure hamiltonienne des équations classiques qui est préservée en mécanique quantique. Une formulation mathématique du passage d'une théorie classique à une théorie quantique (« principe de correspondance »), est morphisme de C*-algèbre.

L´idée de morphisme (cf. homomorphisme) exprime la ressemblance entre deux ensembles. Dans notre cas, l'algèbre en question est l'algèbre des observables, c´est de manière très génerale les quantités qui peuvent être mesurées. Dans le cadre de systèmes dynamiques hamiltoniens ces observables sont l´algèbre de fonctions (à valeur réelles) de l´espace de phase.

On peut par ailleurs aussi motiver l´introduction de la structure d´algèbre, en considérant un système symétrique sous l'action des rotations (cf. symmetries), le théorème de Noether (cf. système dynamique lagrangien) permet de définir une quantité conservée, le moment cinétique . Les trois générateurs du groupe de rotation sont les opérateurs spin à un coefficient près, ce sont trois vecteurs d'une algèbre de Lie. Cette structure d´algèbre de Lie se définit bien sur indépendament de la physique, mais ce qu´il faut remarquer c´est que le groupe de symmetrie ne correspond pas à quelque chose de mesurable physiquement mais ce sont les vecteurs de l´algèbre de Lie. Cet exemple relie symetrie à une structure particulière d´algèbre (cf. algèbre associative, algèbre non associative), qui cependant n´est valable que si la symétrie est vérifiée. Dirac a introduit l´idée de quantification parfaite autour de la structure d´algèbre de Poisson.

Le comportement quantique

Expérience avec des particules

Expérience avec des ondes

Expérience avec des électrons

Premiers principes de la mécanique quantique

Le principe d'indétermination

Ondes ou particules ? : Quantons

Amplitudes de probabilités

Mesure de la position et de l'impulsion

Diffraction

La dimension d'un atome

Les niveaux d'énergie

Système de particules identiques

Bosons et Fermions

Etats à 2 bosons

Etats à n bosons

Emission et absorption de photons

Le spectre du corps noir

L'hélium liquide

Le principe d'exclusion de Pauli

Le spin

Le spin est une observable prenant des valeurs demi-entières positives. 2s+1, où s est la valeur du spin, est la dimension de la représentation du groupe de rotation SO(3).

L'expérience de Stern et Gerlach

Etats d'un système quantique

Transformations

Rotations autour de Z

Rotations autour de Y

Rotations autour de X

Dépendances temporelles

Etats stationnaires

Mouvement uniforme

Energie potentielle et conservation de l'énergie

Les forces

Le Hamiltonien

Amplitudes et vecteurs d'état

Résolution des vecteurs d'état

Evolution temporelle des états quantiques

La matrice Hamiltonien

Systèmes quantiques à 2 états

L'Equation de Schrödinger


L'Equation de Klein Gordon

L'Equation de Dirac

L'équation de Dirac est une équation formulée par Paul Dirac en 1928 dans le cadre de sa mécanique quantique relativiste de l'électron. Il s'agit au départ d'une tentative pour incorporer la relativité restreinte à des modèles quantiques, avec une écriture linéaire en la masse et l'impulsion.

Symétries et lois de conservation

Références

Quantum mechanics for mathematicians, Leon A. Takhtajan. Livre tres original qui insiste sur les structures mathématiques de la physique quantique, et dont les premiers chapitres sont accessibles http://www.math.sunysb.edu/~leontak/570-S06/ChapterI-II.pdf ou directement sur le site de AMS.