« Mathématiques niveau seconde/Calculs » : différence entre les versions

Un livre de Wikilivres.
Contenu supprimé Contenu ajouté
Ligne 107 : Ligne 107 :
'''RAPPEL:'''
'''RAPPEL:'''


''Une notation scientifique s'écrit sous la forme'' : '''a X 10<sup>p</sup>''' où :<br />
''Une notation scientifique s'écrit sous la forme'' : <math>a\times10^p</math> où :<br />
'''a''': entier relatif compris entre 1 et 10 non inclus<br />
<math>a</math>: entier relatif compris entre 1 inclus et 10 non inclus<br />
'''p''': entier relatif
<math>p</math>: entier relatif


'''ATTENTION !!''' :{{Rouge|'''p''' est l'exposant de 10 et on le lit "10 puissance '''p'''". Ce nombre '''ne doit pas''' admettre de chiffres après la virgule c'est-à-dire le nombre 4.56 par exemple ! Il doit impérativement etre entier (comme 1,2,3,4,5...)}}
'''ATTENTION !!''' :{{Rouge|'''p''' est l'exposant de 10 et on le lit "10 puissance '''p'''". Ce nombre '''ne doit pas''' admettre de chiffres après la virgule c'est-à-dire le nombre 4.56 par exemple ! Il doit impérativement être entier (comme 1,2,3,4,5...)}}
----
----
{{Vert|'''METTRE UN NOMBRE QUELCONQUE EN NOTATION SCIENTIFIQUE'''}}
{{Vert|'''METTRE UN NOMBRE QUELCONQUE EN NOTATION SCIENTIFIQUE'''}}

Version du 5 décembre 2006 à 19:53

Effectuer des calculs

Quelques ensembles à connaître

Les entiers naturels

Les nombres entiers positifs obtenus en comptant à partir de 0 forment un ensemble appelé ensemble des entiers naturels. Il est noté .

= {0 , 1 , 2 , 3 ,...}

Les entiers relatifs

Lorsqu'on rajoute à les entiers négatifs, on obtient l'ensemble de tous les entiers, positifs, nul et négatifs. Ce nouvel ensemble est appelé ensemble des entiers relatifs et est noté .

={..., -4, -3, -2, -1, 0 , 1, 2, 3, 4,...}

Les décimaux

L'ensemble des décimaux est l'ensemble des nombres ayant un nombre fini de chiffres après la virgule. Il est noté .

Par exemple 1.567, -6.78 et 789.654 sont des éléments de l'ensemble .

Tous les décimaux peuvent s'écrire sous la forme , les entiers n et p étant des entiers relatifs.

Les rationnels

L'ensemble de toutes les fractions du type où a et b sont des entiers relatifs, b étant non nul s'appelle l'ensemble des nombres rationnels. Il est noté .

Par exemple 4/3, 10/3 et -8/11 sont des éléments de .

Les réels

Un nombre peut très bien avoir un nombre infini de chiffres après la virgule. Par exemple le célèbre nombre pi qui vaut 3.1415926....... ne s'arrête jamais. L'ensemble de tous les nombres, postifs ou négatifs avec un nombre quelconque de chiffres après la virgule s'appelle l'ensemble des réels. Il est noté .

Le symbole "appartient à"

Lorsqu'une valeur x appartient à un ensemble quelconque A, on écrit qui se lit "x appartient à A".

Au contraire si x n'appartient pas à A, on écrira

Exemple : l'entier 17 appartient à l'ensemble donc on peut écrire .

Exercices

Pour les valeurs suivantes, indiquez si elles appartiennent ou non à , à , à , à et à .

  • 56
  • -98
  • 6.87
  • 1/3

Calculs sur les entiers

Calculs sans parenthèses

Calculs avec parenthèses

Exercices

Les nombres premiers

Définition

Un nombre premier est un entier naturel n'admettant que deux diviseurs distincts : 1 et lui même. 0 et 1 ne sont pas premiers.

Exemple

13 n'est divisible que par 1 et par lui même. On dit que 13 est un nombre premier.

2 - 3 - 5 - 7 - 11 - 13 - 17 - 19 - 23 - 29 - 31 - 37 - 41 sont des nombres premiers.

Théorème

Pour savoir si un entier N est premier, on teste sa divisibilité par tous les nombres premiers inférieurs dont le carré est inferieur à N. Si aucun de ces nombres premiers ne divisent N, alors N est premier, sinon N n'est pas premier.

Prouver qu'un nombre est premier

Exercices

Calculs sur les fractions

Fraction irréductible

Somme de fraction

Soustraction de fraction

Multiplication de fraction

Division de fraction

Calculs en tout genre

Comparaison de fractions

Exercices

Les réels

Les pourcentages

La notation scientifique

En général, on utilise le plus souvent la notation scientifique en Sciences Physiques et Chimie pour une histoire de grands nombres...

RAPPEL:

Une notation scientifique s'écrit sous la forme : où :
: entier relatif compris entre 1 inclus et 10 non inclus
: entier relatif

ATTENTION !! :p est l'exposant de 10 et on le lit "10 puissance p". Ce nombre ne doit pas admettre de chiffres après la virgule c'est-à-dire le nombre 4.56 par exemple ! Il doit impérativement être entier (comme 1,2,3,4,5...)


METTRE UN NOMBRE QUELCONQUE EN NOTATION SCIENTIFIQUE Nous allons mettre un nombre quelconque donné, en notation scientifique. Il n'y a rien de dur : On vas mettre le nombre 420 000 en notation scientifique. (Il faut connaitre comment marche les puissances de 10 pour réussir a mettre un nombre en notation scientifique !)

Pour mettre le nombre 420 000 en notation scientifique il faut appliqué la propriété qui a été énoncée juste au dessus c'est-à-dire : a X 10p
Donc nous devons déjà trouver le a qui doit etre compris entre 1 et 10. Dans notre cas sa va être le premier chiffre en partant de la gauche c'est-à-dire 4. N'oubliez pas aussi qu'il y a le 2 qu'on vas mettre après une virgule.. Donc nous avons pour le a : 4,2.
Evitez à tout prix de mettre des zéros à la place de a ! Maintenant nous allons mettre la puissance de 10 pour que notre forme convienne au nombre de l'énoncé.
Dans notre cas nous allons faire pas à pas la manière.
Dans le nombre 420 000 nous avons déjà donné la valeur de a qui est : 4,2. Nous allons donc déplacer la virgule en démarrant de 4,2 de sorte qu'elle se trouve à l'endroit où nous auront le nombre 420 000.
Pour cela nous allons compter le nombre de fois qu'on la déplace et nous allons reporter le chiffre à la place de p. DANS NOTRE CAS : nous avons déplacé 5 fois la virgule. DONC la notation scientifique de 420 000 est 4,2 X 105


Les racines carrées

Usage de calculatrices

Les calculatrices sont des outils puissants mais il faut preter une attention particuliere au nombre de chiffres significatifs.

Notion de Chiffres Significatifs

La notion de chiffres significatifs est liée à la précision concernant des mesures physiques. En effet, lorsque par exemple on mesure expérimentalement une distance à l'aide d'une règle graduée on est capable de donner la distance au millimetre près mais rarement mieux. On ne peut donc rien affirmer concernant les µm ( m) et encore moins les nm ( m). Il existe donc une incertitude concernant notre mesure.
La notion de chiffres significatifs permet de mieux coller à la réalité physique de notre monde, c'est pourquoi on l'utilise en physique-chimie.
Le nombre de chiffres que comporte un nombre (excepté les "0" au tout début du nombre) correspond aux nombres de chiffres significatifs de ce nombre.

Exemples:

  • 12,96 possède 4 chiffres significatifs.
  • 012,96 et 0,1296 possèdent aussi 4 chiffres significatifs car un "0" au début du nombre n'est pas un chiffre significatif.
  • 1,9 possède 2 chiffres significatifs.

En mathématique, un cube de 10 cm de coté est un cube dont le coté mesure exactement 10 cm, pas un millimètre de plus, pas même un micrometre qui dépasse.
En physique, c'est tout le contraire. Un cube de 10 cm de coté est un cube dont le coté est compris entre 9 cm et 11 cm.