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== Ensemble de problèmes ==
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Version du 9 décembre 2006 à 21:58

Approfondissements de lycée

Introduction

Bien que les nombres réels peuvent, dans un certain sens, représenter toute quantité naturelle concevable, ils sont dans un autre sens "incomplets". Nous pouvons écrire certains types d'équations à coefficients réels que nous désirons résoudre, mais qui n'ont pas de solutions à nombres réels. L'exemple le plus simple de ceci est l'équation :

Votre professeur de mathématiques a dû vous dire qu'il n'y avait pas de solution "réelle" pour cette équation. Mais nous pouvons, en fait, étendre l'ensemble des nombres pour inclure les nombres complexes en déclarant que la solution de cette équation existe, et en lui donnant un nom : l'unité imaginaire, .

Imaginons, pour ce chapitre, que existe. Donc, est une solution à l'équation précédente, et .

Une bonne question que l'on pourrait poser est "Pourquoi ?". Pourquoi est-ce important que nous soyons capable de résoudre ces équations quadratique avec cette construction qui semble artificielle ? Il est intéressant de creuser un peu plus sur la raison de l'introduction des nombres "imaginaires" - il est apparu que non seulement cela était valide, mais qu'en plus ils permettaient une résolution plus aisée et plus élégante. Cette construction était très utile, et pouvait être approfondie.

La réponse à la question n'est pas liée à la résolution des équations quadratiques, mais plutôt à la résolution de l'intersection d'une équation cubique et d'une droite. Le mathématicien Cardan effectua la résolution des équations cubiques avec une méthode ingénieuse - comme les formules quadratiques, il existe aussi une formule qui nous donne les racines des équations cubiques, bien qu'elles soient de loin plus compliquées. Essentiellement, nous pouvons exprimer la solution d'une équation cubique sous la forme

Une expression plutot barbare !

Vous devriez être capable de voir vous-même que la droite doit toujours couper la courbe cubique . Mais essayez de résoudre l'équation où , et vous aurez un problème - c'est à dire que vous serez obligés de traiter avec la racine carrée d'un nombre négatif. Mais, nous savons qu'en fait, il existe une solution pour x ; par exemple, possède la solution x = 4.

Il devint apparent au mathématicien Bombelli qu'il y avait certaines pièces manquantes au puzzle - quelque chose qui exprimait comment cette opération d'extraction de racine carrée de nombre négatif, contraire au bon sens, se simplifiait simplement à une réponse comme 4. Ceci fut en fait la motivation pour considérer les nombre imaginaires, et cela ouvrit un domaine fascinant des mathématiques.

Le domaine des nombres complexes est dominé par ce nombre i. Puisque ce nombre n'existe pas dans le monde réel, et vit seulement dans notre imagination, nous l'appelons l'unité imaginaire. (Noter que n'est pas choisi comme nom de variable pour cette raison).

L'unité imaginaire

Comme mentionné ci-dessus

.

Calculons quelques puissances de i :

Comme vous pouvez le voir, il existe un motif.

Exercices

  1. calculer
  2. Calculer
  3. Calculer
Solutions des exercices

Les nombres complexes comme solutions des équations quadratiques

Considérons l'équation quadratique :

Le x que nous obtenons comme solution est ce que nous appelons un nombre complexe. (pour être précis, l'ensemble de solution de cette équation possède deux nombres complexes, toutes deux valides pour x.) Elle consiste en deux parties : une partie réelle : 3 et une partie imaginaire: . Appelons la partie réelle a et la partie imaginaire b; alors la somme est un nombre complexe.

Noter qu'en définissant simplement la racine carrée de moins un, nous nous sommes déjà donné la capacité d'assigner une valeur à une équation quadratique plus compliquée et que l'on avait prévue insolvable. Il apparaît que 'toute' équation polynômiale de degré possède exactement zéros si nous admettons les nombres complexes; ceci est appelé le Théorème fondamental de l'algèbre.

Nous notons la partie réelle par Re. C.a.d. :

et la partie imaginaire par Im. C.a.d. :

Vérifions pour voir si est réellement la solution de l'équation :

Exercices :

  1. Vérifiez vous-même que x = 3 - 2i est aussi une solution de l'équation.
  2. Placez les points A(3, 2) et B(3, -2) sur un plan XY. Tracez un segment entre l'origine et chaque point.
  3. Calculer la longueur de AO (la distance du point A à l'origine) et BO. Notez-les par respectivement. Qu'observez-vous ?
  4. Calculez l'angle entre chaque segment et l'axe x et notez-les par . Qu'observez-vous ?
  5. Considérez les nombres complexes :

Substituez z et w dans l'équation quadratique ci-dessus en utilisant les valeurs que vous avez calculées dans les exercices 3 et 4. Qu'observez-vous ? Quelle conclusion pouvez-vous en tirer ?

Arithmétique des nombres complexes

Addition et multiplication

Cela est assez intuitif, illustrons cela avec quelques exemples :

Résumons les résultats :

  • Lorsque l'on additionne les nombres complexes, nous additionnons les parties réelles avec les parties réelles, et les parties imaginaires avec les parties imaginaires.
  • Lorsque l'on multiplie deux nombres complexes ensemble, nous utilisons le développement normal. Si nous voyons , nous mettons -1 à sa place, puis nous regroupons les termes de même type.

Mais comment calculons-nous :

. Notez que la racine carré est seulement sur le 5 et non sur le i.

Exercices :

Calculer :

  1. x + y
  2. x - y
  3. x2
  4. y2
  5. xy
  6. (x + y)(x - y)

Division

Une manière de calculer :

est de rendre rationnel le dénominateur :

En utilisant une idée similaire, calculer

nous rendons réel le dénominateur.

Le dénominateur est la somme de deux carrés. Nous obtenons :

Si nous pouvons toujours trouver un nombre complexe dont le produit avec le dénominateur est un nombre réel, alors, il est facile d'effectuer les divisions.

Si

et

Alors zw est un nombre réel. Cela est vrai pour tout 'a' et 'b' (tant qu'ils sont des nombres réels).

Exercices

Vérifiez vous-même que le produit zw est toujours un nombre réel.

Conjugué complexe

Ceci conduit à l'idée de conjugués. Par exemple, le conjugué de 2 + 3i est 2 - 3i. Le produit d'un nombre complexe et de son conjugué est toujours un nombre réel. Si z est un nombre complexe, alors son conjugué est noté . Symboliquement si

z = a + ib

alors,

Le conjugué de 3 - 9i est 3 + 9i.

Le conjugué de 100 est 100.

Le conjugué de 9i - 20 est -20 - 9i.

Lois de conjuguaison

Considérons cet exemple :

Ceci confirme la loi d'addition des conjugués.

Exercice

Vérifiez vous-même que la loi de multiplication est aussi vraie.

La racine complexe

Maintenant que vous êtes équipé avec toutes les bases des nombres complexes, vous pouvez aborder un chapitre un peu plus difficile, la recherche des racines.

Considérons la question :

Exprimer w sous la forme a + ib.

Ceci est assez facile.

Résolvez (1) et (2) simultanément pour extraire a et b.

info -- Rechercher les racines carrées

Rechercher la racine d'un nombre réel est un problème très difficile. La plupart des gens ne peuvent pas trouver une estimation de sans l'aide d'un calculateur. Beaucoup de programmeurs, après des années de travail sur ordinateur, n'ont encore aucune idée de la manière dont le calculateur le fait. La méthode moderne d'approximation de racines implique la compréhension d'une partie des mathématiques appelée le développement des séries de Taylor. Le chapitre est généralement couvert la première année d'enseignement supérieur car il requiert une compréhension élémentaire d'une branche importante des mathématiques appelée l'analyse.

La méthode Newton-Raphson de recherche de racines est aussi utilisée de manière extensive pour cet usage.

Maintenant, considérons le problème

Exprimer w sous la forme "a + ib".

En utilisant la méthode développée ci-dessus, nous effectuons,

Il apparaît que le système d'équations (1) & (2) est difficile à résoudre. Il existe une manière facile de calculer les racines de nombres complexes appelée le théorème de De Moivre. Avant de le voir, essayez ces exercices.

Exercices

  1. Trouver
  2. Trouver
  3. Trouver


Le plan complexe

Les nombres complexes comme paires ordonnées

On peut noter, à ce niveau, que chaque nombre complexe a+bi, peut être précisé completement avec exactement deux nombres réels : la partie réelle a, et la partie imaginaire b. Ceci est vrai pour chaque nombre complexe ; par exemple, le nombre 5 possède la partie réelle 5 et la partie imaginaire 0, tandis que le nombre 7i possède la partie réelle 0 et la partie imaginaire 7. Nous pouvons nous servir de cet avantage pour adopter un schéma alternatif d'écriture des nombres complexes : nous pouvons les écrire comme des paires ordonnées, sous la forme (a, b) à la place de a+bi.

Cela paraît plus familier : elles sont exactement les paires ordonnées que nous utilisons pour représenter les points dans le plan. En fait, nous pouvons les utiliser pour cet usage; le plan qui en résulte est appelé le plan complexe. Nous appelerons l'axe des abscisses l' axe réel, et l'axe des ordonnées l' axe imaginaire.

Le plan complexe

Nous pouvons voir à partir de ce qui précède qu'un nombre complexe unique est un point dans le plan complexe. Nous pouvons aussi représenter des ensembles de nombres complexes; ceux-ci forment des régions du plan. Par exemple, l'ensemble

est un carré de coté 2 centré sur l'origine (Voir le diagramme suivant). Région sur le plan complexe

Fonctions à valeurs complexes

De la même manière que nous pouvons utiliser des fonctions qui à partir de valeurs réelles ont des valeurs réelles, nous pouvons créer des fonctions à partir de nombres complexes vers les nombres réels, ou à partir de nombres complexes vers les nombres complexes. Ces dernières fonctions sont souvent appelées fonctions à valeurs complexes, parce que leur valeur de sortie est un nombre complexe; il est implicite que leur argument est complexe.

Puisque les fonctions à valeurs complexes appliquent des nombres complexes vers d'autres nombres complexes, et nous déjà vu que les nombres complexes correspondent aux points du plan complexe, nous pouvons voir que les fonctions à valeurs complexes peuvent convertir des régions du plan complexe en d'autres régions. Un exemple simple : la fonction

prend un point dans le plan complexe et l'augmente de 1. Si nous l'appliquons à l'ensemble de points du carré ci-dessus, elle le déplacera de un verticalement, c'est à dire qu'il "reste" sur l'axe réel.

Théorème de De Moivre

Si

alors

Racines complexes de l'unité

Les racines complexes de l'unité de degré n est l'ensemble de solutions de l'équation . Elles sont toutes de module 1. Elles forment un groupe cyclique multiplicatif. Pour tout n donné, il existe exactement n racines, et elles forment un polygone à n cotés régulier dans le plan complexe muni du cercle unité.

Une forme réduite de ces solutions peut être donnée en utilisant la formule d'Euler :

,

La somme des racines n-èmes de l'unité est égale à 0, excepté pour n=1, où elle est égale à 1.

Le produit des racines n-èmes de l'unité alterne entre -1 et 1.

Ensemble de problèmes

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