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Différents types de grandeurs

Dans l'exercice de leur art, les mé­ca­­ni­ciens manipulent deux gran­des caté­go­ries de grandeurs physi­ques.

Les unes, appelées scalaires, sont carac­térisées par un nombre unique qui peut être :

• un entier positif : le nombre des dents d'une roue den­tée,
• un rationnel : le rapport des vitesses des roues d'un engre­nage,
• un réel positif : la pres­sion en un point d'un fluide, une masse,
• un réel positif ou néga­tif : la température en ºC, le moment d'une force par rap­port à un axe,
• un nombre décimal : le montant des heures supplé­men­tai­res que l'État n'est jamais pressé de payer aux Professeurs,
• ...

Les autres, dites orien­tées ou vectorielles, sont caractérisées à la fois par une direction, un sens et un nombre, que l'on appellera selon les cas intensité, module, norme, etc. :

• les forces,
• leurs moments calculés par rapport à un point,
• les vitesses,
• les champs électriques,
• ...

Additionner des grandeurs de natu­res différentes, par exemple la pointure de nos chaus­sures et la vitesse locale du vent serait bien entendu ab­surde, mais finalement guère plus qu'additionner une force et un moment, erreur pour­tant commise par de nom­­breux étu­diants.

Représentation des grandeurs orientées

Pour représenter commo­dé­ment les grandeurs orientées, il a fallu inventer la no­tion mathé­matique de vecteur, que tous les étudiants en mécanique ont apprise mais pas toujours bien com­prise. Malgré les appa­rences, représenter une action mé­ca­ni­que, une force par exemple, sous la forme d'un vecteur des­siné sur du papier ne va pas de soi : d'ailleurs, vous en avez déjà vu, vous, des force ?

Le très regretté peintre surréaliste belge René Magritte nous a légué le dessin d'une pipe, moult fois reproduit, sous lequel il a écrit : « Ceci n'est pas une pipe ».

Évidemment ! Pourtant, si nous vous mon­trions la photo d'une pipe et vous de­man­dions à brûle-pourpoint ce que c'est, il est hautement probable que vous répondriez en chœur :

une pipe !

De même, si nous demandons à des étudiants novices « qu'est-ce qu'une force ? », presque tous répondent immédiate­ment cette ânerie :

UN VECTEUR !

Et vous, au fait, vous ré­pon­driez quoi ?

Non, non, on ne se dégonfle pas, on répond, et que ça saute !

Les actions mécaniques sont des causes qui provoquent, modi­fient, empê­chent les mouvements ou les déforma­tions des objets ... C'est à peu près ce que vous avez répondu ? Alors bravo ! On ne peut ni voir les actions mécaniques, ni les définir ou les décrire de façon directe, intrinsè­que. En revan­che on peut consta­ter leurs effets, et souvent même les mesurer.

Représenter une force par une flèche est toujours un acte risqué : une force n'est jamais transmise d'un objet à un autre en un point précis, mais toujours dans une zone de l'espace plus ou moins étendue. Si nous nous tenons debout, le sol applique sous nos pieds une action mécanique qui nous soutient en s'opposant directement à notre poids. Cette action globale est en fait la somme d'une multitude d'actions élémentaires infimes qui s'exercent entre les aspérités du sol et la plante de nos pieds ou les « crans » de la semelle de nos chaussures. Dans le second cas, cela voudrait d'ailleurs dire que nos chaussures seraient considérées comme faisant partie de nous-mêmes (voir « essuyez vos pieds sur le paillasson »), autre problème de limite juste effleuré ici et que nous ne manquerons pas d'évoquer par la suite.

Représenter l'action mécanique qui nous soutient par un vecteur, c'est-à-dire par un être mathématique par définition sans épaisseur, c'est finalement faire comme si notre poids pouvait être exactement contrebalancé lorsque nous marchons sur une épine ou sur un clou rouillé dépassant d'une planche. Situation peu confortable évidemment.

Vraies et fausses grandeurs vectorielles

Prenez un livre, à plat, devant vous. Faites-lui faire un quart de tour dans le sens des aiguilles d'une montre, autour d'un axe vertical. Le déplacement qui l'amène de sa position initiale à sa position finale possède-t-il les caractéristiques d'une grandeur vectorielle ? Apparemment oui, puisque ce déplacement se fait selon une direction donnée, autour d'un axe vertical, dans un sens donné, celui des aiguilles d'une montre et avec une « intensité » donnée, 90 °.

Remettez maintenant le livre dans sa position initiale et faites-lui subir une rotation d'un quart de tour dans le sens des aiguilles d'une montre, puis relevez-le à la verticale en le faisant tourner à nouveau d'un quart de tour vers vous. Notez bien la position finale. Recommencez en lui faisant subir les deux mêmes mouvement, mais dans l'ordre inverse, d'abord un quart de tour vers vous, puis un quart de tour dans le sens des aiguilles d'une montre, autour d'un axe vertical. La position finale n'est pas la même... Ça ne vous rappelle rien ?

La « somme » de deux déplacements par rotation n'est donc pas commutative, et donc le déplacement en rotation n'est pas une grandeur vectorielle. D'ailleurs, si nous reprenons le premier déplacement, nous pouvons remarquer que le résultat final peut aussi être obtenu par une rotation de trois quarts de tour dans le sens antihoraire, ou de 17 tours plus un quart de tour dans le sens horaire, ce qui veut dire que ni le sens ni la direction ne sont bien définis. Il n'en va pas de même avec les vitesses de rotation, pour lesquelles les trois caractéristiques des grandeurs vectorielles, direction, sens et norme, sont clairement déterminées.

L'intensité lumineuse possède aussi certaines caractéristiques des grandeurs vectorielles : la direction, le sens, celui du déplacement de la lumière, et l'intensité. Cependant, si deux lampes torches allumées sont orientées l'une vers l'ouest et l'autre vers le nord, de telle manière que leurs faisceaux lumineux se croisent, il est fort peu probable que les deux lumières puissent se combiner de façon à former un faisceau lumineux dirigé vers le nord-ouest. Cette fois c'est l'associativité de la somme qui ne fonctionne pas.

Modes d'application des actions mécaniques

La nature profonde des actions mé­caniques nous échappe mais nous pouvons affirmer sans gros risque qu'il n'y a que deux façons d'agir sur un objet :

• à distance ou
• par contact direct.

L'action à distance la plus com­mune est due à l'attraction universelle : tout objet placé dans un champ gravitationnel a un poids.

Les historiens racontent que Newton, voyant une pomme tomber à ses pieds, pensa soudain que l'attrac­tion ter­restre, cause de cette chute, pour­rait bien s'étendre jus­qu'à la Lune et en expliquer le mouve­ment. Appliquant cette idée au Soleil et aux planètes il retrou­va par le calcul les lois de Kepler.

Certains historiens affir­ment que Newton aurait reçu la fameuse pomme sur la tête. D'autres assurent qu'il s'agis­sait d'une poire. S'ils savaient la vérité !

En fait, le grand homme se reposait tout simplement à l'om­bre parfumée d'un tilleul. Un seul témoin était présent sur les lieux à l'instant de la géniale découverte. Après avoir consommé plus que de raison certai­nes baies laxatives, il était per­ché dans l'arbre, à l'exacte ver­ticale de celui qui n'allait pas tarder à devenir un des plus illustres physiciens. Le bienfaisant relâchement sphinctérien qui allait changer no­tre vision du Monde se produisit ; il fut suivi, dix-huit pieds au-dessous du volatile, d'un hur­lement ter­rible.

C'est à cet instant précis que, par une lumineuse et géniale asso­cia­tion d'idées, WAIT (attends un peu que je te vole dans les plu­mes !) devint WEIGHT (le poids... bon sang mais c'est bien sûr !).

Si non e vero, e bene trovato !

L'attraction de notre bonne vieille Terre engendre des forces de volume qui concer­nent l'ensemble de la matière des objets. De nombreux pro­blè­mes sont simpli­fiés si l'on « ramène » tout le poids des corps au niveau de leur centre de gravité mais cette opéra­tion n'est possible que dans des conditions bien précises.

L'at­traction ou la répulsion mu­tuelle des charges électriques et, plus cou­ramment, des systèmes magnétiques, sont d'autres actions à distance. Le pôle Nord de l'ai­guille d'une bous­sole, qui nous indique la direction du pôle Nord terrestre, pointe en réalité avec obstination vers... devinez quoi ! Demandez donc aux physiciens où se trouve le pôle Sud magnétique. Ça leur évitera peut-être de par­tir à la retraite en continuant à ignorer ce léger détail.

Les actions de contact seront au cœur de vos préoccupations quand vous entreprendrez la résolution d'un problème de statique. Ce qui se passe lorsque les corps se touchent est, en effet, un sujet si important que tout un livre lui est consacré : le wikilivre de tribologie !

L'action d'une ficelle sup­portant le poids d'un objet suspen­du et immobile s'ima­gine sans peine. Mais les fibres torsadées qui composent cette ficelle ne sont liées par aucune colle. Comment tien­nent-elles ensemble ?

Comment les efforts se répartis­sent-ils entre le sol et un tas de cailloux, entre notre posté­rieur et le siège de notre voi­ture, ou entre deux surfaces que nous venons tout juste d'usi­ner ? Quel­les forces agis­sent sur la digue d'un barrage ? Autant de questions dont les répon­­ses ne sont pas immédiates...

Petit problème, graves questions

Aujourd'hui, nous avons entrepris de dépla­cer une armoire en la faisant glisser sur le sol. Si nous ne poussons pas assez fort, elle ne bouge pas. Si nous poussons trop haut, elle bas­cule. En plus, avec des semelles de cuir, nous glissons sur le carrelage... Quand on n'est pas fort, il faut être malin. Nous avons trouvé com­ment faire et nous vous raconterons ça plus tard si vous êtes sages. Mais nous nous posons de nouvelles et angois­san­tes questions.

Notre armoire pourrait tenir debout sur trois pieds seulement, pourvu que ceux-ci ne soient pas alignés. Pour­tant, elle en a quatre. Pour si bien la doter, l'ébéniste qui la fabriqua jadis avait sans doute de très bonnes raisons. Le L.E.M. qui permit pour la première fois à des hommes de poser le pied sur la Lune, en Juillet 1969, avait lui aussi quatre pieds. Quant aux fauteuils des dac­tylos, ils en ont au moins cinq, pour des raisons de sécurité ! Étonnant, non ?

Notre lourde armoire avance par sauts de puce. Tout en mas­sant nos pauvres muscles endolo­ris par l'effort, nous pouvons observer que ses pieds touchent très rarement en­sem­­ble le car­relage. En général, l'un des pieds avant décolle du sol de quelques millimètres, indif­­fé­rem­ment à droite ou à gauche.

N'importe qui vous dira que notre armoire est surtout chargée vers le fond. Mais sau­riez-vous démontrer simplement :

• qu'elle est plutôt rigide,
• qu'elle n'est pas trop ban­cale,
• et que le carrelage a été posé à la Jean-foutre ?

En fait ce n'est pas telle­ment ça qui nous angoisse. Il y a pire ! Nous voici en train de rédiger un polycopié de mécanique et nous n'allons pas tarder à passer pour des marioles ! Où que nous décidions de pousser notre armoire, nous, professeurs, ne sommes même pas capables de dire sur combien de pieds elle va repo­ser ! Dans de telles conditions, cher­cher quelle charge supporte chacun d'eux est bien sûr, pour le moins, totalement incongru...

Faut-il jeter l'éponge ?

Une théorie n'a pas besoin d'être juste, disait Poincaré, pourvu qu'elle soit utile. Ouf ! Nous ne sommes donc pas obligés de tout comprendre dans les moindres détails pour agir et c'est heureux, car autre­ment nous ne ferions pas grand chose !

Tout comprendre serait-il un bien, ou une malédiction ? Et puis, ne dit-on pas que lorsque l'on commence à comprendre pourquoi on aime une chose, c'est en fait qu'on ne l'aime plus ? Or, nous aimons ce que nous faisons. Vous en déduirez... ce que vous voudrez !

En tous cas, pour prévoir un tant soit peu le résultat de nos actions, nous devons compren­dre le comportement des objets sur lesquels nous voulons agir... bien que ce comportement ne semble pas toujours couler de source ! Et si par hasard il existait des lois grâce auxquelles nous pourrions pronosti­quer que certains résul­tats ne peu­vent pas être prévus ? C'est ça qui serait génial !

Immobilité, mouvement, repères

C'était le bon temps. Il y avait à l'Institut Universitaire de Technologie de Bordeaux un étudiant libanais très malin et un professeur de construction mécanique au caractère assez en­tier. Le pre­­mier atten­dait tou­jours la fin d'une brillante démonstra­tion pour poser au second, en prenant un air un peu niais, une de ces questions dont il avait le secret : « M'sieur, vous pourriez pas recommencer ? J'ai pas bien compris ce que ça voulait dire, immobile ».

Entre eux c'était souvent la crise mais au fond ils s'aimaient bien ; les an­ciens s'en souviennent encore avec émotion.

Au fait, que dit le dictionnaire ?

• immobile : qui ne se déplace pas, ne bouge pas. V. fixe.
• fixe : qui ne bouge pas, qui reste toujours à la même place à l'intérieur d'un système donné. V. immobile.
• déplacer : changer de place. V. bouger.
• bouger : faire un mouvement.
• mouvement : change­ment de position dans l'espace, en fonction du temps, par rapport à un système de référence.
• système de référence : par rap­port auquel on peut définir un point dans l'espace, une gran­deur, ...
• espace : milieu concret où co­exis­tent et se meuvent les choses maté­riel­les. Milieu dans lequel l'homme localise ses per­cep­tions, ses représentations.
• espace galiléen : systè­me de points en translation recti­li­­gne et uniforme par rapport à un système de référence dit absolu.

Comme toutes les notions simples en apparence, l'immobi­lité ne peut guère être définie que par son contraire, le mou­vement. Oui, mais le mouvement par rapport à quoi ?

Les objets posés dans le vide-po­ches de notre voiture restent tranquilles lors­que la route est à peu près rectiligne, mais ils glis­sent à droite lorsque nous virons à gauche et inversement. Notre bolide n'est sans doute pas un très bon espace de réfé­rence. Nous nous arrêtons (mais est-ce bien sûr ?), nous des­cendons et nous nous asseyons par terre pour réfléchir. Fina­le­ment, rien ne vaut le bon vieux plan­cher des vaches.

Manque de pot ! La Terre se pro­mène aussi par rapport au Soleil. Allons donc sur le Soleil voir si les choses sont plus sim­ples. Non, non, nous ne sommes pas fous, nous n'allons pas nous brûler, nous irons en douce, une de ces nuits.

Re-manque de pot ! Le Soleil aussi se promène dans notre Galaxie, laquelle s'of­fre une joyeuse excursion dans l'Univers qui lui-même ...

On se calme !

Pour leur usage, les astronomes ont imaginé un repère fixe lié à certaines étoiles judicieuse­ment choisies. Appelons-le avec un grand respect dans la voix le REPERE ABSOLU. Et notons bien que tout autre repère qui se dépla­ce en translation unifo­rme par rap­port à celui-là est aussi un repère absolu, de sorte que le repère absolu existe partout et nulle part et que finale­ment per­sonne ne peut savoir ce qui bouge ou ce qui est fixe, et récipro­quement.

Nous avons voulu repérer la nouvelle posi­tion de mon armoire par rapport aux étoiles mais nous n'avons pas bien su comment nous devions nous y prendre. Finalement nous y avons renoncé. Était-ce bien raison­nable ?

Ce n'est qu'avec une grande peine que nous pouvons imaginer le firmament, affirme le contrepéteur fou !

Chaque soir, en ren­trant du boulot, nous voyons avec plaisir que notre maison ne semble pas avoir bougé par rapport à celles des voi­sins et que notre armoire est apparemment toujours là où nous l'avons laissée. Alors les étoiles peu­vent bien tourner là-haut, pourvu que le ciel ne nous tombe pas sur la tête ...

Le repère terrestre, pour les usages courants, ça n'est au fond pas si mal !

En déménageant, une autre idée nous est venue. Nous l'avons tes­tée illico : ça mar­che ! Comme vous avez été sages et avez accepté de nous lire jusqu'ici, nous vous donnons ce truc épa­tant : quand on vide un meuble, c'est vachement plus facile de le faire glisser !

Nous avons constaté aussi que tous les ef­forts que nous avons pu appliquer à notre ar­moire n'ont pas eu le même effet, tant s'en faut. Le jour où il a fallu la monter à l'étage, nous avons embau­ché quelques collègues et nous l'avons décollée du sol sans trop de peine. Aujourd'hui nous la rem­plissons avec des tas de livres et ça ne la fait pas bouger d'un millimètre. Du moins, tant que le plancher résiste ! Car de toute évidence le poids du papier que nous rangeons est répercuté sur le sol et le papier, ça pèse. Pour arriver à faire glisser notre armoire (nous pouvons la faire avan­cer ou la faire tourner sur place), nous devons lui appli­quer des efforts suffisants, et convenablement orientés. Si elle avait des rou­lettes, ces efforts seraient très faible, au point que cela deviendrait peut-être gênant car elle se déplacerait avec trop de facilité.

Bon, nous vous bassinons peut-être avec nos problè­mes domes­tiques ! Prenons donc en­sem­­ble un peu de recul (en regardant où nous mettons les pieds, c'est plus prudent).

Pifomètre ou mathématiques ?

Dans la vie courante, nous résolvons en permanence des quantités phénoménales de problèmes de statique, de cinématique ou de dynamique de façon plus ou moins instinctive. La marche et la course, par exemple, sont des processus mécaniques extrêmement compliqués, très difficiles à modéliser sous forme mathématique, pourtant nous les pratiquons quotidiennement, et avec succès, sans avoir besoin d'écrire la moindre équation ni même de réfléchir. D'autres exercices, comme lancer un ballon dans un panier, rouler à bicyclette ou conduire une automobile, soulever une lourde charge avec un levier, etc. nécessitent eux aussi un certain apprentissage, et nous pouvons là encore apprendre à les réussir sans même savoir ce que c'est que la mécanique.

Mais arrive un moment où nos capacités mentales et notre pifomètre, osons le mot, se révèlent insuffisants. D'autres façons de faire s'imposent, qui nécessitent des connaissances plus spécifiques. Il faut alors apprendre les méthodes de la mécanique et l'usage d'outils mathématiques plus ou moins sophistiqués, afin de résoudre les divers problèmes qui peuvent se poser au cours de la vie professionnelle.

Dans ce cours nous apprendrons à trouver beaucoup de résultats grâce au bon sens ou à l'intuition mais très souvent il faudra aller plus loin.

Les méthodes graphiques, lorsqu'elles sont possibles, doivent être utilisées en priorité, car d'une part elles donnent très souvent une précision largement suffisante et d'autre part elles permettent un examen critique immédiat des résultats.

Si ces méthodes ne sont pas appropriées au problème à traiter il faudra se résoudre à utiliser des méthodes de calcul mathématique. Le premier travail sera de traduire les données sous forme d'équations, dans lesquelles les inconnues représenteront tout ce dont on cherche à connaître les valeurs. Cette mise en équations est un acte à la fois essentiel et très délicat, qui nécessite d'être conduit avec le plus grand soin, car la moindre erreur survenant à ce stade se traduit immanquablement par des résultats faux.

L'expérience montre que l'une des causes principales des erreurs commises par les étudiants (ou les ingénieurs, ou les professeurs...) lors de la résolution de problèmes de mécanique est un mauvais inventaire des inconnues. Il est bien évident que si, lors de la résolution d'un problème qui comporte normalement 8 inconnues, on en introduit 7 ou 10, rien ne va plus. Nous allons tenter de vous montrer comment on peut poser et résoudre les problèmes en mettant toutes les chances de son côté !

Rions un peu

Petite conversation entendue à l'occasion d'un jeu télévisé :

Le candidat, à propos d'une question sur GALILEE : c'est lui qui a dit « Epur si muove ».

L'animateur : « En latin il faut dire Epour si mouove » !

Rumeur dans le studio : « Mais c'est pas du latin » !

L'animateur : « Oh, je sais bien, mais le latin et l'espagnol, c'est pres­que pareil » !