Algèbre différentielle

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[modifier] Dérivations

[modifier] Dérivation sur une algèbre

Soit \scriptstyle { k }\, un corps commutatif et \scriptstyle { A }\, une algèbre sur \scriptstyle { k }\,.

Un endomorphisme \scriptstyle { d \in End(A) }\,, c'est-à-dire une application \scriptstyle { k }\,-linéaire de \scriptstyle { A }\, dans elle-même, est appelé dérivation si on a

(Règle de Leibnitz) d(fg) = d(f)g + fd(g)\, pour tout f, g \in A\,.

L'ensemble des dérivations de \scriptstyle A se note \scriptstyle { Der_k(A) }\, ou \scriptstyle { Der(A) }\, lorsqu'aucune confusion n'est à craindre.

On vérifie immédiatement que la somme de deux dérivations est une dérivation, ainsi que le produit d'une dérivation par un élément de \scriptstyle A \,, donc que \scriptstyle {Der(A)}\, est un sous-module de \scriptstyle { End(A) }\,. La composée de deux dérivations n'étant pas, en général, une dérivation, il ne forme pas, sauf cas trivial, une algèbre. Par contre, le crochet \scriptstyle { [d,d']=dd'-d'd }\, de deux dérivations \scriptstyle { d }\, et \scriptstyle { d' }\, est une dérivation. Donc \scriptstyle { Der(A) }\, est une sous-algèbre de Lie de \scriptstyle { End(A) }\,.

Pour tout \scriptstyle { f \in A }\,, le commutateur \scriptstyle { ad(f) : A \longrightarrow A }\,, aussi appelé endomorphisme adjoint et défini par \scriptstyle { ad(f)(g) = fg-gf }\, est une dérivation. On défini ainsi un endomorphisme \scriptstyle { ad : A \longrightarrow Der(A) }\,.

Une dérivation du type \scriptstyle { ad(f) }\,, c'est-à-dire dans l'image de \scriptstyle { ad }\,, est dite intérieure. En réécrivant la règle de Liebnitz, on vérifie que dire que \scriptstyle { d }\, est une dérivation, est équivalent à dire que \scriptstyle { [d,ad(f)]=ad(d(f)) }\, pour tout \scriptstyle { f \in A }\,. Il en résulte que l'ensemble des dérivations intérieures est un idéal de \scriptstyle { Der(A) }\,.

Les éléments annulés par toutes les dérivations \scriptstyle { C^{te} = \{ f \in A | \, \forall d \in Der(A), \; d(f) 0 = \} }\, forment une sous-algèbre de \scriptstyle A \,, appelé algèbre des constantes de \scriptstyle A \,. Si \scriptstyle A \, est unifère, on vérifie que \scriptstyle{ 1 \in C^{te} }\, et donc que \scriptstyle{ k \sub C^{te} }\,

Exemples

  • \scriptstyle { A=k }\, est une algèbre. Comme une dérivation \scriptstyle {d}\, est linéaire, on a en même temps \scriptstyle { d(fg) = fd(g) }\, et \scriptstyle { d(fg) = d(f)g + fd(g) }\,, donc \scriptstyle { d(f)g = 0 }\, pour tout \scriptstyle { g }\,. En particulier, pour \scriptstyle { g=1 }\,, ce qui est possible car \scriptstyle { k }\, est un coprs, on a \scriptstyle { d(f) = 0 }\,, donc \scriptstyle { Der_k(k)=0 }\,.
  • Soit \scriptstyle { A=M_{n \times n}(k) }\, est l'algèbre des martices carrées d'ordre \scriptstyle { n }\, sur \scriptstyle { k }\,. Un théorème d'algèbre de Lie permet d'affirmer que toute dérivation de \scriptstyle { A }\, est de la forme \scriptstyle { d(X) = MX-XM = [M,X] = ad(M)(X) }\, pour une certaine matrice \scriptstyle { M }\,. En d'autres termes, l'adjonction \scriptstyle { ad : A \longrightarrow Der(A) }\, est un isomorphisme.
  • Si \scriptstyle { A=k[X] }\, est une algèbre de polynômes en une indérerminée, alors la dérivée \scriptstyle { d(f)=f'={d \over {dx}}}\, est une dérivation. Nous verrons plus loin que c'est la seule, à un facteur multiplicatif près, et que \scriptstyle { Der(k[X])=A \cdot {d \over {dx}} }\,.
  • Soit \scriptstyle { X }\, une variété differentiable et \scriptstyle{ A=C^\infin (X)}\, l'algèbre des fonctions infiniment différentiables sur \scriptstyle X. Nous identifierons plus loin Der(A) à l'espace tangent.

[modifier] Dérivations sur un module

[modifier] Différentielles

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[modifier] Applications

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