Algèbre linéaire/Application linéaire
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[modifier] Définitions
Soit 
un corps. Soient alors E et F deux -espaces vectoriels.
[modifier] Application linéaire
L'application 
est dite linéaire si et seulement si
et
On note 
l'ensemble des applications linéaires de E vers F.
[modifier] Endomorphisme
Un endomorphisme est une application linéaire dont l'ensemble d'arrivée est égal à l'ensemble de départ.
L'ensemble des endomorphismes de E se note 
.
[modifier] Isomorphisme
Un isomorphisme est une application linéaire bijective. Cela se traduit par :
Autrement dit, tout élément y de F admet un antécédent et un seul dans E par f.
[modifier] Automorphisme
Un automorphisme est un endomorphisme bijectif.
[modifier] Forme linéaire
Une forme linéaire est une application linéaire dont l'ensemble d'arrivée est le corps (généralement, 
ou 
). Une forme linéaire est donc une application de 
.
[modifier] Noyau et Image d'une application linéaire
[modifier] Noyau
Soit f une application linéaire de E dans F. Le noyau de f, noté 
, est l'ensemble des éléments de E dont l'image par f est l'élément nul de F. On écrit :
Le noyau d'une application linéaire est un sous-espace vectoriel de l'espace de départ : est un sev de E.
[modifier] Image
L'image d'une application linéaire f de E dans F, noté 
, est l'ensemble des éléments de F ayant un antécédent par f dans E. On écrit :
L'image d'une application linéaire est un sous-espace vectoriel de l'espace d'arrivée : est un sev de F.
[modifier] Théorème du rang
Le théorème du rang lie la dimension de l'espace de départ d'une application linéaire aux dimensions du noyau et de l'image de cette application. On écrit :
