Calcul tensoriel/Notions élémentaires/Tenseur métrique/Pseudo-contraction de sa dérivée partielle

Le produit contracté du tenseur métrique et de sa dérivée partielle change de signe lorsqu'on remonte les indices d'un terme du produit et que l'on descend les indices de l'autre terme :

$g^{ij}g_{ij,k}=-g_{ij}g^{ij}{}_{,k}$

Démonstration

Remarques

• Si $g_{ij,k}$ était un tenseur, on aurait le signe +.

• On a bien un tenseur en calculant la dérivée covariante $g_{ij;k}$ du tenseur métrique, mais ce tenseur est nul.