Calcul opérationnel

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Le calcul opérationnel repose essentiellement sur un astucieux changement de variable basé sur la transformation de « Laplace-Carson » permettant l'algébrisation des symboles de dérivation et d'intégration des expressions mathématiques décrivant les phénomènes linéaires. Les techniciens emploient de préférence la transformation de Laplace-Carson, une constante ayant comme image la même constante.

L'expression : $\phi(p)=p\int_0^{+\infty} e^{-pt} f(t)\,dt$ permet d'associer à toute fonction d'une variable $t\mapsto f(t)$ dite « fonction origine » une « fonction image » $p\mapsto \phi(p)$ . Ainsi la solution algébrique de l'équation image pemet de retrouver, au moyen d'un tableau de correspondance opératoire, la solution de l'équation origine.

La transformation directe est notée :

$\phi(p)\,$ image de $f(t)\,$

La transformation inverse est notée :

$f(t)\,$ original de $\phi(p)\,$

Sections

1 Transformations de base
2 Hypothèse fondamentale
- 2.1 L'échelon unité
- 2.2 Introduction à la fonction de Dirac (percussion-unité)
  - 2.2.1 Fonction de Dirac ou percussion-unité
  - 2.2.2 Image de la fonction de Dirac
3 Transformation des dérivées
4 Transformation des intégrales
5 Transformation des fractions rationnelles
6 Compléments
7 Formule du produit (de Borel)
8 Fonctions périodiques
9 Calcul d'intégrales
10 Extension de la factorielle
11 Application aux équations diffétrentielles linéaires

[modifier] Transformations de base

[modifier] Pour une constante « C »

La correspondance entre fonctions originales et fonctions images s'établit comme suit :

$C\,$ est l'original de $C\,$

,

$C.f(t)\,$ est l'original de $C.\phi(p)\,$

,

$f_1(t) + f_2(t)\,$ est l'original de $\phi_1(p)+\phi_2(p)\,$

,

$C_1.f_1(t) + C_2.f_2(t)\,$ est l'original de $C_1.\phi_1(p)+C_2.\phi_2(p)\,$

.

[modifier] Image d'une variable « t »

$p\int_0^{+\infty} e^{-pt}. t.dt = -\int_0^{+\infty} t.d(e^{-pt}) = - [t.e^{-pt}]_0^{+\infty} +\int_0^{+\infty} e^{-pt}dt \,$

Pour ${p}>0 \,$ , on obtient l'image $\frac{1}{p}\,$

Ainsi,

$t\,$ est l'original de $\frac{1}{p}\,$ ,

$C.t\,$ est l'original de $\frac{C}{p}\,$ ,

$C.t+C_1\,$ est l'original de $\frac{C}{p}+C_1\,$ .

D'une manière générale, par récurrence pour tout « n » entier positif, on obtient : $t^n\,$ original de $\frac{n!}{p^n}\,$

[modifier] Image de l'exponentielle de « at »

$p\int_0^{+\infty} e^{-pt}.e^{at}dt = \frac{p}{a-p}.[e^{(a-p)t}]_0^{+\infty} \,$

Si $a = \alpha + i\beta\,$ , la parenthèse devient :

$[e^{(\alpha-p)t}(cos \beta t + i sin \beta t]_0^{+\infty} \,$ , expression qui tend vers $-1\,$ lorsque que $p > \alpha \,$ , dans ce cas l'image de $e^{at}\,$ est $\frac{p}{p-a}\,$

Pour « a » réel, le tableau de correspondance opératoire s'établit comme suit :

Fonction origine	Fonction image	Fonction origine	Fonction image	Condition(s)
$e^{at} \,$	$\frac{p}{p-a} \,$	$(e^{at}-1) \,$	$\frac{a}{p-a} \,$	${p}>{a}, {a}>0\,$
$e^{-at} \,$	$\frac{p}{p+a} \,$	$-(e^{-at}-1) \,$	$\frac{a}{p+a} \,$	${p}>{-a}, {a}<0\,$
$\frac{e^{at}-1}{a} \,$	$\frac{1}{p-a} \,$	$- \frac{e^{-at}-1}{a} \,$	$\frac{1}{p+a} \,$	-
$ch(at) \,$	$\frac{p^2}{p^2-a^2} \,$	$sh(at) \,$	$\frac{pa}{p^2+a^2} \,$	${p}>{a} \,$

Pour $a=i\omega \,$

Fonction origine	Fonction image	Fonction origine	Fonction image	Condition(s)
$e^{i\omega t} \,$	$\frac{p}{p-i\omega} \,$	$e^{-i\omega t} \,$	$\frac{p}{p+i\omega} \,$	-
$cos({\omega t}) \,$	$\frac{p^2}{p^2 + \omega^2} \,$	$sin ({\omega t}) \,$	$\frac{p \omega}{p^2 + \omega^2} \,$	-
$\frac{1-cos({\omega t})}{\omega^2} \,$	$\frac{1}{p^2 + \omega^2} \,$	-	-	-

Si $a= \alpha + i \beta \,$ , l'image de $e^{(\alpha + i\beta)t} \,$ est : $\frac{p(p- \alpha + i \beta)}{(p - \alpha)^2+\beta^2} \,$

Fonction origine	Fonction image	Fonction origine	Fonction image	Condition(s)
$e^{\alpha t}cos \beta t \,$	$\frac{p(p-\alpha )}{(p - \alpha)^2+ \beta^2} \,$	$e^{\alpha t}sin \beta t \,$	$\frac{p \beta}{(p - \alpha)^2+ \beta^2} \,$	-

Si ${\alpha} < 0 \,$ , la valeur de $e^{(\alpha + i\beta)t} \,$ est égale à zéro pour $t = {+\infty} \,$ , idem pour la valeur de la fonction image lorsque ${p} = 0 \,$ .

[modifier] Hypothèse fondamentale

L'hypothèse fondamentale du calcul opérationnel est que toutes fonctions d'origines f(t) ont une valeur nulle pour toute valeur de « t » négative. Bien que négligé la plus part du temps dans la pratique, il convient cependant d'écrire les fonctions d'origines comme facteur de la fonction $U (t)$ , dite fonction échelon-unité. Exemple : la forme d'origine de $\frac{p}{p+a}\,$ est $U(t).e^{at}\,$

Représentation de

U (t). e a t

.

[modifier] L'échelon unité

La fonction U(t) échelon-unité est nulle pour toute valeur négative de « t » et égale à 1 pour toute valeur positive de « t ». Elle est représentée ci-dessous. Son symbole est la lettre grecque Upsilon majuscule et se lit « grand upsilon » de t. Elle se caractérise par son brusque passage de 0 à 1 entre 0- et 0+. Elle admet partout une dérivée nulle sauf en zéro où elle devient infinie.

Représentation de la fonction échelon-unité U(t).

[modifier] Introduction à la fonction de Dirac (percussion-unité)

Considérons une fonction h(t) telle que représentée ci-dessous. Elle est définie par :

$h(t)=0 \,$ pour $t<0 \,$ ,

$h(t)=\frac{t}{\epsilon} \,$ pour $0 < t < \epsilon \,$ ,

$h(t)=1 \,$ pour $t > \epsilon \,$ .

Représentation de la fonction $h(t) \,$ .

La fonction h(t) a pour dérivée g(t), représentée ci-dessous, caractérisée par :

$g(t)=0 \,$ pour $t<0 \,$ ,

$g(t)=\frac{1}{\epsilon} \,$ pour $0 < t < \epsilon \,$ ,

$g(t)=0 \,$ pour $t > \epsilon \,$ .

Quelque soit $\epsilon \,$ , l'aire du rectangle est égal à l'unité.

Représentation de la fonction $g(t) = h^'(t) \,$ .

[modifier] Fonction de Dirac ou percussion-unité

Si l'on fait tendre $\epsilon \,$ vers zéro, $h(t) \,$ tend vers $U(t) \,$ et $g(t) \,$ tend vers une fonction notée $U^'(t) \,$ qui est notre fonction de Dirac (ou percussion-unité) caractérisée par deux valeurs :